【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：《兩種計數(shù)原理的綜合應(yīng)用》

第3課時兩種計數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”,并能利用兩個原理解決一些簡潔的實際問題.2.通過實例總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理規(guī)律,能依據(jù)具體問題的特征,選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡潔的實際問題.3.過程與方法:引導(dǎo)同學(xué)形成“自主學(xué)習(xí)”“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式,培育同學(xué)的歸納概括力量.先看下面的問題:①從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)當(dāng)班長,有多少種不同的選法?②把我們的同學(xué)排成一排,共有多少種不同的排法?要解決這些問題,就要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.這節(jié)課,我們從具體例子動身來進一步學(xué)習(xí)、理解這兩個原理.問題1:分類加法計數(shù)原理做一件事情,完成它可以有n類方法,在第一類方法中有m1種不同的方法,在其次類方法中有m2種不同的方法,…,在第n類方法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=種不同的方法.

問題2:分步乘法計數(shù)原理做一件事情,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做其次步有m2種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事有N=種不同的方法.

問題3:理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點①相同點:都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題;②不同點:分類加法計數(shù)原理針對的是問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法,各類中的各種方法也,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事,是獨立完成;而分步乘法計數(shù)原理針對的是問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事,只有當(dāng)都完成后,才算完成這件事.

問題4:完成一件事,分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理的選擇分類加法計數(shù)原理的各類方法是的,用任何一種方法可以完成這件事,而分步乘法計數(shù)原理的各個步驟是的,必需完成每個步驟,才能完成這件事.

依據(jù)具體問題的特征,正確生疏分類和分步的特征,才能正確選擇分類計數(shù)原理或乘法計數(shù)原理來解決問題.

1.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x,y)作為一個點的坐標(biāo),則這樣的點的個數(shù)是().A.9 B.14 C.15 D.212.3位同學(xué)參與某種形式的競賽,競賽規(guī)章規(guī)定:每位同學(xué)必需從甲、乙兩道題中任選一題作答,選甲題答對得20分,答錯得-20分;選乙題答對得10分,答錯得-10分.若3位同學(xué)的總分為0,則這3位同學(xué)不同得分狀況的種數(shù)是().A.3 B.4 C.6 D.83.如圖,某電子元件是由3個電阻組成的回路,其中有4個焊點A、B、C、D,若某個焊點脫落,整個電路就不通,現(xiàn)在發(fā)覺電路不通了,那么焊點脫落的可能狀況共有種.

4.某校同學(xué)會由高一班級5人,高二班級6人,高三班級4人組成.選其中1人為同學(xué)會主席,有多少種不同的選法?分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用把3封信投到4個信箱,全部可能的投法共有多少種?用加法原理和乘法原理分析電路中的問題如圖,電路中共有7個電阻與一個電燈A,若燈A不亮,分析因電阻斷路的可能性共有多少種狀況.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理綜合問題把由0,1,2,3,4組成無重復(fù)數(shù)字的全部五位數(shù)從小到大進行排列,23140排在第幾個?超市有四個門,某人到超市購物,從其一個門進,從另一門出,則不同的進出方式有多少種?如圖,電路中共有5個電阻與一個電燈A,若燈A不亮,分析因電阻斷路的可能性共有多少種狀況.有一項活動,需在3名老師、8名男生和5名女生中選人參與.(1)若只需1人參與,有多少種不同選法?(2)若需老師、男生、女生各一人參與,有多少種不同的選法?(3)若需一名老師和一名同學(xué)參與,有多少種不同的選法?1.如圖,一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為().A.96 B.84 C.60 D.482.從1到10的正整數(shù)中,任意抽取兩個相加所得的和為奇數(shù)的不憐憫形的種數(shù)是().A.10 B.15 C.20 D.253.一個乒乓球隊里有男隊員5名,女隊員4名,從中選出男、女隊員各一名組成混合雙打,共有種不同的選法.

4.甲、乙、丙三個人踢球,相互傳遞,由甲開頭踢出,則經(jīng)過4次傳遞后,足球被踢回甲的踢球傳遞方式有多少種?(2022年·山東卷)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為().A.232 B.252 C.472 D.484考題變式(我來改編):第3課時兩種計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題1:m1+m2+…+mn問題2:m1×m2×…×mn問題3:②“分類”相互獨立相對獨立“分步”各個步驟問題4:相互獨立相互依存加法分步基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B當(dāng)x=2時,x≠y,點的個數(shù)為1×7=7(個);當(dāng)x≠2時,x=y,點的個數(shù)為7×1=7(個),則共有14個點,故選B.2.C由題意總分為0分二類:第一類得分為20,-10,-10;其次類為-20,10,10.每類有三種狀況,總共有6種狀況.3.15當(dāng)線路不通時,焊點脫落的可能狀況共有2×2×2×2-1=15種.4.解:若當(dāng)選同學(xué)會主席的為高一同學(xué),則有5種選法;若當(dāng)選同學(xué)會主席的為高二同學(xué),則有6種選法;若當(dāng)選同學(xué)會主席的為高三同學(xué),則有4種選法.依據(jù)加法原理,不同的選法種數(shù)為N=5+6+4=15.重點難點探究探究一:【解析】第1封信投到信箱中有4種投法;第2封信投到信箱中也有4種投法;第3封信投到信箱中也有4種投法.只要把這3封信投完,就做完了這件事情,由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法.【小結(jié)】解決計數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步,然后應(yīng)用加法原理和乘法原理來計算.解決本題易消滅的問題是完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清楚導(dǎo)致計算消滅錯誤,誤認(rèn)為每個信箱有3種選擇,所以可能的投法有34種,沒有留意到一封信只能投在一個信箱中.探究二:【解析】每個電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài),圖中從上到下的三條支線路,分別記為支線a、b、c,支線a電阻斷路時有R1,R2,R1和R2斷路3種狀況;支線b電阻斷路時有R3,R4,R3和R4斷路3種狀況;支線c電阻斷路的有R5,R6,R7,R5和R6,R5和R7,R6和R7,R5、R6和R7斷路7種狀況,由于燈A不亮,所以a、b、c三條支線都消滅了電阻斷路,因此燈A不亮的狀況共有3×3×7=63種狀況.【小結(jié)】電路中,當(dāng)主線中的串聯(lián)電阻消滅一個斷路時,整個電路就不通;當(dāng)并聯(lián)電路的每一條支線都消滅斷路時,整個電路才不通.探究三:【解析】第一類:萬位數(shù)為1的五位數(shù)的個數(shù)為4×3×2×1=24;其次類:萬位數(shù)為2、千位數(shù)是0或1的五位數(shù)的個數(shù)為2×3×2×1=12;第三類:萬位數(shù)為2、千位數(shù)是3、百位數(shù)是0的五位數(shù)的個數(shù)為2×1=2;第四類:萬位數(shù)為2、千位數(shù)是3、百位數(shù)是1的五位數(shù)分別為23104和23140,所以比23140小的數(shù)共有24+12+2+1=39個,故從小到大進行排列,23140排在第40個.【小結(jié)】(1)對于一些比較簡單的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清楚.(2)當(dāng)兩個原理混合使用時,一般是先分類,在每類方法里再分步.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:從四個門選取兩個門作為進門和出門,有4×3=12種方式.應(yīng)用二:當(dāng)R5斷路時,燈A不亮,此時R1,R2,R3,R4分別有2種情形,利用乘法原理,即有2×2×2×2=16種狀況;當(dāng)R5通路時,R1,R2至少一個斷路,有3種情形,同時R3,R4至少一個斷路,有3種情形,利用分步乘法原理,即有3×3=9種狀況.依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,燈A不亮?xí)r共有16+9=25種狀況.應(yīng)用三:(1)分三類:取老師有3種選法;取男生有8種選法;取女生有5種選法,故共有3+8+5=16種選法.(2)分三步:第一步選老師,其次步選男生,第三步選女生,故共有3×8×5=120種選法.(3)分兩步:第一步選老師,其次步選同學(xué).對其次步,又分為兩類:第一類選男生,其次類選女生,故共有3×(8+5)=39種選法.基礎(chǔ)智能檢測1.B可依次種A、B、C、D四塊,當(dāng)C與A種同一種花時,有4×3×1×3=36種種法;當(dāng)C與A所種花不同時,有4×3×2×2=48種種法,依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,不同的種法種數(shù)為36+48=84,故選B.2.D當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù),從而不憐憫形有5×5=25種,故選D.3.20“完成這件事”需選出男、女隊員各一名,可分兩步進行:第一步選一名男隊員,有5種選法;其次步選一名女隊員,有4種選法,共有5×4=20種選法.4.解:第一類:第2次傳遞后球在甲的腳下,此時第1次傳遞有2種方式,第3次傳遞有2種方式,依據(jù)乘法原理,足球4次傳遞踢回甲的方式有2×2=4種.其次類:第2次傳遞后球不在甲的腳下,此時只有兩種傳遞方式,即“甲-乙-丙-乙-甲”和“甲-丙-