2021-2022學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) 基本不等式的綜合應(yīng)用（學(xué)案）含答案及解析

2.2基本不等式

第2課時(shí)基本不等式的綜合應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的最值問(wèn)題（難點(diǎn)）；1、邏輯推理

2.能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行變形，構(gòu)造定值；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算

3.會(huì)用基本不等式解決恒成立問(wèn)題（重點(diǎn)）。3、數(shù)學(xué)建模

【自主學(xué)習(xí)】

一.基本不等式與最值

已知x、y都是正數(shù)，

1.若積盯等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值___.

2.若和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積盯有最大值___.

二.運(yùn)用基本不等式求最值的三個(gè)條件：

1.“一正”：x,y必須是一；

2.“二定”：求積封的最大值時(shí)，應(yīng)看和x+y是否為；求和x+y的最小值時(shí)，應(yīng)看積盯

是否為.

3.“三相等”：當(dāng)且僅當(dāng)x招時(shí)，等號(hào)成立。

三.通過(guò)變形構(gòu)造定值的方法

如果題目中基本不等式不能滿足“和為定值”或“積為定值”，就不能直接用基本不等式

求最值。需要通過(guò)變形，構(gòu)造定值，常見(jiàn)方法有：配項(xiàng)法；配系數(shù)法；分式型基本不等式；常

值代換法“1”的代換。

【小試牛刀】

思辨解析（正確的打y"，錯(cuò)誤的打、”）

⑴若a>0,b>0,且。+>=16,則。底64.（）

（2）若"=2,則的最小值為2也.（）

⑶當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)7=%+不、之2\^^,所以函數(shù)y的最小值是）

（4）若x?R,則f+2+*岸2.（）

【經(jīng)典例題】

題型一利用基本不等式求最值

12

例1當(dāng)x>0時(shí)，y=~+4x的最小值為（）

A.4B.8C.8小D.16

【跟蹤訓(xùn)練】1已知x<0,求y=x+2-2最大值。

2x

思路點(diǎn)撥：利用基本不等式求最值要滿足“一正”、“二定”、“三相等”，現(xiàn)在xS,—<0

2x

通過(guò)變形、=「（.]-2再利用基本不等式求最值。

題型二變形構(gòu)造定值一配項(xiàng)法

點(diǎn)撥：求和的最小值時(shí)，可以通過(guò)配項(xiàng)，使兩個(gè)因式的積為定值。一般情況下，兩個(gè)因式會(huì)為

整式和分式，將整式部分配成分式分母的形式。變形的過(guò)程中要保證恒等變形。

例2當(dāng)x>l時(shí)，求函數(shù)丁=龍+士最小值。

XJL

4

【跟蹤訓(xùn)練】2若x<3,則實(shí)數(shù)1Ax）=±+x的最大值為.

題型三變形構(gòu)造定值一配系數(shù)法

點(diǎn)撥：求積的最大值時(shí)，通過(guò)因式中的系數(shù)變形，使兩個(gè)因式的和為定值。變形的過(guò)程中要保

證恒等變形。

例3已知求於）=5（1-2%）的最大值。

【跟蹤訓(xùn)練】3若則函數(shù)尸所丞的最大值為（）

A.1BAC.TD4

Z4o

題型四變形構(gòu)造定值一分式型基本不等式

點(diǎn)撥：分式型基本不等式有兩種形式

當(dāng)分子次數(shù)高于分母次數(shù)時(shí)，將分母當(dāng)成整體，將分子改寫(xiě)成含有分母整體的形式，便可

構(gòu)造出積為定值的形式，利用基本不等式求解。

當(dāng)分子次數(shù)低于分母次數(shù)時(shí)，分子分母同時(shí)除以分子，將分子化為常數(shù)，分母利用基本不

等式求解。

例4已知X>0,則函數(shù)y=日±±1的最小值為.

【跟蹤訓(xùn)練】4已知x>0,求丁=號(hào)的最大值.

題型五變形構(gòu)造定值一常值代換法“1”的代換

點(diǎn)撥：對(duì)于已知a+b=l,求工+工的最小值以及已矢1+工=1,求a+人的最小值題型，通常采用

abab

這種方法。（其中a,匕均為正數(shù)）

例5已知。>03>0,a+b=2,求工+工的最小值。

ab

19

【跟蹤訓(xùn)練】5已知x>0,y>0且?+?=1,則x+y的最小值為_(kāi)_______.

xy

題型六利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

例6如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼

筋網(wǎng)圍成.

⑴現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每

間虎籠面積最大？

⑵若使每間虎籠面積為24m2,則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍

成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？

【跟蹤訓(xùn)練】6某食品廠定期購(gòu)買(mǎi)面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格1800

元，面粉的保管費(fèi)及其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)買(mǎi)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.求該廠

多少天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.設(shè)…為正數(shù)，則(x+y)g+力的最小值為()

A.6B.9C.12D.15

A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值一1D.有最大值一1

3.已知。>0,b>0,若不等式2々1+廬五為恒成立，則機(jī)的最大值等于()

A.10B.9C.8D.7

4.已知x,y>0,且滿足，+;=1,則孫的最大值為.

41

5.已知正數(shù)x,y滿足無(wú)+y=l,則比+韋的最小值為.

6.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為

4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則》=噸.

4

7.(1)已知x<3,求人x)=』+x的最大值；

(2)設(shè)x>0,y>0,且2x+8y=Ay,求無(wú)+y的最小值.

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

2VP蘆正數(shù)定值定值

4

【小試牛刀】

⑴7(2)x(3)X(4)X

【經(jīng)典例題】

例1C解析：Vx>0,...7>0,4%>0.；.丁=；+4丘27丁.4%=8小.當(dāng)且僅當(dāng)三=4x,即x=小

時(shí)取最小值隊(duì)8，.?.當(dāng)x>0時(shí)，y的最小值為8s.

【跟蹤訓(xùn)練】1解：'：x<0,

??—x>0,--->0,

2x

通過(guò)變形，y=—(—x)+［士］—2

???(7)+乙卜2卜)｛卷卜后

/.y<-72-2

當(dāng)且僅當(dāng)-x=」一,即x=_包時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值一亞-2。

-2%2

例2解：通過(guò)配項(xiàng)得y=x—1+々+122+1=3；

1

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=-，即x=2時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值3.

X—1

【跟蹤訓(xùn)練】2-1解析：Vx<3,Ax-3<o,

44「41l~~4-

?\Ax)=^ZZ^+尤=^Z^+(X—3)+3=—3—X+(3-%)+30—2x)+3=—b

4

當(dāng)且僅當(dāng)h=3—x,即X=1時(shí)取“=”號(hào).

的最大值為-1.

111l「2x+(1—2])[21

例3解：因?yàn)镺VxV],所以1-2%>0,兀￥)=/(1-2力=12%(1—2%)與^----5:—=丞

當(dāng)且僅當(dāng)2x=l—2x,即x=；時(shí)等號(hào)成立，所以?r）的最大值為親.

【跟蹤訓(xùn)練】3C解析：VO<x<1,

/.1—4x2>0>

1

2不

當(dāng)且僅當(dāng)2x=qr二彳，即無(wú)=乎時(shí)等號(hào)成立.

例4-2解析：?.?x>0,

?爐—4x+11...c

??y=------=x-\4>2—4=—2

xx

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)1時(shí)，等號(hào)成立。

【跟蹤訓(xùn)練】4解：丁=2奇x=上27

一

x+X

Vx>0,

2

=,

.\0<.y<2l

當(dāng)且僅當(dāng)x=J,即x=l時(shí)，等號(hào)成立.故y的最大值為1.

Ji

例5解：-+-=--f-+-\(a+Z?)=--(l+l+-+-)>--(2+2)=2

ab2\ab)2ab2

當(dāng)且僅當(dāng)2=@即a=b=2時(shí)，等號(hào)成立，取得最J、值2.

ab

iQ

【跟蹤訓(xùn)練】516解析：法一(1的代換)：因?yàn)槭?9=1,

xy

所以尤+y=(x+y>g+q)=10+?+寺.

\Ay14y

因?yàn)閤>0,y>0,所以

%y\iy

當(dāng)且僅當(dāng)!=%，即y=3x①時(shí)，取

xy

i9_

又二十「1,②

xy

解①②可得x=4,y=12.

所以當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y的最小值是16.

法二(消元法)：由:+?=1,得x=」、.

xyy-9

因?yàn)閤>0,y>0,所以y>9.

所以~^+1

Jy-9'/y-9/y-9

9

(v-9)+^+10.

因?yàn)閥〉9,所以廠9>0,

9/Q

所以(y—9)+產(chǎn)$2y(y—9)7^=6.

9

當(dāng)且僅當(dāng)y—9="，即y=12時(shí)，取此時(shí)％=4,

所以當(dāng)％=4,y=12時(shí)，％+y的最小值是16.

例6解：⑴設(shè)每間虎籠長(zhǎng)％m,寬為ym,則由條件知4%+6y=36,即2x+3y=18.

設(shè)每間虎籠面積為S,則3=孫.

由于2x+3y>2yj2x-3y=2y)6xy,

__27

2^6xy<18,得外與~，

即S立，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.

2x+3尸18,x=4.5,

解得“

2%=3yJ=3.

故每間虎籠長(zhǎng)為4.5m,寬為3nl時(shí)，可使面積最大.

(2)由條件知S=xy=24.

設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為/,則/=4x+6y

?/2x+3y>2\l2x-3y=2y[6^y=24,

/.l=4x+6y=2(2x+3v)>48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.

2x=3y,x=6,

由<解得“

xy—24,J=4.

故每間虎籠長(zhǎng)6ni,寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.

【跟蹤訓(xùn)練】6解設(shè)該廠每隔x天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，其購(gòu)買(mǎi)量為6x噸.

由題意可知，面粉的保管等其他費(fèi)用為

3x[6x+6(x-l)+6(x-2)+...+6xl]=9x(x+1).

設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為”元，

貝！!yi=-［9Xx+1）+900］+6x1800=9%+—+10809>2A/9x.-+10809=10989（元）,

當(dāng)且僅當(dāng)9彳=曬，即x=10時(shí)，等號(hào)成立.

所以該廠每10天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

LB解析：(x+j)^+1)=x^+j+^+^=l+4+y+^5+2^^=9.

21(x2-2x+l+P

2.D解析:x-2x+2

2x-22、x-1,

V-4<x<l,

/.x-l>0,

??y=1+>--2=1

lr2

當(dāng)且僅當(dāng)即尸。時(shí)等號(hào)成立.

3.B解析：因?yàn)樗?a+Z?>0,所以要使■+奈2az。恒成立'只需

恒成立，而（2。+。）伶+/=4+空+弓+/5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號(hào)成立，所以根W9.

\Ct-UJU

4.3解析：Vx,y>0,

??1+：=1之2y1^,得xyW