【名師伴你行】2021屆高考理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題2-8-1-專題八-選修4系列

1．(2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形．證明：(1)由題設(shè)知，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以∠D＝∠CBE.由已知，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，如圖，則由MB＝MC知，MN⊥BC，故O在直線MN上．又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形．2．(2022·鄭州質(zhì)檢)如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，BC與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上．(1)若eq\f(EC,CB)＝eq\f(1,3)，eq\f(ED,DA)＝1，求eq\f(DC,AB)的值；(2)若EF2＝FA·FB，證明：EF∥CD.解：(1)∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB為公共角，∴△ECD∽△EAB，∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(EC,EA)＝eq\f(ED,EB).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,AB)))2＝eq\f(EC,EA)·eq\f(ED,EB)＝eq\f(EC,EB)·eq\f(ED,EA)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(\r(2),4).(2)證明：∵EF2＝FA·FB，∴eq\f(EF,FA)＝eq\f(FB,FE)，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.3．(2022·海口調(diào)研)如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD.(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若tan∠CED＝eq\f(1,2)，⊙O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．解：(1)證明：如圖，連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∵OC是圓的半徑，∴直線AB是⊙O的切線．(2)由(1)知，直線AB是⊙O的切線，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴eq\f(BC,BE)＝eq\f(BD,BC)，BC2＝BD·BE，∵tan∠CED＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(1,2)，△BCD∽△BEC，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(1,2)，設(shè)BD＝x，則BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.4.(2022·云南統(tǒng)檢)如圖，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，割線PCD交⊙O于C，D兩點(diǎn)，弦DF與直徑AB垂直，H為垂足，CF與AB交于點(diǎn)E.(1)求證：PA·PB＝PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半徑等于2，求弦CF的長(zhǎng)．解：(1)證明：如圖，連接OD.∵AB是⊙O的直徑，弦DF與直徑AB垂直，H為垂足，C在⊙O上，∴∠DOA＝∠DCF，∴∠POD＝∠PCE.又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(PO,PC)，即PD·PC＝PO·PE.由割線定理，得PA·PB＝PD·PC，∴PA·PB＝PO·PE.(2)由已知，直徑AB是弦DF的垂直平分線，∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°.由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得∠DCF＝60°.由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°.在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin∠DOH＝eq\r(3)，∴DE＝EF＝eq\f(DH,sin∠DEH)＝eq\r(6)，CE＝eq\f(DE,tan∠DCE)＝eq\r(2)，∴CF＝CE＋EF＝eq\r(2)＋eq\r(6).5．(2022·哈師附中、東北師大附中、遼寧試驗(yàn)中學(xué)聯(lián)合模擬)如圖，PA，PB是圓O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是劣弧AB(不包括端點(diǎn))上一點(diǎn)，直線PC交圓O于另一點(diǎn)D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求證：(1)eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC)；(2)△ADQ∽△DBQ.證明：(1)由題知，△PBC∽△PDB，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(PD,PB)，同理eq\f(AD,AC)＝eq\f(PD,PA).又由于PA＝PB，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC).(2)如圖，連接AB.由于∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ，所以△ABC∽△ADQ，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(DQ,AQ)，故eq\f(BD,AD)＝eq\f(DQ,AQ)，又由于∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ，所以△ADQ∽△DBQ.6．(2022·昆明調(diào)研)如圖所示，已知D為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，⊙O1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D，交AB于另一點(diǎn)E，⊙O2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，交AC于另一點(diǎn)F，⊙O1與⊙O2的另一交點(diǎn)為G.(1)求證：A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；(2)若AG切⊙O2于G，求證：∠AEF＝∠ACG.證明：(1)如圖，連接GD，四邊形BDGE，CDGF分別內(nèi)接于⊙O1，⊙O2，∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，又∠BDG＋∠CDG＝180°，∴∠AEG＋∠AFG＝180°，∴A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．(2)∵A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG與⊙O2相切于點(diǎn)G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.7.如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AD為圓的直徑，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)Q，AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接PQ并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E，連接EB.求證：(1)PE⊥AD；(2)BD平分∠EBC.證明：(1)由已知AD為直徑，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，所以點(diǎn)Q為△PAD的垂心．則PE為AD邊上的高，即PE⊥AD.(2)由(1)知，∠PBD＝∠PED＝90°，因而P，B，E，D四點(diǎn)共圓，則∠AEB＝∠BPC，又∠PCB＝∠DAB，所以△AEB∽△CPB，所以∠EBA＝∠CBP，所以∠EBD＝∠CBD，即BD平分∠EBC.8．(2022·石家莊一模)已知⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C，直線CA交⊙O2于點(diǎn)D.(1)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合時(shí)，如圖(1)，證明：ED2＝EB·EC；(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖(2)，若BC＝2，BE＝6，求⊙O2的直徑的長(zhǎng)．解：(1)證明：連接AB，在EA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，如圖(1)所示．∵AE是⊙O1的切線，切點(diǎn)為A，∴∠FAC＝∠ABC，∵∠FAC＝∠DAE，∴∠ABC＝∠DAE，∵∠ABC是⊙O2內(nèi)接四邊形ABED的外角，∴∠ABC＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴EA＝ED.∵EA2＝EB·EC，∴ED2＝EB·EC.(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，直線CA與⊙O2只有一個(gè)公共點(diǎn)，故直線CA與⊙O2相切．在EA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，在CA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，連接AB，如圖(2)所示，由弦切角定