2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形認(rèn)識初步

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形認(rèn)識初步一．選擇題（共10小題）1．如圖，∠MON的度數(shù)可能是（）A．50° B．60° C．70° D．120°2．如圖是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中與“的”字所在的面相對的面上標(biāo)的漢字是（）A．祖 B．國 C．厲 D．害3．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．65° D．75°4．如圖，電腦屏幕上，設(shè)計一個運動的光點P，點P先沿水平直線從左向右勻速運動到點A，在A點向右轉(zhuǎn)70°后，再沿直線勻速運動到B點，在B點向左轉(zhuǎn)100°后，再沿直線勻速運動到C點，在C點再向右轉(zhuǎn)45°后，沿直線勻速運動到M點，此時點M在C點的（）A．南偏東15° B．南偏西45° C．南偏東75° D．南偏東85°5．如圖，從點O處觀測點A，點D的方向，下列說法中錯誤的是（）A．點A在點O的北偏東30°方向上 B．點D在點O的東南方向上 C．點A在點O的北偏東60°方向上 D．點D在點O的南偏東45°方向上6．如圖，將兩塊三角板的直角∠AOB與∠COD的頂點O重合在一起，繞點O轉(zhuǎn)動三角板AOB，使兩塊三角板仍有部分重疊，且∠AOD＝3∠BOD，則∠AOC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC與DG交于點F．若∠EDB＝58.1°，則∠AFD的大小為（）A．63.1° B．73.1° C．76.9° D．58.1°8．?dāng)?shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列有關(guān)實例（如圖）所應(yīng)用的最主要的幾何知識，說法不正確的是（）A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應(yīng)用了“三角形的穩(wěn)定性” B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應(yīng)用了“兩點之間，線段最短” C．圖③中體育課上，測量立定跳遠(yuǎn)的成績，應(yīng)用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度” D．圖④中車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點到圓心的距離都相等”9．如圖，取一根長100cm的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側(cè)距離中點O25cm（L1＝25cm）處掛一個重9.8N（F1＝9.8N）的物體，在中點O右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足FL＝F1L1.若彈簧秤的示數(shù)F不超過7N，則L的取值范圍是（）A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤5010．小欣同學(xué)用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，選出墨水在哪個盒子中（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）11．一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大是．12．若∠A與∠B互為補角，并且∠B度數(shù)的一半比∠A的度數(shù)小30°，則∠B的度數(shù)為．13．如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠AOB＝．14．如圖，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東70°，如果A、B兩地同時開工，那么∠B為°時，才能使公路準(zhǔn)確接通．15．有一個正六面體骰子放在桌面上，若將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°為一次，則滾動第2023次后，骰子朝下一面的點數(shù)是．三．解答題（共5小題）16．如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長為a的正方形．（1）立體圖形①的名稱是；（2）請問立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？（用含a和π的式子表示，V圓錐=17．如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°方向，求∠ACB的度數(shù)．18．一個無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．（1）該盒子的底面的長為（用含a的式子表示）．（2）若①，②，③，④四個面上分別標(biāo)有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，求x的值．（3）請在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．19．【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時停止轉(zhuǎn)動．【解決問題】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；（3）當(dāng)∠AOC、∠BOD中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請直接寫出所有滿足條件的t值．20．某風(fēng)景區(qū)A，B，C，D四個景點在一條直線上，圖中數(shù)據(jù)為各景點之間的距離（單位：千米）．（1）求景點C，D之間的距離．（用含m的代數(shù)式表示）（2）若景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等，求景點B，D之間的距離．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形認(rèn)識初步參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，∠MON的度數(shù)可能是（）A．50° B．60° C．70° D．120°【考點】角的概念；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)量角器的用法將量角器移至正確位置即可判定求解．【解答】解：由量角器的位置可判斷ON與70°的刻度線接近平行，∴將量角器右移，使點O與量角器的中心點位置重合時，ON與70°刻度線接近重合，∴∠MON是70°，故選：C．【點評】本題主要考查角的概念，平行線的性質(zhì)，掌握量角器的用法是解題的關(guān)鍵．2．如圖是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中與“的”字所在的面相對的面上標(biāo)的漢字是（）A．祖 B．國 C．厲 D．害【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】B【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“祖”與“厲”是相對的面，“國”與“的”是相對的面，“我”與“害”是相對的面，故選：B．【點評】本題考查正方體的展開與折疊，掌握正方體表面展開圖的特征，正確判斷正方體展開圖中“相對的面”是正確解答的關(guān)鍵．3．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．65° D．75°【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】D【分析】由題意可得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，再利用余角的定義即可求解．【解答】解：由題意知：∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，所以∠1的余角為90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．故選：D．【點評】本題主要考查余角及角的和差關(guān)系，解答的關(guān)鍵是由圖形得到∠1的度數(shù)．4．如圖，電腦屏幕上，設(shè)計一個運動的光點P，點P先沿水平直線從左向右勻速運動到點A，在A點向右轉(zhuǎn)70°后，再沿直線勻速運動到B點，在B點向左轉(zhuǎn)100°后，再沿直線勻速運動到C點，在C點再向右轉(zhuǎn)45°后，沿直線勻速運動到M點，此時點M在C點的（）A．南偏東15° B．南偏西45° C．南偏東75° D．南偏東85°【考點】方向角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】C【分析】如圖，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ADB＝30°，然后再計算出∠FCM＝75°，根據(jù)方向角的定義即可得出答案．【解答】解：如圖，∵∠ADB＝100°﹣70°＝30°，∠CED＝90°，∴∠DCF＝30°+90°＝120°，∴∠FCM＝120°﹣45°＝75°，∴此時點M在C點的南偏東75°．故選：C．【點評】本題考查了方向角，關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)和方向角的定義．5．如圖，從點O處觀測點A，點D的方向，下列說法中錯誤的是（）A．點A在點O的北偏東30°方向上 B．點D在點O的東南方向上 C．點A在點O的北偏東60°方向上 D．點D在點O的南偏東45°方向上【考點】方向角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)方向角的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、點A在點O的北偏東60°方向上，故A符合題意；B、點D在點O的東南方向上，故B不符合題意；C、點A在點O的北偏東60°方向上，故C不符合題意；D、點D在點O的南偏東45°方向上，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．6．如圖，將兩塊三角板的直角∠AOB與∠COD的頂點O重合在一起，繞點O轉(zhuǎn)動三角板AOB，使兩塊三角板仍有部分重疊，且∠AOD＝3∠BOD，則∠AOC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點】角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD＝3∠AOC，∴3∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠AOC+∠AOB＝180°，∴2∠AOC+90°＝180°，解得：∠AOC＝45°．故選：B．【點評】本題主要考查了角的和與差，解題的關(guān)鍵是正確推理．7．兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC與DG交于點F．若∠EDB＝58.1°，則∠AFD的大小為（）A．63.1° B．73.1° C．76.9° D．58.1°【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到∠EDG＝45°，再由平角的定義得到∠ADF＝76.9°，則由三角形內(nèi)角和定理可得∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°．【解答】解：∵∠DGE＝90°，∠E＝45°，∴∠EDG＝180°﹣∠G﹣∠E＝45°，∵∠EDB＝58.1°，∴∠ADF＝180°﹣∠EDB﹣∠EDG＝76.9°，∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°，故選：B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．8．?dāng)?shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列有關(guān)實例（如圖）所應(yīng)用的最主要的幾何知識，說法不正確的是（）A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應(yīng)用了“三角形的穩(wěn)定性” B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應(yīng)用了“兩點之間，線段最短” C．圖③中體育課上，測量立定跳遠(yuǎn)的成績，應(yīng)用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度” D．圖④中車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點到圓心的距離都相等”【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最短；點到直線的距離；三角形的穩(wěn)定性；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】幾何圖形；幾何直觀．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，兩點確定一條直線，垂線段最短，圓的認(rèn)識進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應(yīng)用了“三角形的穩(wěn)定性”，故本選項不合題意；B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”，故本選項符合題意；C．圖③中體育課上，測量立定跳遠(yuǎn)的成績，應(yīng)用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度”，故本選項不符合題意；D．圖④中車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點到圓心的距離都相等”，故本選項不合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，兩點確定一條直線，垂線段最短，圓的認(rèn)識等知識點，熟記相關(guān)的性質(zhì)或定理即可．9．如圖，取一根長100cm的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側(cè)距離中點O25cm（L1＝25cm）處掛一個重9.8N（F1＝9.8N）的物體，在中點O右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足FL＝F1L1.若彈簧秤的示數(shù)F不超過7N，則L的取值范圍是（）A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤50【考點】兩點間的距離．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)彈簧秤平衡的結(jié)論FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可．【解答】解：由于彈簧秤在木桿的中點O的右側(cè)，所以L≤50，又∵FL＝F1L1，即F=F1∴L≥35，所以35≤L≤50．故選：D．【點評】本題考查兩點間的距離，理解“杠桿平衡的條件”以及F不超過7N的意義，列不等式進(jìn)行解答解答即可．10．小欣同學(xué)用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，選出墨水在哪個盒子中（）A． B． C． D．【考點】展開圖折疊成幾何體．【專題】推理填空題；空間觀念．【答案】B【分析】在驗證立方體的展開圖時，要細(xì)心觀察每一個標(biāo)志的位置是否一致，然后進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)展開圖中各種符號的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．故選：B．【點評】本題考查正方體的表面展開圖及空間想象能力．易錯易混點：學(xué)生對相關(guān)圖的位置想象不準(zhǔn)確，從而錯選，解決這類問題時，不妨動手實際操作一下，即可解決問題．二．填空題（共5小題）11．一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大是53．【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字．【專題】展開與折疊；空間觀念．【答案】53．【分析】分別求出最右邊的正方體、最上邊的正方體、左下角的正方體所能看到的數(shù)字之和最大的情況即可．【解答】解：要使幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大，最右邊的那個正方體所能看到的4個數(shù)字為3，4，5，6，和為18；最上邊的那個正方體所能看到的6個數(shù)字為2，3，4，5，6，和為20；左下角的那個正方體所能看到的3個數(shù)字為4，5，6，和為15；所以這個幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大為：18+20+15＝53，故答案為：53．【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”是解題的關(guān)鍵．12．若∠A與∠B互為補角，并且∠B度數(shù)的一半比∠A的度數(shù)小30°，則∠B的度數(shù)為100°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】100°．【分析】根據(jù)互為補角的和等于180°，然后根據(jù)題意列出關(guān)于∠A、∠B的二元一次方程組，求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：∠A+∠B＝180°①，且12∠B＝∠A﹣30°②由①得：∠A＝180°﹣∠B③，把③代入②得：12∠B＝180°﹣∠B﹣30解得∠B＝100°．故答案為：100°．【點評】本題考查了互為補角的和等于180°的性質(zhì)，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠AOB＝141°．【考點】方向角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先計算出∠3的度數(shù)，再計算∠AOB的度數(shù)即可．【解答】解：由題意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．故答案為：141°．【點評】此題主要考查了方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意找出圖中角的度數(shù)．14．如圖，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東70°，如果A、B兩地同時開工，那么∠B為110°時，才能使公路準(zhǔn)確接通．【考點】方向角．【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識．【答案】110．【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠A+∠B＝180°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵使公路準(zhǔn)確接通，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝70°，∴∠B＝110°．故答案為：110．【點評】本題主要考查方向角，靈活利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．有一個正六面體骰子放在桌面上，若將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°為一次，則滾動第2023次后，骰子朝下一面的點數(shù)是5．【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】展開與折疊；空間觀念．【答案】5．【分析】根據(jù)題意可得：3和4是相對面，2和5是相對面，且朝下一面的點數(shù)依次為2，3，5，4，且4次一循環(huán)，然后進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：3和4是相對面，2和5是相對面，且朝下一面的點數(shù)依次為2，3，5，4，且4次一循環(huán)，∵2023÷4＝505...3，∴滾動第2023次后，骰子朝下一面的點數(shù)是5，故答案為：5．【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長為a的正方形．（1）立體圖形①的名稱是圓錐；（2）請問立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？（用含a和π的式子表示，V圓錐=【考點】點、線、面、體；列代數(shù)式．【專題】推理能力．【答案】（1）圓錐；（2）立體圖形②比立體圖形①的體積大13【分析】（1）根據(jù)立體圖形的定義即可解答；（2）設(shè)圖形①、②的體積分別為V1、V2，然后分別求得圖形①、②的體積，然后作差即可解答．【解答】解：（1）以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸得到的立體圖形為圓錐．故答案為：圓錐．（2）設(shè)圖形①、②的體積分別為V1、V2，則V1=1∴V2-V1=πa【點評】本題主要考查了圓錐的定義、圓錐的體積、圓柱的體積等知識點，掌握圓錐的相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．17．如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°方向，求∠ACB的度數(shù)．【考點】方向角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】90°．【分析】先根據(jù)題意得出∠BAC的度數(shù)，由AE∥DB可得出∠DBA的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠ABC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝45°+30°＝75°．∵AE∥DB，∴∠DBA＝∠BAE＝45°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝60°﹣45°＝15°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣75°＝90°．【點評】本題考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．18．一個無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．（1）該盒子的底面的長為3a（用含a的式子表示）．（2）若①，②，③，④四個面上分別標(biāo)有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，求x的值．（3）請在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字；列代數(shù)式；整式的加減．【專題】整式；幾何直觀．【答案】（1）3a；（2）4；（3）見解答過程．【分析】（1）依據(jù)無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為2a，即可得到底面的長；（2）根據(jù)該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，列方程求解即可；（3）依據(jù)長方體的展開圖的特征，即可在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．【解答】解：（1）由題可得，無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為3a﹣a＝2a，∴底面的長為5a﹣2a＝3a，故答案為：3a；（2）∵①，②，③，④四個面上分別標(biāo)有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，解得x＝4；（3）如圖所示：（答案不唯一）【點評】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念是解決此類問題的關(guān)鍵．19．【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時停止轉(zhuǎn)動．【解決問題】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系∠AOC+∠BOD＝180°；（2）當(dāng)運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；（3）當(dāng)∠AOC、∠BOD中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請直接寫出所有滿足條件的t值．【考點】角的計算；角平分線的定義．【專題】三角形；推理能力．【答案】（1）∠AOC+∠BOD＝180°；（2）有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由略；（3）t＝4或8．【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論．（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數(shù)可得解．（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得t的值．【解答】解：（1））①如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝180°．②如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝180°．綜上，∠AOC+∠BOD＝180°．（2）由題意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如圖所示，理由如下：當(dāng)運動時間為9秒時，∠AOC＝15°×9＝135°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．∴∠BOC＝∠BOD＝45°．∴OB平分∠COD．又∠BOD＝45°=12∠∴OD平分∠AOB．（3）由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．當(dāng)∠BOD＝2∠AOC時，又∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC＝60°．∴15t＝60，解得t＝4．當(dāng)2∠BOD＝∠AOC時，又∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC＝120°．∴15t＝120，解得t＝8．綜上，t＝4或8．【點評】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵．20．某風(fēng)景區(qū)A，B，C，D四個景點在一條直線上，圖中數(shù)據(jù)為各景點之間的距離（單位：千米）．（1）求景點C，D之間的距離．（用含m的代數(shù)式表示）（2）若景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等，求景點B，D之間的距離．【考點】兩點間的距離；列代數(shù)式．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）（3+3m）千米；（2）13千米．【分析】（1）景點C，D之間的距離等于B，D之間的距離減去B，C之間的距離；（2）根據(jù)景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，答：景點C，D之間的距離為（3+3m）千米；（2）由題意得5+（6﹣m）＝3+3m，解得m＝2，∴BD＝9+2m＝13，答：景點B，D之間的距離13千米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，掌握題意正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．2．規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式．（2）利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．3．整式的加減（1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項．（2）整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項．（3）整式加減的應(yīng)用：①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實際問題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問題1．整式的加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．2．去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數(shù)字因數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；二是當(dāng)括號外是“﹣”時，去括號后括號內(nèi)的各項都要改變符號．4．點、線、面、體（1）體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．（2）從運動的觀點來看點動成線，線動成面，面動成體．點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界．（3）從幾何的觀點來看點是組成圖形的基本元素，線、面、體都是點的集合．（4）長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡稱體．（5）面有平面和曲面之分，如長方體由6個平面組成，球由一個曲面組成．5．展開圖折疊成幾何體通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形．6．專題：正方體相對兩個面上的文字（1）對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對展開圖理解的基礎(chǔ)上直接想象．（2）從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．（3）正方體的展開圖有11種情況，分析平面展開圖的各種情況后再認(rèn)真確定哪兩個面的對面．7．線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．8．兩點間的距離（1）兩點間的距離連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．（2）平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，注意強調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離．9．角的概念（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．10．方向角方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的