河北省唐山市2024屆高三下學(xué)期第一次模擬演練數(shù)學(xué)試題

河北省唐山市2024屆高三下學(xué)期第一次模擬演練數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=21+i，則A．1+i B．1?i C．2 D．22．已知x∈R，p：“x2?x>0”，q：“x>1”，則p是A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量a=(3,?1)，b=(?2,A．25 B．4 C．2104．已知函數(shù)f(x)=xx?2，則A．0 B．2 C．22 5．從正方體的8個頂點(diǎn)中任取3個連接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成正三角形的概率為（）A．17 B．114 C．276．已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與E交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線交于C、D兩點(diǎn)，若|CD|=221A．3 B．4 C．6 D．87．已知球與圓臺的底面、側(cè)面都相切，且圓臺母線與底面所成角為60A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：138．已知函數(shù)f(x)=|sinA．f(x)在[?πB．(3π8,0)C．f(x)在[?π6D．x=π8是二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知樣本數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，則（）A．極差為8 B．方差為6C．平均數(shù)為5 D．80百分位數(shù)為710．已知函數(shù)f(x)=xA．直線y=?32xB．f(x)有兩個極值點(diǎn)C．f(x)有三個零點(diǎn)D．存在等差數(shù)列{an11．在透明的密閉正三棱柱容器ABC?A1B1C1內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知AB=AAA．水面形狀的變化：三角形?梯形?矩形B．當(dāng)C1AC．當(dāng)B∈α?xí)r，水面與地面的距離為8D．當(dāng)側(cè)面ACC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在(2x3?13．在△ABC中，AB=5,BC=7,AC=8，D是AB邊上一點(diǎn)，CD⊥AB14．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交E于A，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求{a（2）記{an+log2an}16．某項(xiàng)測試共有8道題，每道題答對5分，不答或答錯得0分．某人答對每道題的概率都是14，每道試題答對或答錯互不影響，設(shè)某人答對題目的個數(shù)為X（1）求此人得分的期望；（2）指出此人答對幾道題的可能性最大，并說明理由．17．如圖，三棱柱ABC?A1B1C（1）證明：A1（2）若A1C⊥A①證明：平面A1BC⊥平面②求平面ABC與平面A118．已知雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，A(2（1）求Γ的方程：（2）若雙曲線Γ的離心率e不大于2，過B的直線l與Γ交于不同的兩點(diǎn)M，N．求直線AM與直線AN的斜率之和．19．已知函數(shù)f(x)=tanx，（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π（2）當(dāng)x∈(0,π2)

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z=21+i=21?i故答案為：D.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z，再求其共軛復(fù)數(shù)z，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由x2?x>0，解得x>1或x<0，故p是故答案為：B.【分析】解一元二次方程，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：易知a→+b→=(1，x?1)，因?yàn)閍所以b=(?2,4)故答案為：A.【分析】由題意，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)和向量的模長公式計算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=xx?2的定義域?yàn)橐驗(yàn)閤>2，所以x-2>0，所以f(x)=x當(dāng)且僅當(dāng)x?2=2x?2，即x=4時等號成立，故f(x)故答案為：C.【分析】利用基本不等式求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：從正方體的八個頂點(diǎn)中任選三個共有：C8其中能構(gòu)成正三角形的有8種結(jié)果：△ACD1,△BDC1故答案為：A．【分析】利用排列組合以及古典概型的概率公式求解即可．6．【答案】D【解析】【解答】解：易知F(1,0)，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，直線CD與x軸交于點(diǎn)由|CD|=221，則|ED|=所以圓的半徑r=(21)由拋物線的定義可得：xA+p2=5，所以xA=4，又因?yàn)辄c(diǎn)A故答案為：D.【分析】設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由|CD|=221，確定圓的半徑，利用拋物線的定義求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求|AB|7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)球的半徑為R，圓臺上下底面圓的半徑分別為r1，r取圓臺的軸截面ABCD，則四邊形ABCD為等腰梯形，如圖所示：

圓臺的外接球球心為O，則球心O在截面ABCD內(nèi)，在截面ABCD內(nèi)，設(shè)圓O切梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA分別于點(diǎn)E、F、G、H，由切線長定理可得AE=AH，DG=DH，故AD=DH+AH=DG+AE，即l=r由于∠ABC=60°，所以GE=2R=lsin則S球故答案為：B．【分析】作出圓臺的軸截面，利用切線長定理可得母線與半徑的關(guān)系；結(jié)合圓臺母線與底面所成角為608．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π，所以ω=2，所以函數(shù)f(x)=|sin即f(x)=2sin(2x+A、由圖可知：函數(shù)f(x)在[?πB、由圖象可知：函數(shù)f(x)無對稱中心，故B錯誤；C、由圖象可知：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,π6]，所以2sin(2x+π4)∈[1,2D、由圖象可知：函數(shù)f(x)的對稱軸為x=kπ故答案為：C.【分析】由函數(shù)f(x)的最小正周期為π，求出ω，代入化簡f(x)，作出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)判斷即可.9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由樣本數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9可知：

A、極差為9?1=8，故A正確；B、方差為(1?5)2+(2?5)2+?+D、第80百分位數(shù)為9×0.8=7.故答案為：AC.【分析】由極差，方差，平均數(shù)，第百分位數(shù)的計算逐項(xiàng)判斷即可.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=x3?3x+1的定義域?yàn)镽A、令f'(x)=?32=3x2?3，解得當(dāng)x=-22時，f(?22)=542+1B、令f'(x)=0，解得x=±1，所以函數(shù)在(?∞,故x=?1時取得極大值，x=1取得極小值，故B正確；C、因?yàn)閒(?1)=3>0,D、取an=n?3，則故答案為：BCD【分析】求導(dǎo)，令f'11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由題可知：正三棱柱的體積V=34×16×4=16A、當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至B∈α?xí)r，水面形狀是三角形，再傾斜時，水面形狀是梯形，直到側(cè)面ACCB、如圖1所示：

當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至C1A1?α?xí)r，設(shè)水面與棱B設(shè)MB1=a，又三棱柱ABC?A1B1易知A1E⊥B1C1,所以A1E⊥面BCC1B1，所以點(diǎn)A1到平面BC此時水面圖形為△A1MC1取A1C1中點(diǎn)，則HM⊥A1C、如圖2所示：

當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至B∈α?xí)r，設(shè)水面與棱A1B1,易知FG//A1C1//AC因?yàn)樗媸冀K與地面平行，AC始終與水面平行，且AC始終在地面上，所以水面與地面的距離，即AC到平面的距離，取AC中點(diǎn)Q，連接HQ,BQ，設(shè)B1H交FG于易知HQ⊥AC,BQ⊥AC，又HQ∩BQ=Q，HQ,BQ?面QBB又FG//A1C1//AC，所以FG⊥面QBB1因?yàn)镼R?面QBB1H，所以FG⊥QR，又FG∩BK=K，F(xiàn)G所以QR⊥α，即QR為水平面到地面的距離，如圖3所示：

過K作KP⊥QB于P，易知B1K=23sin得到sin∠QBR=KPKB=45D、如圖4所示：當(dāng)側(cè)面ACC1A1與地面重合時，水面α為矩形則由VB1M1N1?B故答案為：ABC.【分析】根據(jù)已知條件求得正三棱柱的體積V=163，V12．【答案】?8【解析】【解答】解：(2x3?令12?4r=0，解得r=3，則(2x3?故答案為：-8.【分析】先寫出(2x13．【答案】4【解析】【解答】解：由余弦定理可得：cosA=AC2+A在Rt△ACD中，則CD=8sin故答案為：43【分析】根據(jù)已知條件，利用余弦定理求cosA，即可得A，再在Rt△ACD中，求CD14．【答案】x【解析】【解答】解：因?yàn)镃是線段BF1的中點(diǎn)，O是線段F2F1的中點(diǎn)，所以設(shè)橢圓焦距為2c，則F2(c,0)，F(xiàn)1(?c,0)因?yàn)镃(0,?1)是線段BF1的中點(diǎn)，所以|BF由AB?AC=AC2可得?又b2=2a=a2?c2故答案為：x2【分析】根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可得OC//F215．【答案】（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q因?yàn)閍n>0，所以依題意可得a3=4a整理得q2解得q=2或q=?3（舍去），所以an（2）解：由（1）可知an故T=顯然，Tn隨著nT10T11所以滿足Tn<2024的最大整數(shù)【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n（2）由（1）得an+log2an=216．【答案】（1）解：某人答對每道題的概率都是14，則答對題目的個數(shù)X即X～B(8,14)，所以此人答題得分為5X，因此，在此項(xiàng)測試中，此人答題得分的期望為E(5X)=5E(X)=5×2=10.（2）解：設(shè)此人答對k道題的可能性為P(x=k)=C8k記pk=P(x=k)=8當(dāng)k<94時，pk>pk?1，當(dāng)k>94時，pk<pk?1，所以當(dāng)k=2時，p2最大，因此此人答對2【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，答對題目的個數(shù)X服從二項(xiàng)分布X～B(8,14（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式有P(X=k)=C8k(14)k×17．【答案】（1）證明：取BC,B1C1的中點(diǎn)為由于側(cè)面BB1C1C為矩形，所以B由于底面ABC為等邊三角形，所以AO⊥BC，AO∩OM=O,AO,所以BC⊥平面AOM，由于AA1//故A1O?平面AOM，故又O是BC中點(diǎn)，所以A1（2）解：①由于AB=BC=AC=2,AO⊥BC,O是又A1B=A1C且由于BC⊥A1O，BC⊥AO，故∠由于A1O2故平面A1②由于OA1,OA,則A1(0設(shè)平面A1BC1的法向量為m=(x,y由于平面ABC的法向量為OA1故平面ABC與平面A1B【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明BC⊥平面AOM，即可結(jié)合中點(diǎn)求證；（2）①根據(jù)線線垂直可知∠A1OA為A1?BC?A②以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法向求解即可.18．【答案】（1）解：依題意可得4a2?9b2=1由y=2x?1x2a2?當(dāng)b2?4a2=0時，又4所以雙曲線Γ的方程為x2當(dāng)b2?4a2≠0又4a2?9b2=1所以雙曲線Γ的方程為x2綜上可得雙曲線Γ的方程為x274（2）解：當(dāng)a2=74，當(dāng)b2=3，a2所以雙曲線Γ的方程為x2設(shè)M(x1,y1)，N(x由y=k(x?12)x2由Δ=k4+4(3?所以x1+x所以k=2k+(=2k+(=2k+(=2k+(3k所以直線AM與直線AN的斜率之和為4.【解析】【分析】（1）依題意可得4a2?9b2=1，再求出直線AB的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，消元，分b（2）首先由離心率分析雙曲線Γ的方程為x2?y23=1，設(shè)M(x19．【答案】（1）解：由f(x)=tanx得f'所以所求切線方程為y?1=2