31中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)課件

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)泰勒公式第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值第七節(jié)曲率第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第一節(jié)微分中值定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:設(shè)則證畢若M>m

,則M和m

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則由費(fèi)馬引理得2)通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.例1.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)例2.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使分析:要證即容易驗(yàn)證證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.證明設(shè)由羅爾定理定理得.至少存在一個(gè)x,使得即從而二、拉格朗日中值定理觀察與思考

設(shè)連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)不相等

問題：直線AB的斜率k=?

f

(x)?提示：直線AB的斜率二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)使證分析:條件與羅爾定理弦AB方程為相差f(a)=f(b)所得曲線在a，b兩端點(diǎn)函數(shù)值相等。幾何解釋：在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線平行于弦二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)則函數(shù)j(x)在區(qū)間[a

b]上滿足羅爾定理的條件

于是至少存在一點(diǎn)x

(a

b)

使j

(x)

0

即

證明

由此得f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)

j￠(x)=f

￠(x)-abafbf--)()(.

拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則例3.證明等式證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在I上例4.

證明不等式證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)則至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:幾何意義證例5.

設(shè)至少存在一點(diǎn)使證:結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使即證明內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間上.方程2.若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔