【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-3教案：第3章-回歸分析-第一課時參考教案

3.1回歸分析（一）教學(xué)目標(biāo) （1）通過實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的緣由；（2）通過對回歸模型的合理性等問題的爭辯，滲透線性回歸分析的思想和方法；（3）能求出簡潔實(shí)際問題的線性回歸方程．教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估量值的探求方法．教學(xué)過程一．問題情境1．情境：對一作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估量當(dāng)x=９時的位置y的值．時刻/s位置觀測值/cm依據(jù)《數(shù)學(xué)（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個問題的方法是：先作散點(diǎn)圖，如下圖所示：從散點(diǎn)圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．依據(jù)線性回歸的系數(shù)公式，可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時，由線性回歸方程可以估量其位置值為2．問題：在時刻時，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動位置確定是嗎？二．同學(xué)活動思考，爭辯：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實(shí)際值與估量值之間存在著誤差．三．建構(gòu)數(shù)學(xué)1．線性回歸模型的定義：我們將用于估量值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估量值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；將稱為線性回歸模型．說明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要緣由有：①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；②忽視了某些因素的影響；③存在觀測誤差．（2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)當(dāng)考慮下面兩個問題：①模型是否合理（這個問題在下一節(jié)課解決）；②在模型合理的狀況下，如何估量，？2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估量值：對于問題②，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，依據(jù)線性回歸模型，對于每一個，對應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，我們期望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出訪取得最小值時的，值作為，的估量值，記為，．注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．用什么方法求，？回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到，的計算公式為，其中，由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估量值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值．在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的線性回歸方程中，，．3．線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位；4．化歸思想（轉(zhuǎn)化思想）在實(shí)際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們依據(jù)專業(yè)學(xué)問或散點(diǎn)圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式．（1），令，，則有．（2），令，，，則有．（3），令，，，則有．（4），令，，，則有．（5），令，，則有．四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用1．例題：例1．下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試依據(jù)表中數(shù)據(jù)估量我國年的人口數(shù)．年份人口數(shù)/百萬解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：作出個點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線四周，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系．依據(jù)公式（1）可得這里的分別為的估計值，因此線性回歸方程為由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估量為13.23億.例2．某地區(qū)對本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)：人均資本/萬元人均產(chǎn)出/萬元（1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試依據(jù)表中數(shù)據(jù)估量和的值；（2）估量企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）．分析：依據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系．解（1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示．1人均資本/萬元345.56.578910.511.5142人均產(chǎn)出/萬元4.124.678.6811.0113.0414.4317.525.4626.6645.230.477120.602060.740360.812910.84510.903090.954241.021191.06071.1461340.61490.669320.938521.041791.115281.159271.243041.405861.425861.65514仿照問題情境可得，的估量值，分別為由可得，即，的估量值分別為和．（2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本頁）當(dāng)時，（萬元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬元時，人均產(chǎn)值約為萬元．2．練習(xí)：練習(xí)第題五．回顧小結(jié)：1．線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系（非確