云南省巧家縣第二中學(xué)2021屆人教版高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：不等式的性質(zhì)與證明

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之不等式的性質(zhì)與證明1．在不等式兩邊非負(fù)的條件下能同時(shí)平方或開方，具體的：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，a>ban>bn；當(dāng)a<0,b<0時(shí)，a>ba2<b2；a2>b2|a|>|b|。在不等式兩邊同號(hào)的條件下能同時(shí)取倒數(shù)，但不等號(hào)的方向要轉(zhuǎn)變，如：由<2推得的應(yīng)當(dāng)是：x>或x<0，而由>2推得的應(yīng)當(dāng)是：0<x<（別漏了“0<x”）等。若=,則的值域?yàn)?；的值域?yàn)?。解析：此題可以“逆求”：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒數(shù)”求：3-f(x)<3，分兩段取倒數(shù)即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,∴g(x)∈(-,0)∪(,+)；f(x)+3>30<<1<h(x)<。若，則下列不等式①；②③；④中，正確的不等式有 （） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)下列命題：①若a>b,則ac2>bc2；②若ac2>bc2,則a>b；③若a>b,c>d則a-d>b-c；④若a>b,則a3>b3；⑤若a>b,則⑥若a<b<0,則a2>ab>b2；⑦若a<b<0,則|a|>|b|；⑧若a<b<0,則；⑨若a>b且,則a>0,b<0；⑩若c>a>b>0,則；其中正確的命題是。若a>b>c且a+b+c=0，則：①a2>ab，②b2>bc，③bc<c2,④的取值范圍是：(-,1)，⑤的取值范圍是：（-2，-）。上述結(jié)論中正確的是。2．同向不等式相加及不等式的“傳遞性”一般只用于證明不等式，用它們求變量范圍時(shí)要求兩個(gè)不等式中的等號(hào)能同時(shí)成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數(shù)”才可相乘。已知函數(shù)，且滿足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,則f(3)的取值范圍是：。解析：解決本題的一個(gè)經(jīng)典錯(cuò)誤如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3②由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得：≤c≤－2⑥由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13⑦，即≤f(3)≤13。錯(cuò)誤的緣由在于：當(dāng)且僅當(dāng)1=－a－c且2=4a+c時(shí)⑤式中的1=a成立，此時(shí)，a=1，c=－2；當(dāng)且僅當(dāng)－4a－4c=8且4a+c=3時(shí)⑥式中的=c成立，此時(shí)，a=，c=；可見⑤⑥兩式不行能同時(shí)成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。正解是待定系數(shù)得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8∴7≤f(3)≤。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯(cuò)解分析知：當(dāng)a=1，c=－2時(shí)，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等號(hào)同時(shí)成立，即f(3)=7成立；而當(dāng)a=，c=時(shí)，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等號(hào)同時(shí)成立，即f(3)=成立；所以這個(gè)解法是沒有問題的。可見，在求變量范圍時(shí)也并非確定不能用“同向不等式相加”，只要“等號(hào)”能同時(shí)成馬上可；對(duì)不含等號(hào)的同向不等式相加時(shí)則需它們能同時(shí)“接近”。注：本題還可以用“線性規(guī)劃”求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標(biāo)函數(shù)f(3)的最大、最小值。設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c、x、y，且a、b、c為常數(shù)，x、y為變量，若x+y=c，則+的最大值是：A．B．C．D．3．關(guān)注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號(hào)成立的條件；具體的：xy≥0|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y||x+y|=|y|-|x|。若m>0,則|x-a|<m和|y-a|<m是|x-y|<2m的A．充分而不必要條件，B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件。解析：|x-a|<m且|y-a|<m，則|x-y|=|x-a+a-y|≤|x-a|+|y-a|<2m；而當(dāng)m=4,x=9,y=2,a=2時(shí)，|x-y|=7<2m,但|x-a|=7>m,∴|x-a|<m和|y-a|<m是|x-y|<2m的充分而不必要條件,選A。不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集為。解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等價(jià)于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0log2x>0x>1∴不等式的解集為（1，+)。a,b都是非零實(shí)數(shù)，下列四個(gè)條件：①|(zhì)a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；③||a|-|b||<|a+b|；④||a|-|b||<|a-b|；則與|a-b|=|a|+|b|等價(jià)的條件是：（填條件序號(hào)）。方程||=|+||的解集是。4．若、∈R+，則≥≥≥；當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立；其中包含常用不等式：≥；≥4以及基本不等式：≥，基本不等式還有另外兩種形式：若≤0、≤0，則≤；若：、∈R，則≥2；用基本不等式求最值時(shí)要關(guān)注變量的符號(hào)、放縮后是否為定值、等號(hào)能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長，則的最小值為。解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，∴a+b=1,=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立。正數(shù)a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2+3-2-3≥0≥3≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立。a+b=ab-3≤-3a+b≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立。注：該方法的實(shí)質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。在等式中填上兩個(gè)自然數(shù)，使它們的和最小。某工廠第一年年產(chǎn)量為A，其次年的年增長率為，第三年的年增長率為，這兩年的平均增長率為，則 （） A． B． C． D．甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行、一半時(shí)間跑步，假如兩人步行速度、跑步速度均相同，則：A．甲先到教室B．乙先到教室C．兩人同時(shí)到教室D．不能確定誰先到教室5．比較大小的方法有：①比差：推斷“差”的正負(fù)，因式分解往往是關(guān)鍵；②比商：推斷“商”與1的大小，兩個(gè)式子都正才能比商，常用于指數(shù)式的比較；③變形：如平方（需為正數(shù)）、有理化（根式的和、差）等；④尋求中間變量，常見的有0，1等；⑤數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過程。已知且，若則、的大小關(guān)系是（）A． B．C．D．解析：記x=,y=()2,直接比較x、y的大小將大費(fèi)周章，但：x>=1,y==，∴x>y，又0<c<1,∴<。x0是x的方程ax=logax(0<a<1)的解，則x0,1,a這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是。xyO11P解析：明顯方程axyO11P爭(zhēng)辯。分別作函數(shù)y=ax及y=logax的圖象如右，它們的交點(diǎn)為P（x0，y0）,易見x0<1,y0<1，而y0==logax0即logax0<1,又0<a<1，∴x0>a,即a<x0<1。、、的大小關(guān)系是。設(shè)a>2，p=,q=,則：A．p>qB．p<qC．p>q與p=q都有可能D．p>q與p<q都有可能設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1；推斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性。6．放縮法的方法有：①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；②將分子或分母放大（或縮?。虎劾没静坏仁?，如：；等；④利用常用結(jié)論：下列各式中（Ⅰ）（Ⅱ）；（Ⅲ）；(Ⅳ)；已知a、b、c是⊿ABC的三邊長，A=,B=,則：A．A>B