【2021高考復習參考】高三數(shù)學(理)配套黃金練習：8.3

第八章8.3第3課時高考數(shù)學（理）黃金配套練習一、選擇題1．室內(nèi)有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線()A．異面B．相交C．平行D．垂直答案D解析本題考查直線與直線的位置關系，無論尺子所在的直線與地面所在平面是相交、平行或是在平面內(nèi)，在地面所在的平面總可以找到與尺子所在直線垂直的直線．故選D.2．已知直線l、m，平面α、β，則下列命題中假命題是()A．若α∥β，l?α，則l∥βB．若α∥β，l⊥α，則l⊥βC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥β答案C解析對于選項C，直線l與m可能構(gòu)成異面直線．故選C.3．設有如下三個命題：甲：相交直線l、m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)；乙：直線l、m中至少有一條與平面β相交；丙：平面α與平面β相交．當甲成立時()A．乙是丙的充分而不必要條件B．乙是丙的必要而不充分條件C．乙是丙的充分且必要條件D．乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件答案C解析當甲成立，即“相交直線l、m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)”時，若“l(fā)、m中至少有一條與平面β相交”，則“平面α與平面β相交”成立；若“平面α與平面β相交”，則“l(fā)、m中至少有一條與平面β相交”也成立，故選C.4．設A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是()A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC答案D解析ABCD可能為平面四邊形，也可能為空間四邊形，D不成立．5．右圖是正方體的平面開放圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④答案C解析如圖，把正方體的平面開放圖還原到原來的正方體，明顯BM與ED為異面直線，故命題①不成立；而CN與BE平行，故命題②不成立；又四個選項中僅有選項C不含②，運用排解法，故應選C.6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)答案C解析連接BA1，則CD1∥BA1，于是∠A1BE就是異面直線BE與CD1所成的角(或補角)，設AB＝1，則BE＝eq\r(2)，BA1＝eq\r(5)，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝eq\f(5＋2－1,2\r(5)·\r(2))＝eq\f(3\r(10),10)，選C.7．已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：(1)一條直線；(2)一個平面；(3)一個點；(4)空集．其中正確的是()A．(1)(2)(3)B．(1)(4)C．(1)(2)(4)D．(2)(4)答案C解析如圖1，當直線m或直線n在平面α內(nèi)時不行能有符合題意的點；如圖2，直線m、n到已知平面α的距離相等且兩直線所在平面與已知平面α垂直，則已知平面α為符合題意的點；如圖3，直線m、n所在平面與已知平面α平行，則符合題意的點為一條直線，從而選C.8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1、EF、CD都相交的直線(A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有很多條答案D9．如圖所示，設地球半徑為R，點A、B在赤道上，O為地心，點C在北緯30°的緯線(O′為其圓心)上，且點A、C、D、O′、O共面，點D、O′、O共線．若∠AOB＝90°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(6),4)B．－eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)D.eq\f(\r(6)－\r(2),4)答案A解析分別以OB、OA、OD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O－xyz，易得A(0，R,0)，B(R,0,0)，C(0，eq\f(\r(3),2)R，eq\f(1,2)R)，D(0,0，R)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(R，－R,0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，－eq\f(\r(3),2)R，eq\f(1,2)R)，coseq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(\r(3),2)R2,\r(2)R2)＝eq\f(\r(6),4)，選A.二、填空題10．已知a、b是異面直線，下列命題：①存在一個平面α，使a∥α，且b∥α；②存在一個平面α，使a⊥α且b⊥α；③存在一個平面α，使a?α，且b與α相交；④存在一個平面α，使a，b到平面α的距離相等．其中正確命題是________．答案①③④11．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F，則①四邊形BFD′E確定是平行四邊形；②四邊形BFD′E可能是正方形；③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影確定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上結(jié)論正確的為________．(寫出全部正確結(jié)論的序號)答案①③④解析如圖，由面面平行的性質(zhì)可知：BE∥FD′，ED′∥BF，∴四邊形BFD′E是平行四邊形，∴①正確；它不行能是正方形，否則BE⊥平面A′ADD′，∴②錯誤；又∵四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影為四邊形ABCD，∴它確定是正方形，∴③正確；當E、F分別為所在棱的中點時，EF⊥平面BB′D，∴此時面BFDE′垂直于面BB′D.∴④正確．12．在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上全部正確答案的序號)答案(2)、(4)解析如題干圖(1)中，直線GH∥MN，因此GH與MN共面；圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖(4)中，G、M、N三點共面，但H?平面GMN，∴GH與MN異面．所以圖(2)、(4)中GH與MN異面．三、解答題13．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點．求異面直線A1E與GF所成角的大?。膺B結(jié)B1G，EG，B1F，CF.∵E、G是棱DD1、CC1的中點，∴A1B1∥EG.∴四邊形A1B1GE是平行四邊形，∴B1G∥A1E.所以∠B1GF(或其補角)就是異面直線A1E與GF所成的角．在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝eq\f(1,2)AA1＝1，∴B1G＝eq\r(2).在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，∴FC＝eq\r(2).在Rt△FCG中，CF＝eq\r(2)，CG＝1，∴FG＝eq\r(3).在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，∴B1F＝eq\r(5).在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°.因此，異面直線A1E與GF所成的角為90°.14.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．證明(1)如圖，連結(jié)CD1、EF、A1B，∵E、F分別是AB和AA1的中點，∴EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B，又∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1確定一個平面α，∴E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四點共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設交點為P，則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三線共點．15.如圖所示，設A是BCD所在平面外一點，AD＝BC＝2cm，E、F分別是AB、CD的中點．(1)若EF＝eq\r(2)cm，求異面直線AD和BC所成的角；(2)若EF＝eq\r(3)cm，求異面直線AD和BC所成的角．解取AC的中點G，連結(jié)EG、FG.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1cm，F(xiàn)G∥AD且FG＝eq\f(1,2)AD＝1cm∴∠EGF即為所求異面直線的角或其補角．(1)當EF＝eq\r(2)cm時