高等數(shù)學(xué)課件D112數(shù)項級數(shù)及審斂法幻燈片資料

二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一章1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)證:設(shè)對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和,則有是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例1.

討論p級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件因為當故考慮強級數(shù)的部分和故強級數(shù)收斂,由比較審斂法知p級數(shù)收斂.時,2)若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當0<l<∞時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件由定理

2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當0<l<∞時,(2)當l=

0時,由定理2知收斂,若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件是兩個正項級數(shù),(1)當時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當且收斂時,(3)當且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件的斂散性.～例3.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(2)當證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當說明:

當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例5.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件對任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例6.

證明級數(shù)收斂于S,似代替和S時所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計以部分和Sn

近機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例7.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件(2)令因此收斂,絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件其和分別為絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理8.絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.

(P203定理9)說明:證明參考P203～P206,這里從略.*定理9.

(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)與都絕對收斂,其和為但需注意條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).(P205定理10)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件

作業(yè)

P2061(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

3(1),(2);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件備用題1.判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.不是p–級數(shù)(