重慶市普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試2024年高三第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（重慶一診）

重慶市普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試2024年高三第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（重慶一診）姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A={1,2,3,4,5}，A．{1,2} B．{2,3} C．2．已知復(fù)數(shù)z=a+bi，若z=i?zA．a(chǎn)+b=0 B．a(chǎn)?b=0 C．a(chǎn)b=0 D．a(chǎn)b=13．對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估計(jì)總體集中趨勢(shì)，則a，b可以分別大致反映這組數(shù)據(jù)的（）

A．平均數(shù)，中位數(shù) B．平均數(shù)，眾數(shù)C．中位數(shù)，平均數(shù) D．中位數(shù)，眾數(shù)4．若4cos2A．?2 B．?12 C．1 5．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常用Logistic回歸模型來(lái)分析還款信度評(píng)價(jià)問(wèn)題．某銀行統(tǒng)計(jì)得到如下Logistic模型：P(x)=e?0.97+0.127x1+e?0.97+0.127x，其中x是客戶年收入(單位：萬(wàn)元)，P(x)是按時(shí)還款概率的預(yù)測(cè)值．如果某人年收入是A．0.35 B．0.46 C．0.57 D．0.686．已知f(x)=ln(1+x)?ln(a?bx)是奇函數(shù)，則A．y=2x B．y=x C．y=0 D．y=?2x7．將一副三角板拼接成平面四邊形ABCD(如圖)，BC=1，將其沿BD折起，使得面ABD⊥面BCD，若三棱錐A?BCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為

A．2π B．7π3 C．8π3 8．已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)?2，f(1)=4且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2，若存在x∈[1,2]，使得f(axA．0,12 B．12,58二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于點(diǎn)π6A．y=sin2x+π3 B．y=sin2x?10．已知橢圓E1：x2+4y2A．E1與E2的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．E1C．E1與E2的離心率相等 D．E1與E11．已知三棱柱ABC?A1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，A．棱錐A1?DEF的體積為124V C．多面體A1B1ABEF的體積為51212．若不相等的兩個(gè)正數(shù)a，b滿足a2A．a(chǎn)+b>1 B．a(chǎn)+b<43 C．a(chǎn)b>1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中有編號(hào)為1，2的黑球和編號(hào)為1，2，3的白球，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率為．14．若向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，若b與a的夾角為銳角，則15．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=216．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y2=a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作一直線交C于M，N四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a（1）求{a（2）[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.7]=[1]=1，[?1.5]=[?2]=?2.若bn=2an，Tn18．2024年1月18日是中國(guó)傳統(tǒng)的“臘八節(jié)”，“臘八”是中國(guó)農(nóng)歷十二月初八(即臘月初八)這一天．臘八節(jié)起源于古代祭祀祖先和神靈的儀式，后逐漸成為民間節(jié)日，盛行于中國(guó)北方．為調(diào)查不同年齡人群對(duì)“臘八節(jié)”民俗文化的了解情況，某機(jī)構(gòu)抽樣調(diào)查了某市的部分人群．（1）在100名受調(diào)人群中，得到如下數(shù)據(jù)：年齡了解程度不了解了解30歲以下162450歲以上1644根據(jù)小概率值α=0.1的χ2（2）調(diào)查問(wèn)卷共設(shè)置10個(gè)題目，選擇題、填空題各5個(gè)．受調(diào)者只需回答8個(gè)題：其中選擇題必須全部回答，填空題隨機(jī)抽取3個(gè)進(jìn)行問(wèn)答．某位受調(diào)者選擇題每題答對(duì)的概率為0.8，知道其中3個(gè)填空題的答案，但不知道另外2個(gè)的答案．求該受調(diào)者答對(duì)題目數(shù)量的期望．參考公式：①χ獨(dú)立性檢驗(yàn)常用小概率值和相應(yīng)臨界值：

α

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

x

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828②隨機(jī)變量X，Y的期望滿足：E(X+Y)=E(X)+E(Y)19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積S=a（1）求tanA（2）若cosBcosC=?5520．如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2，BC=2，∠BAD=45°，PA=PD（1）證明：PB⊥BC；（2）若PA=3，PC=13，求二面角A?PB?C21．已知A(2,2)，B，C是拋物線E：x2=2py上的三點(diǎn)，且直線AB與直線（1）求直線BC的斜率；（2）若直線AB，AC均與圓M：x2+(y?2)2=r2(0<r<322．已知函數(shù)f(x)=ex（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)x0，且f(（2）若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，記較小的零點(diǎn)為x1，s是關(guān)于x的方程ln(1+x)?cos

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】2x解得：32<x<4，所以集合B={x|3所以A∩B={2,故答案為：B【分析】利用一元二次不等式的解法先求出集合B，再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則共軛復(fù)數(shù)z=a-bi，

所以a?bi=i?(a+bi)=?b+ai，

則a=?b-b=a所以a+b=0.故答案為：A.

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】由中位數(shù)和平均數(shù)的分布規(guī)律得（直方圖在左邊拖尾），故在這個(gè)頻率分布直方圖內(nèi)a是平均數(shù)，b是中位數(shù)，故A正確，C錯(cuò)誤.

根據(jù)頻率分布直方圖所示，眾數(shù)在最高的小長(zhǎng)方形內(nèi)，故排除BD，故答案為：A.

【分析】由中位數(shù)和平均數(shù)的分布規(guī)律的理解，直接求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】由題意sin(π+2α)=-sin2α，

因?yàn)?cos2α+所以2cos2α=2(2cos2故答案為：D.【分析】由誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)可得2cos2α=sin5．【答案】C【解析】【解答】根據(jù)題意，ln1.35≈0.3，由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化可得e0故答案為：C.【分析】結(jié)合由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化運(yùn)算，求得e0.36．【答案】A【解析】【解答】f(x)為奇函數(shù)，滿足f(0)=0，

所以f(0)=ln(1+0)?ln所以f(x)=ln(1+x)?ln(1?bx)=ln1+x1?bx(b≠?1)，

又因?yàn)榧磍n1+x1?bx+ln1?x1+bx=0，

解得b=±1，由于b≠?1，所以b=1，

所以f(x)=ln(1+x)?ln故f(x)=ln(1+x)?ln(1?x)，則故f'(0)=2，故切線方程為故答案為：A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)、f(0)=0，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解a，b的值，求導(dǎo)得切線斜率，再由直線的點(diǎn)斜式即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】由題意得，將一副三角板拼接成平面四邊形ABCD，BC=1，將其沿BD折起如圖所示：

則BD=2，AB=23=63，

面ABD∩面BCD=BD，且AB⊥BD，AB?面ABD，

則AB⊥面BCD，因?yàn)镃D?面BCD，所以AB⊥CD，

又因?yàn)镃D⊥BC，BC,AB?面ABC，且所以CD⊥平面ABC，

因?yàn)锳C?平面ABC，

所以CD⊥AC，取AD中點(diǎn)為O，則AO=DO=BO=CO，

則球心即為AD中點(diǎn)，而AD=2AB=263則球O的表面積為4π×(故答案為：C.【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理可得球心即為AD中點(diǎn)，從而可得球的半徑，再由球的表面積公式計(jì)算即可得出結(jié)論.8．【答案】D【解析】【解答】任取x1,x2，且x1<x2，則x2又函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)?2，

因此f(則函數(shù)f(x)是增函數(shù)，

于是f(ax2?2x)=?1，

令x=y=0令x=?1,y=?1，得f(?2)令x=y=?32，得f(?3原問(wèn)題即2a=4x?3x2在[1則2a=?3t2+4t=?3(t?23所以a的取值范圍是[1故答案為：D【分析】先證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再由特殊值法代入函數(shù)，求出f(?39．【答案】B,C,D【解析】【解答】對(duì)于A，y=sin(2x+π3)，令x=對(duì)于B，當(dāng)x=π6時(shí)，sin(2×對(duì)于C，當(dāng)x=π6時(shí)，cos(2×對(duì)于D，當(dāng)x=π6時(shí)，2×π故答案為：BCD【分析】利用特殊值法，把x=π10．【答案】B,C【解析】【解答】橢圓E1：化簡(jiǎn)得x2a2+由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，E1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為a，E2的長(zhǎng)軸為4a，短軸為E1的離心率為e1=a2因?yàn)镋1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與E2的短軸長(zhǎng)相等，且E1的焦點(diǎn)在x軸上，E則E1與E故答案為：BC.【分析】將橢圓E1，E11．【答案】B,C【解析】【解答】對(duì)A，設(shè)三棱柱底面積為S，高為h，三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V如圖所示：

則V=Sh則棱錐A1?DEF的體積為對(duì)B，因?yàn)锳F=12AC，DE//AC則四邊形ADEF為平行四邊形，所以S四邊形ADEF則VA對(duì)C，因?yàn)椤鰿EF∽△A1B1C1，且棱柱上下底面平行如圖所示：

并且E，F(xiàn)則線段C1則多面體CEF?C1B則VCEF?所以VA對(duì)D，如圖所示：

因?yàn)镾△ADF=S△BDE=S則VA故答案為：BC.【分析】根據(jù)棱錐、棱柱和棱臺(tái)的體積公式，以及求多面體體積的割補(bǔ)法分析即可.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】a2+b因?yàn)閍，b為不相等的兩個(gè)正數(shù)，所以ab>0，且a≠b，從而(a+b)2?(a+b)>0，解得：因?yàn)閍≠b，所以ab<(a+b)即(a+b)2?(a+b)<(a+b)綜上可知，1<a+b<4ab=(a+b)從而ab<1故答案為：ABD【分析】先將等式化簡(jiǎn)為(a+b)2?(a+b)=ab，結(jié)合基本不等式即可求a+b的取值范圍，再根據(jù)a+b的取值范圍，求13．【答案】1【解析】【解答】由題意，編號(hào)為1，2的黑球中取一個(gè)，有C21種，

編號(hào)為1，2，3的白球中取一個(gè)，有C31種，

所以取出的球顏色不同的取法數(shù)有當(dāng)選編號(hào)為1的黑球時(shí)，可以選編號(hào)為2的白球，1種取法；當(dāng)選編號(hào)為2的黑球時(shí)，可以選編號(hào)為1，3的白球，2種取法；即在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的取法數(shù)有1+2=3種，所以在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率為P=3故答案為：12【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)公式計(jì)算古典概率即可.14．【答案】1,3【解析】【解答】由題意得：b與a的夾角為銳角，所以cos?a,又|a|=1，因?yàn)?<cos則0<2cos1<1+2cos所以a?所以a?(a故答案為：(【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義求解即可.15．【答案】-4【解析】【解答】Sn=2an+λ，

當(dāng)n=1當(dāng)n≥2,n∈N所以Sn所以{Sn?λ}所以Sn?λ=?λ2又因?yàn)镾6=λ(1?2故答案為：?4.【分析】令n=1求得a1=?λ，利用an和Sn關(guān)系得等比數(shù)列{S16．【答案】2【解析】【解答】由題意得如圖所示：

設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y顯然直線MN的傾斜角為60°，斜率為3，方程為y=3由y=3(x?c)x2?則x1+x2=32a顯然x1>0,x2>0，

則△MNF所以雙曲線C的焦距2c=22故答案為：2【分析】設(shè)出M,N坐標(biāo)，利用雙曲線方程可得c=2a，求出直線17．【答案】（1）解：設(shè){an}的公差為d，由題意，得a1+4d=1，2a1+16d=?2，

所以（2）解：由題意，[a1]=3，[a2]=[a3]=2，[a4]=[a5【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可，（2）根據(jù)an=?n+72，用列舉法求得18．【答案】（1）解：零假設(shè)H0：對(duì)“臘八節(jié)”民俗的了解程度與年齡相互獨(dú)立，

由題意得χ2=10016×44?16×24240×60×32×68=100（2）解：設(shè)選擇題部分和填空題部分答對(duì)題目分別為X和Y，

因?yàn)閄服從B(5,0.8)，E(X)=5×0.8=4．

由題意，Y的可能取值為1，2，3，

PY=1=C31C22【解析】【分析】（1）計(jì)算出χ2（2）用X、Y分別表示受調(diào)者答對(duì)選擇題、填空題的個(gè)數(shù)，求出E(X)、E(Y)，由E(X+Y)=E(X)+E(Y)即可求解.19．【答案】（1）解：由題意三角形面積S=a2sinBsinCcosA=12absinC，

因?yàn)閍和b均不等于0，sin（2）解：由(1)sinA=12cosA以及sin2A+cos2A=1得sinA=55，cosA=255

所以【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式以及正弦定理的邊角互化即可求解；（2）根據(jù)（1）的tanA=12，可求出sinA和cosA的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可得cos20．【答案】（1）證明：取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP如圖所示：

△PAD中，因?yàn)镻A=PD，所以O(shè)P⊥AD．

△AOB中，因?yàn)锳B=2，AO=12BC=1，∠BAD=45°，

由余弦定理，得OB=1，所以O(shè)B2+AO2=AB2，即OB⊥AD．

因?yàn)镺P，OB是平面BOP內(nèi)的兩條相交直線，

所以AD⊥平面BOP．

（2）解：由(1)知，PB⊥BC，所以PB2=PC2?BC2，則PB=3，

又PO=PA2?AO2=22，PO2+OB2=9=PB2，所以PO⊥OB．

因?yàn)镺P⊥AD，AD,OB是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線，

所以PO⊥平面ABCD．

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(?2,1,0)，D(?1,0,0)，P(0,0,22).

則AB=(?1,1,0)，PB=(0,1,?22)，BC【解析】【分析】（1）作出輔助線，取AD中點(diǎn)O，先證明OB⊥AD，再利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.21．【答案】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在拋物線E:x2=2py上，所以p=1，

所以拋物線E的方程為：x2=2y．

設(shè)B(x1,x122)，C(x2,（2）解：解：由(1)設(shè)直線BC的方程為y=?2x+m，代入x2=2y，

消去y得：x2+4x?2m=0則△=16+8m>0，

x1+x2=?4，x1x2=?2m，

因?yàn)橹本€BC被圓M截