M03簡(jiǎn)單優(yōu)化教學(xué)案例

第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.1存貯模型3.2生豬的出售時(shí)機(jī)3.3森林救火3.4最優(yōu)價(jià)格3.5血管分支3.6消費(fèi)者均衡3.7冰山運(yùn)輸

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型3.1存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小。4.為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問題經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,缺貨需補(bǔ)足T一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQ

rT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q

~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量)3.2生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤(rùn)20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤(rùn)Q=R-C=pw-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1敏感性分析研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響估計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時(shí)間推遲3%。rt敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。gt強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算。研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤(rùn)的增值每天投入的資金3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題分析問題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問題分析失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度）2）t1

t

t2,

降為-x

(

為隊(duì)員的平均滅火速度）4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋

rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

為已知參數(shù)模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計(jì),

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時(shí)刻,~火勢(shì)蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量x3.4最優(yōu)價(jià)格問題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作x2）收入與銷量x成正比，系數(shù)p即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷量x依賴于價(jià)格p,x(p)是減函數(shù)建模與求解收入支出利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)求p使U(p)最大使利潤(rùn)U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格p*滿足最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到建模與求解邊際收入邊際支出結(jié)果解釋

q/2~成本的一半

b~價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）

a~絕對(duì)需求(

p很小時(shí)的需求)b

p*

a

p*

思考：如何得到參數(shù)a,b?3.5血管分支背景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)克服血液流動(dòng)的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度問題模型假設(shè)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比qq1q1ABB′CHLll1rr1

q=2q1r/r1,

?考察血管AC與CB,CB′粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)

p~A,C壓力差，

~粘性系數(shù)克服阻力消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量管壁內(nèi)表面積2rl管壁體積

(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設(shè)qq1q1ABB′CHLll1rr1

模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1

克服阻力消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量機(jī)體為血流提供能量模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1

模型解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動(dòng)脈半徑rmax,毛細(xì)血管半徑rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論n=？q2U(q1,q2)=cq103.6消費(fèi)者均衡問題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2,消費(fèi)者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格p1,p2,有錢s，試分配s,購(gòu)買甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知價(jià)格p1,p2,錢s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大幾何解釋直線MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點(diǎn)斜率·MQN··結(jié)果解釋——邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。效用函數(shù)U(q1,q2)應(yīng)滿足的條件A.U(q1,q2)=c

所確定的函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸解釋B的實(shí)際意義效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù)

,分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度。購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù)

,

分別表示對(duì)甲乙的偏愛程度。思考：如何推廣到m(>2)種商品的情況效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式3.7冰山運(yùn)輸背景

波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。

專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。建模?zhǔn)備1.日租金和最大運(yùn)量船型小中大日租金（英鎊）最大運(yùn)量（米3）4.06.28.051051061072.燃料消耗（英鎊/千米）3.融化速率（米/天）與南極距離(千米)船速(千米/小時(shí))01000>400013500.10.300.150.4500.20.6冰山體積(米3)船速(千米/小時(shí))1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8建模準(zhǔn)備建模目的選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較模型假設(shè)航行過程中船速不變，總距離9600千米冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水建模分析目的地水體積運(yùn)輸過程融化規(guī)律總費(fèi)用目的地冰體積初始冰山體積燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型模型建立1.冰山融化規(guī)律船速u(千米/小時(shí))與南極距離d(千米)融化速率r(米/天）r是u的線性函數(shù)；d<4000時(shí)u與d成正比d>4000時(shí)u與d無關(guān).航行t天第t天融化速率01000>400013500.10.300.150.4500.20.6urd1.冰山融化規(guī)律冰山初始半徑R0，航行t天時(shí)半徑冰山初始體積t天時(shí)體積總航行天數(shù)選定u,V0,航行t天時(shí)冰山體積到達(dá)目的地時(shí)冰山體積2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vuq1燃料消耗q1(英鎊/千米)q1對(duì)u線性,對(duì)log10V線性選定u,V0,航行第t天燃料消耗q(英鎊/天)燃料消耗總費(fèi)用