2025高考數學一輪復習-7.3-空間點、直線、平面之間的位置關系-專項訓練【含答案】

2025高考數學一輪復習-7.3-空間點、直線、平面之間的位置關系-專項訓練【A級基礎鞏固】1．(多選)下列命題中正確的是()A．梯形的四個頂點共面B．經過兩條平行直線確定一個平面C．空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等D．四邊形確定一個平面2．下列推斷中錯誤的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合3．a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中的真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c4．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC5．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確是()A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面6．在四棱錐P-ABCD中，所有側棱長都為4eq\r(2)，底面是邊長為2eq\r(6)的正方形，O是P在平面ABCD內的射影，M是PC的中點，則異面直線OP與BM所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°7．(多選)如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列四個命題中正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BE是異面直線C．CN與BM成60°角D．DM與BN垂直8．(多選)關于正方體ABCD-A1B1C1D1有如下四個說法，其中正確的是()A．若點P在直線BC1上運動時，三棱錐A-D1PC的體積不變B．若點P是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則P點的軌跡是直線A1D1C．若點P在線段BC1(含端點)上運動時，直線AP與DC所成角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D．若點P在線段BC1(含端點)上運動時，直線AP與D1C所成的角一定是銳角9．在正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有________條．10．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數為________．11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，過O點作一條直線l與A1D平行．設直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝________．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(多選)已知直線l與平面α相交于點P，則下列說法正確的是()A．α內不存在直線與l平行B．α內有無數條直線與l垂直C．α內所有直線與l是異面直線D．至少存在一個過l且與α垂直的平面2．我國古代的數學著作《九章算術·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．在如圖所示的“塹堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分別是BB1和A1C1的中點，則平面AMN截“塹堵”ABC-A1B1C1所得截面圖形的面積為________．3．如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)AB.現將△CDE以直線DE為軸旋轉一周后，則直線BP與動直線CE所成角的范圍是________．4．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長為4，E為AB的中點，PE⊥平面ABCD.(1)若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P-ABCD的體積；(2)若CD的中點為F，PF與平面ABCD所成的角為45°，求PC與AD所成角的正切值．參考答案【A級基礎鞏固】1．解析：顯然選項A正確；對于選項B，兩條平行直線確定唯一一個平面，故選項B正確；對于選項C，由空間角的等角定理知，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故選項C錯誤；對于選項D，因為空間四邊形不在一個平面內，故選項D錯誤．答案：AB2．解析：對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，則α∩β＝AB，B正確；對于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但可能A∈α，C錯誤；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D正確．答案：C3．解析：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．答案：C4．解析：由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β.又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.答案：C5．解析：連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．同理，A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點共線．答案：A6．解析：如圖，由題意可知O是正方形ABCD的中心，取N為OC的中點，連接MN，OB，所以OP∥MN，則∠BMN是異面直線OP與BM所成的角．因為OP⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD.因為在四棱錐P-ABCD中，所有側棱長都為4eq\r(2)，底面是邊長為2eq\r(6)的正方形，所以OC＝2eq\r(3)，所以OP＝eq\r(32－12)＝2eq\r(5)，因此MN＝eq\r(5).在Rt△BON中，BN＝eq\r(OB2＋ON2)＝eq\r(15)，所以tan∠BMN＝eq\f(BN,MN)＝eq\r(3)，∴∠BMN＝60°，則異面直線OP與BM所成的角為60°.答案：C7．解析：由題意畫出正方體的圖形如圖，顯然A，B不正確；∠ANC＝60°，即CN與BM成60°角，C正確；因為BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN?平面BCN，所以DM⊥平面BCN.又BN?平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正確．答案：CD8．解析：對于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，則P到平面AD1C的距離不變，由△AD1C的面積為定值，可知點P在直線BC1上運動時，三棱錐A-D1PC的體積不變，故A正確；對于B，若點P是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則P點的軌跡是平面A1BCD1與平面A1B1C1D1的交線A1D1，故B正確；對于C，直線AP與DC所成角即為∠PAB，當P與C1重合時，∠PAB最大，最大值為arctaneq\r(2)＜eq\f(π,3)，故C錯誤；對于D，當P與C1重合時，AP與D1C所成的角為eq\f(π,2)，故D錯誤．所以其中說法正確的是A，B.答案：AB9．解析：如圖，在正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6條．答案：610．解析：因為AB∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側面，與另外四個側面相交．答案：411．解析：如圖所示，設正方體的表面ABB1A1的中心為點P，容易證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，∠POC1＝θ或π－θ.設正方體的棱長為2，則OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，則cosθ＝|cos∠POC1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：如圖，對于A，直線l與平面α相交于點P，所以平面α內不存在直線與l平行，故A正確；對于B，平面α內存在與l在平面α的射影PO垂直的直線n，平面α內與n平行的直線都與l垂直，有無數條，故B正確；對于C，平面α內過點P的直線m與直線l相交，不是異面直線，故C錯誤；對于D，取直線l上除斜足外一點A，過該點作平面α的垂線AO，則平面POA垂直于平面α，故D正確．答案：ABD2．解析：延長AN，與CC1的延長線交于點P，則P∈平面BB1C1C，連接PM，與B1C1交于點E，連接NE，得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC-A1B1C1所得截面圖形．由題意，解三角形可得NE＝ME＝eq\f(\r(17),3)，AM＝AN＝eq\r(5)，MN＝eq\r(6)，∴△AMN中MN邊上的高h1＝eq\r((\r(5))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2)，△EMN中MN邊上的高h2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),6).∴AMN截“塹堵”ABC-A1B1C1所得截面圖形的面積S＝S△AMN＋S△EMN＝eq\f(1,2)MN·(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)＋\f(\r(14),6)))＝eq\f(2\r(21),3).答案：eq\f(2\r(21),3)3．解析：如圖所示，將PB平移到EB1的位置，C1點在以D為圓心、半徑為1的圓上運動，則∠B1EC1就是所求的角，根據三角形中，大角對大邊，EB1，EC1為定值，故最值由B1C1來確定，故當C1在C處線線角最小，在C2處線線角最大．由于PA＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)AB，故∠PBA＝∠EB1D＝eq\f(π,3).而DE＝DC＝1，故∠ECD＝eq\f(π,4)，所以∠CEB1＝eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,12).而∠EC2D＝∠ECD＝eq\f(π,4)，故∠B1EC2＝π－eq\f(π,4)－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,12).所以所求線線角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12)))4．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2×AD×DE)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).5．解：(1)∵正方形ABCD的邊長為4，且△PAB為等邊三角形，E為AB的中點，∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin60°＝2eq\r(3).又PE⊥平面ABCD，∴四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)×42×2eq\r(3)＝eq\f(32\r(3),3).(2