第9章能量原理

第九章能量原理(PrincipleofEnergy)9.1概述9.2桿件變形能的計算9.3變形能的普遍表達式9.4互等定理9.5卡氏(Castigliano)定理9.6虛功原理9.7莫爾積分法9.8靜不定結(jié)構(gòu)概述固體力學(xué)中，把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱為能量原理。對構(gòu)件的變形計算及靜不定結(jié)構(gòu)的求解，能量原理都有重要作用。近年來計算力學(xué)的興起，使能量原理更受重視。變形能——固體在變形過程中，固體在外力作用下變形，引起力作用點沿力作用方向位移，外力因此而作功；同時，彈性固體因變形而具備了作功的能力，表明儲存了變形能。在下列條件下加載緩慢均勻（保證是靜態(tài)）沒有其它能量的損失（如動能、熱能等）則有即認(rèn)為外力對系統(tǒng)所作的功全部轉(zhuǎn)化為能量儲存起來。在彈性范圍內(nèi)此過程是可逆的，即9.2桿件變形能的計算

只要載荷不卸去，則外力功以能量的形式儲存，其變形能為

軸向拉伸或壓縮

外力功對變化的內(nèi)力或抗拉剛度情況，則有變形比能（單位體積的變形能）純剪切

考慮右圖示單元體（厚度為1），單元體左邊不動，右邊在剪應(yīng)力作用下的功為其變形比能為右圖示受扭圓軸，其變形為根據(jù)理論力學(xué)，外力偶所作的功為對于參數(shù)變化的情況有

扭轉(zhuǎn)

純彎曲

軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲時的外力功（或變形能）可統(tǒng)一寫成廣義力和廣義位移的形式橫力彎曲時變形能例題軸線為半圓形的平面曲桿如圖所示，作用于A端的集中力P垂直于軸線所在的平面。試求力P作用點的垂直位移。解：選擇圖示坐標(biāo)系，在mn截面上的內(nèi)力為曲桿的變形能為假設(shè)沿力P方向的位移為dA，則P所作的功為從而有重要結(jié)論——橫力彎曲的彎曲變形能和剪切變形能以矩形截面為例另外例題以圖示簡支梁為例，比較彎曲和剪切兩種變形能。設(shè)梁的截面為矩形。解：由梁的內(nèi)力方程及內(nèi)力圖的對稱性，得其比值為可見，只有對短梁才應(yīng)考慮剪切變形能，對長梁可忽略不計。對矩形截面梁9.3變形能的普遍表達式推導(dǎo)變形能普遍式的假設(shè)與前提無剛性位移局限于小變形，即廣義位移與廣義力成正比彈性體在變形過程中儲存的變形能，只決定于外力和位移的最終值，與加力次序無關(guān)從理論力學(xué)中知，這屬于變力作功的問題。當(dāng)載荷Pi為任一中間值時，與此對應(yīng)的位移增量為 ，這時

為常力作功，其功為從而在整個加載過程中，外力對系統(tǒng)所作的功為克拉貝依隆（Clapeyron）原理線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。廣義力廣義位移N(x)lT(x)

M(x)

Q(x)

剪力引起的變形能很小往往忽略不計。對于廣義變形問題（如右圖）其變形能為拉伸彎曲扭轉(zhuǎn)剪切9.4互等定理

同時我們?nèi)藶榈匾?guī)定如下加載次序加第一組載荷時，其變形能為為推導(dǎo)互等定理，我們選取兩組載荷先加第一組載荷，后加第二組載荷于彈性體上然后加第二組載荷，這時由于第二組載荷的影響，會在第一組載荷的相應(yīng)方向產(chǎn)生附加位移第二組載荷自身所作的功為而第一組載荷在由于第二組載荷引起的附加位移上所作的功，是常力作功，即從而，本加載次序所作的總功為加第二組時先加第二組載荷，后加一第組載荷于彈性體上再加第一組時本加載次序所作總功為由于變形能只決定于力和位移的最終值，而與加力次序無關(guān)，故（功）互等定理第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。即若第一組力只有P1，第二組力只有P3，則功互等定理化為位移互等定理P1作用點沿P1方向因P3而引起的位移，等于P3作用點沿P3方向因P1而引起的位移。

進一步，若有P1=P3，則上式化為位移互等定理9.5卡氏(Castigliano)定理

設(shè)想載荷Pi有一微小增量

Pi，而其它力不變。則初始時系統(tǒng)變形能為由于Pi有一微小增量后系統(tǒng)變形能的增量為忽略高階微量后得把原有諸力看作是第一組力，而把

Pi看作是第二組力，根據(jù)互等定理，即或極限情況下，

Pi趨近于零，上式左端是變形能U對Pi的偏導(dǎo)數(shù)，即卡氏（Castigliano）定理變形能U對任一載荷Pi的偏導(dǎo)數(shù)，等于Pi作用點沿Pi作用方向的位移

i

。附加力法例題軸線為四分之一圓周的平面曲桿，EI=常數(shù)。曲桿A端固定，自由端B上作用垂直集中力P。求B點的垂直和水平位移。附加力法

i是與Pi對應(yīng)的廣義位移，從本題而言，求B點的垂直位移是可以直接利用卡氏定理的，但要求水平位移時卻不能直接進行。按照卡氏定理，

y的值為正，說明

y的方向與力P的方向一致。為了求得B點的水平位移，假定在B點沿水平方向作用一力Pa。對Pa使用卡氏定理，然后Pa令等于零就可以得到B點的水平位移。9.6虛功原理(virtualworkprinciple)若因其他原因，例如另外的外力或溫度變化等，又引起桿件邊形，則用虛線表示桿件位移到的位置?？砂堰@種位移稱為虛位移?！疤摗蔽灰浦槐硎臼瞧渌蛟斐傻奈灰疲詤^(qū)別于桿件原因有外力引起的位移。約束所允許的位移稱為虛位移。在虛位移中，桿件的原有外力和內(nèi)力保持不變，且始終是平衡的。虛位移應(yīng)滿足邊界條件和連續(xù)性條件，并符合小變形要求。變形體虛功原理外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛位移上所作虛功。質(zhì)點系的虛位移原理平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零。圖示梁在外力作用下處于平衡(實線)，假定給梁一個由某種原因引起的虛位移(虛線)。則其虛功有兩種計算方法。整個構(gòu)件得全部力的虛功——得到外力虛功設(shè)想把桿件分成無窮多微段，微段上除外力外，兩端橫截面上還有軸力、彎矩、剪力等內(nèi)力。當(dāng)它由平衡位置經(jīng)虛位移移到達由虛線表示的位置時，微段上的內(nèi)、外力都作了虛功。把所有微段的內(nèi)、外虛功逐段相加（積分），便可求出整個桿件的外力和內(nèi)力的總虛功。因為虛位移是連續(xù)的，兩個相鄰微段的公共截面的位移和轉(zhuǎn)角是相同的，但相鄰的微段公共截面上的內(nèi)力卻是大小相等、方向相反的，故它們所作的虛功相互抵消。逐段相加之后，就只剩下外力在虛位移中所作的虛功。微段上的內(nèi)力與虛位移設(shè)微段上廣義外力和廣義虛位移分別為則廣義外力的虛功（這里是常力作功）為各微段的外力虛功和——得到內(nèi)力虛功在上述桿件中，微段以外的其余部分的變形，使所研究的微段得到剛性虛位移；此外，所研究的微段在虛位移中還發(fā)生虛變形。作用于微段上的力系（包括外力和內(nèi)力）是一個平衡力系，根據(jù)質(zhì)點系的虛位移原理，這一平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零，因而只剩下在虛變形中所作的功。外力在虛變形中所作的功積分上式得總虛功為在虛位移中，外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所作虛功。這就是虛功原理。

兩種方式求得的總虛功表達式應(yīng)該相等，即在導(dǎo)出虛功原理時，并未使用應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，故虛功原理與材料的性能無關(guān)，它可用于線彈性材料，也可用于非線性彈性材料。更一般地，有如下形式的虛功原理9.7莫爾積分法(MohrIntegralMethod)問題：設(shè)在外力作用下，求剛架A點沿某一任意方向aa的位移

。把剛架在原有外力作用下的位移作為虛位移，加于單位力作用下的剛架上。設(shè)想在同一剛架的A點上，沿方向作用一單位力1，它與支座反力組成平衡力系。這時剛架橫截面上的軸力、彎矩和剪力分別為原有外力引起的變形，現(xiàn)在已作為虛變形虛加的外力虛加外力引起的內(nèi)力視為真實力虛功原理的表達式為——Mohr積分（單位力法）注意：本式僅適用于線彈性情況上式中帶“-”的內(nèi)力為與虛加單位力相關(guān)的內(nèi)力，而不帶“-”的內(nèi)力是真實載荷引起的內(nèi)力。具體地，如果構(gòu)件存在四種基本變形，則有例題圖示剛架的自由端A作用集中載荷P。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出。若不計軸力和剪力對位移的影響，試計算A點的垂直位移及截面B的轉(zhuǎn)角。解：顯然要求的問題都可以用卡氏定理求解，這里我們都用Mohr積分方法來求解。為此，選擇右下圖所示坐標(biāo)。相應(yīng)的內(nèi)力方程為求A截面的垂直位移在相應(yīng)位置和方向虛加(與待求位移相應(yīng)的)單位力1。與之對應(yīng)的彎矩為使用莫爾定理求B截面的轉(zhuǎn)角在相應(yīng)位置和方向虛加單位集中力偶1。與之對應(yīng)的彎矩為于是單位力的選擇欲求變形單位力欲求變形單位力A處沿圖示方向的線位移A、B兩截面的相對線位移沿A、B連線加相向的單位力A處沿圖示方向的角位移A、B兩截面的相對角位移在A、B處分別加相反的單位力偶例題圖示活塞環(huán)。試計算在力作用下切口的張開量。解：活塞環(huán)橫截面上的內(nèi)力，一般有軸力、剪力和彎矩。由于軸力和剪力對變形的影響很小，可以不計，所以只考慮彎矩的影響。活塞環(huán)橫截面高度遠小于環(huán)的軸線的半徑，可用直梁公式計算變形。

彎矩方程為又由于活塞環(huán)的對稱性，只計算一半就可以了。為了計算切口的張開量，應(yīng)在A、B兩截面上沿力的方向作用一對方向相反的單位力。此時由Mohr定理得9.8靜不定結(jié)構(gòu)概述

靜不定結(jié)構(gòu)(staticallyindeterminatestructure)支座反力或結(jié)構(gòu)內(nèi)力不能全由平衡方程求出的結(jié)構(gòu)。由理論力學(xué)知，未知力的數(shù)目與獨立平衡方程數(shù)目之差就是結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)(degreeofindeterminacy)。解除靜不定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原靜不定結(jié)構(gòu)的基本靜定系(basicstaticallydeterminatesystem)?；眷o定系不是唯一的。

解除多余約束，得到基本靜定系在這一步驟中得到多余力X1解除多余約束，得到基本靜定系以下我們用一個具體的例子來說明如何用力法求解靜不定問題。力法(forcemethod)

考慮被解除多余約束截面的位移在這一步驟中相當(dāng)于利用位移協(xié)調(diào)條件建立補充方程。基本靜定系在P1和X1的作用下，在截面B處的總位移記為

1。根據(jù)疊加原理在P的作用下，B處的位移為

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