《紅對勾講與練系列》2021屆高三文科數(shù)學二輪復習專題一第三講課時作業(yè)3-不等式、線性規(guī)劃、合情推理_第1頁
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課時作業(yè)3不等式、線性規(guī)劃、合情推理時間:45分鐘一、選擇題1.(2022·四川卷)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B為整數(shù)集,則A∩B=()A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1}C.{0,1} D.{-1,0}解析:A={x|-1≤x≤2},∴A∩B={-1,0,1,2},選A.答案:A2.若a>b>0,則下列不等式中確定成立的是()A.a(chǎn)+eq\f(1,b)>b+eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)>eq\f(b+1,a+1)C.a(chǎn)-eq\f(1,b)>b-eq\f(1,a) D.eq\f(2a+b,a+2b)>eq\f(a,b)解析:取a=2,b=1,淘汰B和D;另外,函數(shù)f(x)=x-eq\f(1,x)是(0,+∞)上的增函數(shù),但函數(shù)g(x)=x+eq\f(1,x)在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,所以a>b>0時f(a)>f(b)必定成立,但g(a)>g(b)未必成立.所以a-eq\f(1,a)>b-eq\f(1,b)?a+eq\f(1,b)>b+eq\f(1,a),故選A.答案:A3.若不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解,則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(23,5),+∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(23,5),1))C.(1,+∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(23,5)))解析:由Δ=a2+8>0,知方程恒有兩個不等實根,又知兩根之積為負,所以方程必有一正根、一負根.于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)≥0,f(1)≤0,解得a≥-eq\f(23,5),且a≤1,故a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(23,5),1)).答案:B4.若a,b∈R且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是()A.a(chǎn)+b≥2eq\r(ab) B.eq\f(1,a)+eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))C.eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2 D.a(chǎn)2+b2>2ab解析:∵ab>0,∴eq\f(b,a)>0,eq\f(a,b)>0.由基本不等式得eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2,當且僅當eq\f(b,a)=eq\f(a,b),即a=b時等號成立.故選C.答案:C5.已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<-1或x>\f(1,2))))),則f(10x)>0的解集為()A.{x|x<-1或x>-lg2}B.{x|-1<x<-lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}解析:由已知條件得0<10x<eq\f(1,2),解得x<lgeq\f(1,2)=-lg2.答案:D6.①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的確定值都小于1,用反證法證明時可假設方程有一根x1的確定值大于或等于1,即假設|x1|≥1.以下結(jié)論正確的是()A.①與②的假設都錯誤B.①與②的假設都正確C.①的假設正確;②的假設錯誤D.①的假設錯誤;②的假設正確解析:反證法的實質(zhì)是否定結(jié)論,對于①,其結(jié)論的反面是p+q>2,所以①不正確;對于②,其假設正確.答案:D7.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的eq\f(1,3),把這個結(jié)論推廣到空間正四周體,類似的結(jié)論是()A.正四周體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,2)B.正四周體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,3)C.正四周體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4)D.正四周體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,5)解析:原問題的解法為等面積法,即S=eq\f(1,2)ah=3×eq\f(1,2)ar?r=eq\f(1,3)h,類比問題的解法應為等體積法,V=eq\f(1,3)Sh=4×eq\f(1,3)Sr?r=eq\f(1,4)h,即正四周體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4),所以應選C.答案:C8.(2022·廣東卷)若變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,,x+y≤1,,y≥-1,))且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m-n=()A.5 B.6C.7 D.8解析:用圖解法求出線性目標函數(shù)的最大值和最小值,再作差求解.畫出可行域,如圖陰影部分所示.由z=2x+y,得y=-2x+z.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x,,y=-1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-1,,y=-1,))∴A(-1,-1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=1,,y=-1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=-1,))∴B(2,-1).當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時,zmin=2×(-1)-1=-3=n.當直線y=-2x+z經(jīng)過點B時,zmax=2×2-1=3=m,故m-n=6.答案:B9.(2022·安徽卷)x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y-2≤0,,x-2y-2≤0,,2x-y+2≥0.))若z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2)或-1 B.2或eq\f(1,2)C.2或1 D.2或-1解析:作出約束條件滿足的可行域,依據(jù)z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,通過數(shù)形結(jié)合分析求解.如圖,由y=ax+z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距,故當a>0時,要使z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a=2;當a<0時,要使z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a=-1.答案:D10.設變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤3x-2,,x-2y+1≤0,,2x+y≤8,))則lg(y+1)-lgx的取值范圍是()A.[0,1-2lg2] B.[1,eq\f(5,2)]C.[eq\f(1,2),lg2] D.[-lg2,1-2lg2]解析:如圖,作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤3x-2,,x-2y+1≤0,,2x+y≤8))確定的可行域,由于lg(y+1)-lgx=lgeq\f(y+1,x),設t=eq\f(y+1,x),明顯,t的幾何意義是可行域內(nèi)的點P(x,y)與定點E(0,-1)連線的斜率.由圖可知,P點與B點重合時,t取得最小值,P點與C點重合時,t取得最大值.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-2y+1=0,,2x+y=8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=2,))即B(3,2);由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=3x-2,,2x+y=8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=4,))即C(2,4).故t的最小值為kBE=eq\f(2--1,3)=1,t的最大值為kCE=eq\f(4--1,2)=eq\f(5,2),所以t∈[1,eq\f(5,2)].又函數(shù)y=lgx為(0,+∞)上的增函數(shù),所以lgt∈[0,lgeq\f(5,2)],即lg(y+1)-lgx的取值范圍為[0,lgeq\f(5,2)].而lgeq\f(5,2)=1-2lg2,所以lg(y+1)-lgx的取值范圍為[0,1-2lg2].故選A.答案:A11.(2022·西安五校聯(lián)考)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第60個“整數(shù)對”是()A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)解析:依題意,把“整數(shù)對”的和相同的分為一組,不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n+1,且第n組共有n個“整數(shù)對”,這樣的前n組一共有eq\f(nn+1,2)個“整數(shù)對”,留意到eq\f(10×10+1,2)<60<eq\f(11×11+1,2),因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置,結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各對數(shù)依次為:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60個“整數(shù)對”是(5,7),選B.答案:B12.設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當eq\f(xy,z)取得最大值時,eq\f(2,x)+eq\f(1,y)-eq\f(2,z)的最大值為()A.0 B.1C.eq\f(9,4) D.3解析:eq\f(xy,z)=eq\f(xy,x2-3xy+4y2)=eq\f(1,\f(x,y)+\f(4y,x)-3)≤eq\f(1,4-3),當且僅當eq\f(x,y)=eq\f(4y,x)時即x=2y時“=”成立,此時z=2y2,eq\f(2,x)+eq\f(1,y)-eq\f(2,z)=-eq\f(1,y2)+eq\f(2,y)=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)-1))2+1,故當eq\f(1,y)=1,即y=1時eq\f(2,x)+eq\f(1,y)-eq\f(2,z)有最大值1.故選B.答案:B二、填空題13.已知函數(shù)f(x)=4x+eq\f(a,x)(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=________.解析:∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))=4eq\r(a),當且僅當4x=eq\f(a,x)(x>0),即x=eq\f(\r(a),2)時f(x)取得最小值,由題意得eq\f(\r(a),2)=3,∴a=36.答案:3614.若點(x,y)位于曲線y=|x-1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,則2x-y的最小值為________.解析:作出y=|x-1|與y=2所圍成的區(qū)域如下圖所示,當z=2x-y過A(-1,2)時,取得最小值-4.答案:-415.已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,則實數(shù)m的最大值是________.解析:∵xy=x+2y≥2eq\r(2xy),∴(eq\r(xy))2-2eq\r(2)eq\r(xy)≥0,∴eq\r(xy)≥2eq\r(2)或eq\r(xy)≤0(舍去),∴xy≥8,當且僅當x=4,y=2時取等號.由題意知m-2≤8,即m≤10.答案:1016.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域為[0,+∞),若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實數(shù)c的值為________.解析:由題意知f(x)=x2+ax+b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,2)))2+b-eq\f(a2,4).∵f(x)的值域為[0,+∞),∴b-eq\f(a2,4)=0,即b=eq\f(a2,4).∴f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,2)))2.又∵f(x)<c,∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,2)))2<c,即-eq\f(a,2)-eq\r(c)<x<-eq\f(a,2)+eq\r(c).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)-\r(c)=m,①,-\f(a,2)+\r(c)=m+6.②))②-①,得2eq\r(c)=6,∴c=9.答案:917.(2022·陜西質(zhì)檢)設n為正整數(shù),f(n)=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,n),計算得f(2)=eq\f(3,2),f(4)>2,f(8)>eq\f(5,2),f(16)>3.觀看上述結(jié)果,依據(jù)上面規(guī)律,可推想f(128)>________.解析:觀看f(2)=eq\f(3,2),f(4)>2,f(8)>eq\f(5,2),f(16)>3可知,等式及不等式右邊的數(shù)構(gòu)成首項為eq\f(3,2),公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列,故f(128)>eq\f(3,2)+6×eq\f(1,2)=eq\f(9,2).答案:eq\f(9,2)18.(2022·皖南八校聯(lián)考)已知實數(shù)x,y滿足:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2),,y≤2,,x≤\r(2)y,))則z=eq\f(2x+y-1,x-1)的取值范圍是________.解析:由不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示,目標函數(shù)z=eq\f(2x+y-1,x-1)=2+eq\f(y+1,x-1)的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(x,y)與(1,-1)所在直線的斜率加上2的取值范圍,由圖形知,A點坐標為(eq\r(2),1),則點(1,-1)與(eq\r(2),1)所在直線的斜率為2eq\r(2)+2,點(0,0)與(1,-1)所在直線的斜率為-1,所以z的取值范圍為(-∞,1]∪[2eq\r(2)+4,+∞).答案:(-∞,1]∪[2eq\r(2)+4,+∞)19.已知O為坐標原點,點M的坐標為(2,1),點N(x,y)的坐標x,y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2y-3≤0,,x+3y-3≥0,,y≤1,))則eq\o(OM,\s\

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