《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-專題講座五-實際應(yīng)用性問題

專題講座五實際應(yīng)用性問題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)學(xué)問解決其他領(lǐng)域中的問題，高考命題堅持“貼近課本、貼近生活、貼近實際”的原則，要求考生一方面要牢固把握基礎(chǔ)學(xué)問、基本技能和基本方法；另一方面要擅長把文字語言轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)語言，實現(xiàn)由實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化．函數(shù)、不等式應(yīng)用題函數(shù)應(yīng)用題經(jīng)常涉及路程、物價、產(chǎn)量等實際問題，也可涉及長度、角度、面積、體積等幾何量，解答這類問題一般要列出有關(guān)解析式，然后用函數(shù)、方程、不等式等學(xué)問解決．(2021·深圳模擬)某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出；當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需要維護(hù)費150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費50元．(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？[解](1)租金增加了600元，所以未租出的車有12輛，一共租出了88輛．(2)設(shè)每輛車的月租金為x元(x≥3000)，租賃公司的月收益為y元，則y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))－eq\f(x－3000,50)×50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))×150＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050，所以當(dāng)x＝4050時，ymax＝307050.即每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大為307050元．[規(guī)律方法]在解決此類問題時需留意：一要過“閱讀”關(guān)，讀懂題目，能夠概括出問題所涉及的內(nèi)容；二要過“理解關(guān)”，精確?????理解和把握這些變量之間的關(guān)系；三要過“建模關(guān)”，在前兩步的基礎(chǔ)上，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；四要過“解題關(guān)”，通過解決數(shù)學(xué)問題得出實際問題的結(jié)論．?dāng)?shù)列應(yīng)用題數(shù)列應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到與增長率有關(guān)的實際問題以及已知前幾個量的歸納推理問題，需要運用等差、等比數(shù)列學(xué)問解決．(2021·廣東廣州模擬)流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染?。呈薪衲?月份曾發(fā)生流感．據(jù)資料統(tǒng)計，4月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于該市醫(yī)療部門實行措施，使該種病毒的傳播得到把握．從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者削減30人，到4月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共有8670人．問4月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．[解]設(shè)從4月1日起第n(n∈N*，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人數(shù)最多，則從4月1日到第n日止，每日新患者人數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列的首項為20，公差為50，前n日的患者總?cè)藬?shù)即該數(shù)列前n項之和Sn＝20n＋eq\f(n（n－1）,2)·50＝25n2－5n.從第n＋1日開頭，至4月30日止，每日的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列的首項為[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60，公差為－30，項數(shù)為(30－n)，(30－n)日的患者總?cè)藬?shù)為T30－n＝(30－n)(50n－60)＋eq\f(（30－n）（29－n）,2)(－30)＝(30－n)(65n－495)＝－65n2＋2445n－14850.依題意，Sn＋T30－n＝8670，即(25n2－5n)＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670.化簡得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49.∵1≤n≤30，∴n＝12.第12日的新患者人數(shù)為20＋(12－1)×50＝570.∴4月12日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，且這一天的新患者為570人．[規(guī)律方法]本題主要考查了等差數(shù)列的概念和公式，考查了閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的力氣以及應(yīng)用所學(xué)學(xué)問分析和解決實際問題的力氣．概率應(yīng)用題概率應(yīng)用題主要考查古典概型、幾何概型、互斥大事的概率．在考查概率時，還與二項分布及離散型隨機變量的期望與方差結(jié)合．(2021·北京豐臺模擬)年齡在60歲(含60歲)以上的人稱為老齡人，某地區(qū)老齡人共有35萬，隨機調(diào)查了該地區(qū)700名老齡人的健康狀況，結(jié)果如下表：健康指數(shù)210－160歲至79歲的人數(shù)250260652580歲及以上的人數(shù)20452015其中健康指數(shù)的含義是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能夠自理”，－1表示“生活不能自理”．(1)估量該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率；(2)若一個地區(qū)老齡人健康指數(shù)的平均值不小于1.2，則該地區(qū)可被評為“老齡健康地區(qū)”．請寫出該地區(qū)老齡人健康指數(shù)X的分布列，并推斷該地區(qū)能否被評為“老齡健康地區(qū)”．[解](1)該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為eq\f(250＋260＋65,250＋260＋65＋25)＝eq\f(23,24)，所以該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為eq\f(23,24).(2)該地區(qū)老齡人健康指數(shù)X的可能取值為2，1，0，－1，其分布列為(用頻率估量概率)：X210－1Peq\f(270,700)eq\f(305,700)eq\f(85,700)eq\f(40,700)E(X)＝2×eq\f(270,700)＋1×eq\f(305,700)＋0×eq\f(85,700)＋(－1)×eq\f(40,700)＝1.15，由于E(X)＜1.2，所以該地區(qū)不能被評為“老齡健康地區(qū)”．[規(guī)律方法]解決此類問題，首先應(yīng)認(rèn)真地分析題意，當(dāng)概率分布不是一些熟知的類型時，應(yīng)全面地剖析各個隨機變量所包含的各種大事，并精確?????推斷各大事的相互關(guān)系，從而求出各隨機變量相應(yīng)的概率，再利用隨機變量均值公式求出均值．1．(2021·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接2021年3月29日在鄭州進(jìn)行的“中國鄭開國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動．抽獎盒中裝有六個大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“秀麗綠城行”兩種標(biāo)志．搖勻后，參與者每次從盒中同時抽取兩個小球(取出后不再放回)，若抽到的兩個球都印有“鄭開馬拉松”標(biāo)志即可獲獎，并停止取球；否則連續(xù)抽?。谝淮稳∏蚓统橹蝎@一等獎，其次次取球抽中獲二等獎，第三次取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎．活動開頭后，一位參與者問：“盒中有幾個印有‘鄭開馬拉松’的小球？”主持人說：“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是‘秀麗綠城行’標(biāo)志的概率是eq\f(4,5).”(1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù)；(2)若用η表示這位參與者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．解：(1)設(shè)印有“秀麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“秀麗綠城行”標(biāo)志為大事A，則同時抽取兩球都是“秀麗綠城行”標(biāo)志的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,6))，由對立大事的概率：P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(4,5)，即P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，解得n＝3.故盒中印有“鄭開馬拉松”的小球有3個．(2)由已知，兩種球各三個，故η的可能取值分別為1，2，3，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))·eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＋eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,6))·eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,5)，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝eq\f(3,5).則η的分布列為：η123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,5)所以E(η)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).2．(2021·東北四市聯(lián)考)在海島A上有一座海拔1km的山峰，山頂設(shè)有一個觀看站P.有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午11∶00時，測得此船在島北偏東15°、俯角為30°的B處，到11∶10時，又測得該船在島北偏西45°，俯角為60°的C處．(1)求船的航行速度；(2)求船從B到C的行駛過程中與觀看站P的最短距離．解：(1)設(shè)船速為xkm/h，則BC＝eq\f(x,6)km.在Rt△PAB中，∠PBA與俯角相等為30°，∴AB＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3).同理，在Rt△PCA中，AC＝eq\f(1,tan60°)＝eq\f(\r(3),3).在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC＝eq\r(（\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)－2×\r(3)×\f(\r(3),3)cos60°)＝eq\f(\r(21),3)，∴x＝6×eq\f(\r(21),3)＝2eq\r(21)(km/h)，∴船的航行速度為2eq\r(21)km/h.(2)法一：作AD⊥BC于點D(圖略)，∴當(dāng)船行駛到點D時，AD最小，從而PD最?。藭r，AD＝eq\f(AB·AC·sin60°,BC)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),3))＝eq\f(3,14)eq\r(7).∴PD＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,14)\r(7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(259),14).∴船在行駛過程中與觀看站P的最短距離為eq\f(\r(259),14)km.法二：由(1)知在△ACB中，由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin60°)，∴sinB＝eq\f(\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),3))＝eq\f(\r(21),14).作AD⊥BC于點D(圖略)，∴當(dāng)船行駛到點D時，AD最小，從而PD最?。藭r，AD＝ABsinB＝eq\r(3)×eq\f(\r(21),14)＝eq\f(3,14)eq\r(7).∴PD＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,14)\r(7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(259),14).∴船在行駛過程中與觀看站P的最短距離為eq\f(\r(259),14)km.3．(2021·福建福州模擬)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)削減2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司打算明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣揚費用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動宣揚費用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．解：(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有(8－eq\f(t－25,1)×0.2)t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．(2)依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等價于x＞25時，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解，∵eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x≥2eq\r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時，等號成立)，∴a≥10.2.∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．4．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年投入各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設(shè)f(n)表示前n年的純收入(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)．(1)從第幾年開頭獵取純利潤？(2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．問哪種方案較合算？解：由題意知，每年投入的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列．則f(n)＝50n－[12n＋eq\f(n（n