2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（八大考點(diǎn)）

三年真題

4M03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

宜每竊旗。麴翹曾

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

2024年全國甲卷（理\2023年全國甲卷（文）

考點(diǎn):切線問題

12024年全國I卷、2022年全國II卷

2022年全國I卷

2023年全國乙卷（文）

2022年全國乙卷（理）高考對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查相

考點(diǎn)2：?jiǎn)握{(diào)性、極最

2023年北京卷

對(duì)穩(wěn)定，屬于重點(diǎn)考查的內(nèi)

值問題2024年全國I卷、2024年全國II卷

2023年全國II卷、2023年全國n卷容.高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試

2022年全國乙卷（文）

題怎樣變化，我們只要把握好

2022年全國甲卷（文）

2022年全國甲卷（理）導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具

考點(diǎn)：比較大小問題

32022年全國I卷、2024年北京卷

這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性、極

2024年天津卷

2023年全國甲卷（文12023年天津卷值、最值等本質(zhì)問題利用圖像

考點(diǎn)4：恒成立與有解2024年新課標(biāo)全國II卷

直觀明了地展示出來，其余的

2023年全國甲卷（文\2023年全國甲卷（理）

問題

2024年全國甲卷（理）、2024年全國I卷就是具體問題的轉(zhuǎn)化了.最終

2023年全國乙卷（理）

的落腳點(diǎn)一定是函數(shù)的單調(diào)性

考點(diǎn)：極最值問題

52023年北京卷

2024年全國II卷與最值，因?yàn)樗鼈兪菍?dǎo)數(shù)永恒

2024年全國甲卷（文12023年天津卷

的主題.

考點(diǎn)：證明不等式

62023年全國I卷、2023年全國II卷

2022年全國II卷

考點(diǎn)7雙變量問題極2022年全國甲卷（理）

2022年北京卷、2022年天津卷

值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）

2022年浙江卷、2024年天津卷

2024年全國n卷

2023年全國乙卷（文12024年天津卷

2024年全國甲卷（文）

考點(diǎn)8：零點(diǎn)問題

2023年天津卷、2022年天津卷

2024年北京卷

2022年全國乙卷（文\2022年全國甲卷（文）

2022年全國乙卷（理\2022年全國I卷

甯窗給綠。固滔送溫

考點(diǎn)1:切線問題

ex+2sinx

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)函數(shù)/（x）=，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,1）處的切線

1+x2

與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

11

AyC-ID-I

【答案】A

ex+2cosx佇+2sinx"x

【解析】/'（尤）

2

+x2

e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)xO

則"0)=—=3

(1+0)2

即該切線方程為》T=3x,即了=3無+1,

令x=0，貝廿=1,令歹=。，貝

3

l1xlx-11

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=

236

故選：A.

事在點(diǎn)句處的切線方程為（

2.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）曲線了=)

X+1

Aeeeee3e

A=xxD.y=—x+——

-y4B.y=^c?kL+a24

【答案】C

三在點(diǎn),e

【解析】設(shè)曲線y處的切線方程為V-JMx-1）,

因?yàn)槭?/p>

e%x+l)-e，_xe

所以了=

(X+1)2%+4’

所以笈=￡ki='|

所以y-：=

所以曲線y=J在點(diǎn)(1目處的切線方程為尸;x+：.

JC+1<2；44

故選：C

3.(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)若曲線y=二+X在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,

貝11a=-

【答案】山2

【解析】由〉=砂+%得V=e'+1,了憶0=6。+1=2,

故曲線V=erx在(0,1)處的切線方程為了=2x+l；

由y=ln(x+l)+。得/=-^,

x+l

設(shè)切線與曲線V=M(x+1)+“相切的切點(diǎn)為(x0,ln(x0+l)+a),

由兩曲線有公切線得了二三二？,解得,則切點(diǎn)為「4,a+ln<],

玉)十12122)

切線方程為V=21x+J+a+ln,=2x+l+a-ln2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-In2=0,解得a=In2.

故答案為：ln2

4.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)曲線V=山|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為.

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】I方法一]：化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(%,lnx。)，求出函數(shù)

導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出心,即可求出切線方程,

當(dāng)x<0時(shí)同理可得；

因?yàn)榱?的忖，

當(dāng)x>0時(shí)J，=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(x°,lnx。)，由V」，所以九『=：,所以切線方程為廣出/=：(x-x0),

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一出/=工(-%),解得x0=e,所以切線方程為y-l=」(x-e),即y=L;

%oee

當(dāng)x<0時(shí)y=ln(-x),設(shè)切點(diǎn)為(x”ln(f)),由歹=工，所以了二=：,所以切線方程為

X項(xiàng)

》一加(一再)=一(x—xj,

x\

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-爪-玉)='(一』),解得再=-e,所以切線方程為kl=L(x+e),即k-L;

再-ee

故答案為：無；y=--x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(x°,lnx°),由了=工，所以了工產(chǎn)工,所以切線方程為了T"。=L(x-x。)，

XX。

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一出演=’(-/),解得x0=e,所以切線方程為y-l」(x-e),即y=L;

%oee

［方法=1:

因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>o時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(X0,lnx。)，由了=工，所以了」=：,所以切線方程為了一出尤。=：(x-x。),

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnx。=：(-5),解得x0=e,所以切線方程為y-l='(x-e),即;

當(dāng)x<0時(shí)y=ln(r),設(shè)切點(diǎn)為(4In(-玉))，由y'=，,所以產(chǎn)屋=；,所以切線方程為

X玉

y—ln(—xj=—(x-xj,

石

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以TMf)=：(-再)，解得再=-e,所以切線方程為尸l=^(x+e),即k-L;

須-ee

故答案為：y=-x;y=--x.

ee

5.(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)若曲線了=(x+a)e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍

______________■

【答案】(-8,-4)U(O,+8)

【解析】y^(x+a)cx,y'=(x+l+a)ex,

設(shè)切點(diǎn)為優(yōu)，%)廁%=&+。)3，切線斜率左=(x0+1+a)e'。，

切線方程為：>一(%+。)^。=(/+l+a)e"(x—Xo),

:切線過原點(diǎn)，，—(x()+")e"=(尤o+l+a)e。(—x()),

整理得：尤;+。尤°。=0,

,:切線有兩條,A=(72+4a>0，解得?！?4或a>0,

???a的取值范圍是(r°,-4)U(0,+oo),

故答案為：(F,_4)U(O,+8)

考點(diǎn)2：?jiǎn)握{(diào)性'極最值問題

6.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù)/("=&+/111(1+4.

⑴當(dāng)。=-1時(shí)，求曲線了=/(力在點(diǎn)處的切線方程.

⑵若函數(shù)/(x)在(0,+功單調(diào)遞增,求。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=-1時(shí)，/(x)=^-ljln(x+l)(x>-l),

貝！ir(x)=_：xln(x+l)+L-ilxJ-,

X)X+1

據(jù)此可得〃l)=0J'(l)=-ln2,

所以函數(shù)在(1,/。))處的切線方程為N-0=Tn2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

由函數(shù)的解析式可得r(x)=,：］皿X+1)+fl+4-L

(2)尤>一，,

\x)x+1

滿足題意時(shí)/'(X)>o在區(qū)間(0,+。)上恒成立.

令Tln(x+l)+：+1

a->0,則-(x+l)ln(x+l)+(x+“x2>0

x+1

令g(x)="2+%_(x+i)in(x+l),原問題等價(jià)于g(x”0在區(qū)間(0,+。)上恒成立，

貝[]g'(x)=2Qx_ln(x+l),

當(dāng)時(shí)，由于2"W0,ln(x+l)>0，故g'(x)<0,g(%)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減,

止匕時(shí)g(%)<g(0)=0,不合題意;

令力(x)=g，(x)=2〃x—ln(x+l),貝(］/(X)=2Q彳,

當(dāng),2a21時(shí)，由于匕<1,所以〃(x)>0,〃(x)在區(qū)間(0,+的上單調(diào)遞增，

即g'(x)在區(qū)間(0，+e)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+的上單調(diào)遞增，g(x)>g(O)=O，滿足題意.

當(dāng)0<。<:時(shí)，由〃(》)=2。一一^=0可得x=；-l,

2x+12a

當(dāng)卜寸，“卜)<°，”、)在區(qū)間/1一1)上單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減，

注意到g'⑼=0，故當(dāng)尤時(shí)，g'(x)<g，(O)=O,g(x)單調(diào)遞減，

由于g(0)=0,故當(dāng)xe(0,看"時(shí),g(x)<g(O)=O,不合題意.

綜上可知：實(shí)數(shù)a得取值范圍是.

7.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知和x=%分別是函數(shù)〃x)=2優(yōu)-ex?(。>0且分1)

的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若王<工2,則。的取值范圍是____________.

【答案】

【解析】I方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)

因?yàn)?=—2ex，所以方程21na-Q“一2ex=0的兩個(gè)根為再，

即方程Ina?優(yōu)=ex的兩個(gè)根為苞,%2,

即函數(shù)V=Ina.優(yōu)與函數(shù)〉=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)楹腿謩e是函數(shù)/（X）=2?x-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),

所以函數(shù)/'（X）在（-咫占）和優(yōu),+“）上遞減，在6廣2）上遞增，

所以當(dāng)時(shí)（一雙西）（3,+8）,/'（無）＜0,即夕=6圖象在y=ln“d上方

當(dāng)》€(wěn)（演,々）時(shí)，r（x）＞0，即＞=ex圖象在y=下方

。＞1,圖象顯然不符合題意，所以。＜。＜1.

令8（%）=1口4.優(yōu)，則夕（工）=11124.優(yōu),0＜4＜1,

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)了=g（x）的圖象相切的直線的切點(diǎn)為（x0』na.*）,

r2A2Xo

則切線的斜率為g（x0）=lna-d,故切線方程為y-lna-a°=lna-a（x-x0）,

貝［］有-lna-a&=-Xoln%?。刈,解得不=^^,則切線的斜率為五0=eln2a，

因?yàn)楹瘮?shù)y=\na-ax與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

綜上所述，a的取值范圍為.

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

/r（x）=2lna-ax-2ex=0的兩個(gè)根為國,馬

因?yàn)楹婉R分別是函數(shù)/（X）=2優(yōu)-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/（可在（-叫%）和（％,+。）上遞減，在（國,％）上遞增，

，A

設(shè)函數(shù)g（x）=/（x）=2（alna—ex^，貝［］/（x）=2QX（］nq）2_2e，

若?！?,則'（x）在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若/（%）=0,

則/'(X)在(-8,X。)上單調(diào)遞減，在伉,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有x=匕和x=z分別是函數(shù)

/(x)=2/-ex2m>0且。h1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，貝!J匹>X2,不符合題意；

若0<0<1,則'卜)在R上單調(diào)遞減,此時(shí)若'(瓦)=。,則/'(x)在(-8,%)上單調(diào)遞增,在(%,+")上單調(diào)

遞減，令'伉)=0,貝LI*=嵩？,此時(shí)若有X3和xj分別是函數(shù)/(無)=20'-ef(a>O且"1)的極

小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且毛,則需滿足/''伉)>。,(x0)=2(Ina-ex0)=2^--毀)>0,即

x0<——，x°lna>l故ln/°=x°lna=l117r^y>l,所以_<q<i

Ina(InaJe

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題

的最優(yōu)解；

法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于

通性通法.

x+2,x<-a.

8.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)a>0,函數(shù)/?=<G-x2,-a<x<a,,給出下列四個(gè)結(jié)論：

-y/x-1,x>a.

①八X)在區(qū)間(a-l,+oo)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)。加時(shí)，/㈤存在最大值；

@^gAf(x1,/(x1))(x1<a),jV(x2,/(x2))(x2>a),則|ACV>1;

④設(shè)^^/卜川馬一磯久匕/國川匕之-。),若I尸。存在最小值，則a的取值范圍是(og.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.

【答案】②③

【解析】依題意,?>0,

當(dāng)x<-。時(shí)，/(x)=x+2，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)-aW尤4“時(shí)，/(x)=Va2-x2，易知其圖像是，圓心為(。，。)，半徑為。的圓在》軸上方的圖像(即半圓);

當(dāng)x>“時(shí)，f(x)=-G-l,易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

對(duì)于①，取。=g,則〃x)的圖像如下，

顯然，當(dāng)xed+功，即曰-；,+8卜寸，〃x)在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)。加時(shí)，

當(dāng)時(shí)，/(x)=X+2<-6Z+2<1；

當(dāng)-“WxW”時(shí)，/(尤)=顯然取得最大值a；

當(dāng)x>a時(shí)，/(無)=—y/x—1<—\[ci—IV—2,

綜上：〃x)取得最大值。,故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在玉=4,%且接近于x=。處，Wa),N(X2，/(X2))(w>。)的距

離最小，

當(dāng)再=。時(shí)，y=f(xt)=O,當(dāng)％>。且接近于工=。處，y2=f(x2)<-Va-l,

此時(shí)，|網(wǎng)>%-%>&+1>1,故③正確；

對(duì)于④，取。=g，則〃x)的圖像如下，

因?yàn)槭o3j（無<-磯。@4，/%））（匕N-a）,

結(jié)合圖像可知，要使|尸。|取得最小值，則點(diǎn)尸在/（x）=x+2卜<-3上，點(diǎn)。在

同時(shí)|尸@的最小值為點(diǎn)。到/3=x+2,-1I的距離減去半圓的半徑a,

此時(shí),因?yàn)槎　＃?y=x+2（x<-1卜勺斜率為1,則曬=T,故直線。尸的方程為V=—x,

\y=-x\x=-1/、

聯(lián)立一「，解得.，則尸-1,1,

顯然尸（T1）在/3=x+2[<-上，滿足忸0|取得最小值，

即°=g也滿足|尸0|存在最小值，故.的取值范圍不僅僅是（o，；,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

9.（多選題）（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)/（》）=（》-1）2（工-4）,則（）

A.x=3是"x）的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/（x）</（x2）

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4<〃2尤-1）<0D.當(dāng)-l<x<0時(shí),f（2-x）>f（x）

【答案】ACD

【解析】對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)/'（x）的定義域?yàn)镽,而廣（力=2（尤-1）（尤-4）+（X-1）2=3（x-l）（尤-J,

易知當(dāng)xe（,3）時(shí),f（x）<0，當(dāng)xe（-s,l）或xe（3,+s）時(shí),f（x）>0

函數(shù)/（無）在（-8,1）上單調(diào)遞增，在（1,3）上單調(diào)遞減，在（3,+8）上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)/（無）的極小值

點(diǎn)，正確；

對(duì)B,當(dāng)0<x<l時(shí),x-x2=x（l-x）>0,所以l>x>x?>0,

而由上可知，函數(shù)“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以,錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)l<x<2時(shí)，l<2x-l<3,而由上可知，函數(shù)/(x)在。,3)上單調(diào)遞減，

所以/⑴>八2工-1)>八3),即T<〃2xf<0,正確；

對(duì)D,當(dāng)一l<x<0時(shí)，/(2-x)-/(x)=(l-x)2(-2-^x-^=(x-)X2-2)>(,

所以〃2-x)>/(x),正確;

故選:ACD.

10.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(x)=2d_3辦2+1,則()

A.當(dāng)。>1時(shí)，AM有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)"0時(shí)，尤=0是〃x)的極大值點(diǎn)

C.存在a,6,使得x=b為曲線片/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)(1J⑴)為曲線了=〃尤)的對(duì)稱中心

【答案】AD

【解析】A選項(xiàng)，f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

故xe(-8,0)"a,+8)時(shí)八x)>0,故/⑴在(-8,0),(a,+e)上單調(diào)遞增，

xe(0,a)時(shí)，f'{x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/(x)在x=0處取到極大值，在。處取到極小值，

由〃0)=1>0,/(a)=l-a3<0，則〃0)/⑷<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理“X)在。。)上有一個(gè)零點(diǎn)，

又〃=-3a<0,/(2?)=4a3+l>0，則/(-l)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

則在(-1,0),32a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是“>1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，f'(x)=6x(x-a),a<0時(shí),xe(a,0),f'(x)<0,/O)單調(diào)遞減，

北(0,+00)時(shí)/?)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)/(X)在尤=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的”,b，使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸,

即存在這樣的使得〃x)="2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(2Z)-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(26-x)3展開式含有/的項(xiàng)為2C；(26)°(-x)3=-2^,

于是等式左右兩邊丁的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。，6,使得x=b為"X)的對(duì)稱軸，(:選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)

/⑴=3-3a,若存在這樣的。，使得(L3-3a)為“X)的對(duì)稱中心，

則〃x)+“2-x)=6-6a,事實(shí)上,

/(%)+/(2—x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3tz(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18—12a,

于是6-6a=(12-6tz)x2+(12a-24)x+18-12。

12—6。=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在〃=2使得(1J⑴)是小)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

18-12(2=6-6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

322

/(x)=2x-3ax+1,/'(%)=6x-6axf/"(%)=12%-6〃f

由/"(x)=0ox=￡，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為］會(huì),

由題意(1，/⑴)也是對(duì)稱中心，故￡=1=。=2,

即存在a=2使得(1,/(1))是/⑸的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

AC

11.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)若函數(shù)/(x)="lnx+1+7(aH0)既有極大值也有極小

值，則().

A.be>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)〃x)=alnx+%與的定義域?yàn)?0,+co),求導(dǎo)得廣⑴，一々-與=竺上手￡,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/(尤)在(0,舟)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而a/0,

因此方程ax1-bx-2c=0有兩個(gè)不等的正根項(xiàng)，%,

A=/?2+8?C>0

于是<再+%2=2〉。，即有b2+8ac>0,ab>Q,ac<0,顯然八。<(),即bc<0,A錯(cuò)誤，BCD正確.

a

2c八

Xj%2=----->0

、a

故選：BCD

12.(2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/@)=ae，-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則”的最小值

為().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

【答案】c

【解析】依題可知，/'(x)=W-4o在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以商」，

xa

設(shè)g(x)=xe*,xe(l,2)，所以g，(尤)=(x+l)e*>0，所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故eZ1,即，即。的最小值為eT.

ae

故選：c.

13.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)函數(shù)〃》)=85工+(》+1)面》+1在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大

值分別為()

717137171一兀兀"37171c

A.——，一B.——，一C.——，一+2D.——，一+2

22222222

【答案】D

【解析】/z(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以在區(qū)間(of和仁,2兀)上川(x)〉0,即〃X)單調(diào)遞增；

在區(qū)間&5|上八力<0,即“X)單調(diào)遞減，

又/(。)=/3)=2，年畀2，/圖=-苧1卜冶,

所以〃x)在區(qū)間［0,2可上的最小值為音,最大值為>2.

故選：D

考點(diǎn)3：比較大小問題

14.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知9m=10,a=10"-11,6=8-9，則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］：(指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由驢=10可得加=loggl0=揩>1,而lg91gli<產(chǎn)/嗎2<l=(lgl。)2，所以籍,黑，

即切>lgll,所以a=10”一11>10瞑1一11=0.

又lg81gl0<Jg8；gl。］=［等)<(lg9)2,所以皆>翳，即1暇9>加,

所以6=8及一9<8嗨9-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］：【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9"'=10，可得機(jī)=log910e(l,L5).

根據(jù)。力的形式構(gòu)造函數(shù)〃x)=x"'7-l(x>l),5O'(x)=MT-l,

令/''(x)=0,解得％=加占，由加=log910e(l,1.5)知％e(0,l).

小)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/(10)>/(8),gpa>b,

又因?yàn)榘?)=9晦|°一10=0，所以。>0>6.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。,6的形式構(gòu)造函數(shù)〃x)=xM-,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系,簡(jiǎn)單明了，是該

題的最優(yōu)解.

.3111

15.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知。=石/=cos］,c=4sinw，則()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法—1:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)x<tanx

r1「

故g=4tanz〉l,故,所以。>6;

12

設(shè)/(X)=COSX+］X-1,XG(0?+oo),

r(x)=-sinx+x>0,所以〃x)在(0,+s)單調(diào)遞增，

故/［￡|>/(0)=0,所以cos;||>0,

所以…，所以c>6>。，故選N

［方法二］:不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)xe0,^-l,sinx<x,

取x二?得：cos—=l-2sin2->1-2^-^=—，故，

848⑶32

4sin；+cos：=asin］；+、|,其中夕<0號(hào),且sine=1^4

,COS69=—;=

V17

、i,“.11rr^r,?1Ji『7i1

當(dāng)4sina+cos彳=J17時(shí)，~+(P=-,R<P=---

止匕時(shí)sinw=cos0,cos—=sin^=-^=r

114?14?14

故cos—=—<—j==sm—<4sin—故b<

火4后后44，口乂

所以入，所以c>b>。，故選/

［方法三］:泰勒展開

5_n”mil_31_,0.252,_1,0.2520.254

x—0.25,jjiyci———1---------tb-cos—~1------------1--------,

322424!

m24

,.1sW10.250.25、1百田7生3

c=4sin-=—,計(jì)算得?！?〉。，故選A.

4

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)椋?4tan：,因?yàn)楫?dāng)彳€(0(及11》<工<^11工，所以1211：>:，即>1,所以0>6;設(shè)

b4V2；446

2

/(X)=COSX+|X-1,XG(0,+?),r(x)=-sinx+x>0,所以/⑴在(0,+8)單調(diào)遞增，貝以(￡|>/(0)=0,

131

所以cos^-豆>0,所以八〃,所以,

故選：A.

［方法五I：【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)椋?4tan：,因?yàn)楫?dāng)丁€10(),5出工<工。11工，所以1211：>：,即.>1,所以0>6;因?yàn)楫?dāng)

b444。

xefo,—\sinx<x,取了=:得cos」=l-2sin2工>1-2］」】=衛(wèi),故，所以c>b>a.

I2J848⑻32

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0e;sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

16.(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)“=0.1e°」,，=。，C=-ln0.9,()

A.a<b<cB.c<b<aC,c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】方法一：構(gòu)造法

1y

ig/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)?(x)=^——1=一7—,

1+X1+X

當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe(0,+co)時(shí)/(x)<0,

所以函數(shù)〃x)=ln(l+x)r在(0,+<?)單調(diào)遞減，在(T0)上單調(diào)遞增，

所以〃。)</(0)=0,所以山”-：<0,故￡>ln：=-ln0.9,即6>c,

所以〃一面)</(0)=0,所以In伍+歷<0,故A<eI。，所以2叫<2,

故a<b,

lgg(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<1),貝［］g'(x)=(x+l)e'+」^=^~牛2

令秋x)=e，(/一1)+1,〃(x)=e'(/+2x-l),

當(dāng)0<》<五-1時(shí)，"(x)<0,函數(shù)咐)=叭--1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)0-1〈尤<1時(shí)，〃(x)>0,函數(shù)〃(x)=e，(/T)+l單調(diào)遞增，

又萬(0)=0,

所以當(dāng)0<》<應(yīng)-1時(shí)，3)<0,

所以當(dāng)0<工<也-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)8(幻=放'+山(1-》)單調(diào)遞增，

所以g(0J>g(0)=0,即0.1e">-ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

1

a=0.1e°-,b=-^~,c=-ln(l-O.l),

1—0.1

①Intz-InZ)=0.1+ln(l-0.1),

令/(x)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

1—Y

則八%)=1一曰=不<°，

故/(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0，即lna-lnb<0，所以a<b;

②tz-c=O,le01+ln(l-0.1),

令g(^)=xex+ln(l-x),xG(0,0.1],

貝Ug'(x]=xe+e------=----------------/

\—X1—X

令左(%)=(1+x)(l-x)ex-1/所以k'(x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以Mx)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得3)>左(0)>0，即g\x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a-c>0，所以a>c.

故c<a<b.

17.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知(和%)，(打％)是函數(shù)y=2、的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則()

A.B.log22i±A>^

-22222

1Pi+Vo

C.log2%<玉+/

D.log22>再+9

【答案】B

【解析】由題意不妨設(shè)再<%2,因?yàn)楹瘮?shù)V=2、是增函數(shù)，所以0<2占<2盯，即0%,

對(duì)于選項(xiàng)AB:可彳導(dǎo)/+/>，2皆2打=22,即止空>22>0,

22

的

+x2.

根據(jù)函數(shù)〉=log2X是增函數(shù)，所以Iog2H匹>log22M=土黃，故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C:例如網(wǎng)=0,迎=1,貝［］乂=1,%=2,

可得叫2七匹=1嗎|?0，1）,即1嗎七匹<1=再+迎，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D:例如匹=-1,々=-2,則弘=）,%=；,

103，110

§2=10§21=§23-3e（-2,-1），即log2%：%>-3=再+々，故D錯(cuò)誤，

2o2

故選：B.

18.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）若。=4.243,6=4.2°3,c=log420.2，貝［］a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】因?yàn)閗42在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.2~°3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.243<1<4.2。3，即0<。<1<6,

因?yàn)?=bg42尤在（0，+°°）上遞增，且0<0.2<1,

所以bgg02<log421=0,即c<0,

所以6>a>c,

故選：B

19.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù)［仁）=。1尸

則（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g（x）=-（x-l）2,則g（x）開口向下,對(duì)稱軸為X=1,

因?yàn)槭?-乎T，而(m+6)2-4?=9+6/—16=6收—7>0,

所以年V6+V3-4>0,6P--1>1--

~2~222

由二次函數(shù)性質(zhì)知g（日）<g§）,

因?yàn)閪~一]一]—=~~~~~~,而(V6+V2)2—42=8+4^/3—16=4^/3—8=4(^3—2)<0,

即當(dāng)一i<V，所以g母）>g（爭(zhēng),

月|_zV2\[6.y/h.

綜上-g(—)<g(—)<g(—)/

又>=6'為增函數(shù)，故a<c<6,即6>c>a.

故選：A.

20.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)。=1.0產(chǎn)51=1.01。64=0.6°5,貝的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=L0F在R上遞增，則。=1.0產(chǎn)<b=i.op6,

由尸產(chǎn)在［0,+8）上遞增,貝卜=1.01。5>°=0.60-5.

所以b>“>c.

故選：D

考點(diǎn)4:恒成立與有解問題

21（2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)=（x+。）ln（x+b），若f（x）>0廁/+/的最小值為（）

【答案】C

【解析】解法一：由題意可知：/⑸的定義域?yàn)?-4+”),

令X+”=0解彳導(dǎo)x=-a；令ln(x+b)=O解彳導(dǎo)無=1-6；

若-aM-b,當(dāng)xe(-41一6)時(shí)，可知x+a>0』n(x+b)<0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

若一6<-a<l-b,當(dāng)x￡(—Q,l—b)時(shí)，可知x+a〉0,ln(x+b)<0,

此時(shí)〃x)<0，不合題意；

若一。=1-6,當(dāng)》€(wěn)(—6,1—6)時(shí)，可知》+。<0,111卜+6)<0，此時(shí)/(x)>0;

當(dāng)xe［l-6,+e)時(shí)，可知x+aN0,ln(x+6)N0,此時(shí)/(x)20;

可知若-。=1-8，符合題意；

若一。>1-6,當(dāng)時(shí)，可知x+Q(0,ln(x+610,

此時(shí)〃x)<0，不合題意；

綜上所述：-。=1-6,即6=4+1,

貝！］〃+/=片+(“+1)2=2,+；；+；23,當(dāng)且僅當(dāng)°=-，6=；時(shí)，等號(hào)成立，

所以/+〃的最小值為3;

解法二：由題意可知："X)的定義域?yàn)?-4+8),

令x+〃=0解得了=-〃；令山(工+6)=0解得x=l—b;

則當(dāng)了￡(—41—6)時(shí)，ln(x+b)<0,故x+a(0,所以1—6+aWO;

x￡(