2021高中數學(人教A版)選修2-2課時作業(yè)20

課時作業(yè)(二十)一、選擇題1．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質類比出球的有關性質②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出全部三角形的內角和都是180°③教室內有一把椅子壞了，則猜想該教室內的全部椅子都壞了④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得出凸n邊形的內角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①② B．①③④C．①②④ D．②④答案C2．下列說法正確的是()A．類比推理是從一般到一般的推理B．類比推理是從個別到個別的推理C．類比推理是從個別到個別或一般到一般的推理D．類比推理是從個別到一般的推理答案C3．平面內平行于同始終線的兩直線平行，由類比推理，我們可以得到()A．空間中平行于同始終線的兩直線平行B．空間中平行于同一平面的兩直線平行C．空間中平行于同始終線的兩平面平行D．空間中平行于同一平面的兩平面平行答案D4．在等差數列{an}中，若an>0，公差d≠0，則有a4a6>a3a7.類比上述性質，在等比數列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，則關于b5，b7，b4，bA．b5b7>b4b8 B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8 D．b7＋b8<b4＋b5答案C二、填空題5．正方形面積為邊長的平方，則立體幾何中，與之類比的圖形是________，結論是________．答案正方體正方體的體積為邊長的立方6．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長C(r)＝2πr，若將r看做(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr.①①式可用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數．對于半徑R的球，若將R看做(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于①的式子：_______________________________________；②式可用語言敘述為______________________________．答案①(eq\f(4,3)πR3)′＝4πR2②球的體積函數的導數等于球的表面積函數7．如圖(1)有關系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，如圖(2)有關系：eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝________.答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)8．在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過點P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當離心率e趨近于0時，短軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝__________.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．答案πabeq\f(x1x,a2)＋eq\f(y1y,b2)＝19．若數列{an}是等差數列，bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，則數列{bn}也是等差數列．類比上述性質，若數列{cn}是各項都為正數的等比數列，則dn＝________時，數列{dn}也是等比數列．答案eq\r(n,c1c2…cn)10．已知等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為q，前n項積為Tn，類比等差數列的性質，填寫等比數列的相應性質(m，n，k，ω∈N*)．等差數列等比數列an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)d若m＋n＝k＋ω，則an＋an＝ak＋aω若m＋n＝2ω，則am＋an＝2aSn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數列答案an＝a1·qn－1an＝am·qn－mam·an＝ak·aωam·an＝aeq\o\al(2,ω)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列11．如圖甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB2＝BD·BC，該結論稱為射影定理．如圖乙，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內，類比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD之間滿足的關系式是________．思路分析常用方法：(1)將點擴展為線；(2)將線(邊長)擴展為面(面積)；(3)將面(面積)擴展為體(體積)．解析連接DO延長交BC于E，連接AE.∵AD⊥面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥面ABC，∴AO⊥BC.∴BC⊥面ADO，即BC⊥面ADE.∴BC⊥AE.在△ADE中，由射影定理，得AE2＝EO·ED.∴(eq\f(1,2)BC·AE)(eq\f(1,2)BC·AE)＝(eq\f(1,2)BC·EO)(eq\f(1,2)BC·ED)．∴Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD.12．對于大于1的自然數m的n次冪可用奇數進行如圖所示的“分裂”，仿此，記53的“分裂”中的最小數為a，而52的“分裂”中最大的數是b，則a＋b＝________.答案30三、解答題13．觀看等式sin220°＋sin240°＋sin20°·sin40°＝eq\f(3,4)；sin228°＋sin232°＋sin28°·sin32°＝eq\f(3,4).請寫出一個與以上兩個等式規(guī)律相同的等式．解析∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝eq\f(1,2)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴歸納到一般有：“若α＋β＝γ，則sin2α＋sin2β＋sinα·sinβ＝sin2γ”．?重點班·選做題14.如右圖所示，在平面上，設ha，hb，hc分別是△ABC三條邊上的高，P為△ABC內任意一點，P到相應三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1.證明此結論，并通過類比寫出在空間中的類似結論，并加以證明．解析P為三棱錐A－BCD內任意一點，P到相應四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，ha，hb，hc，hd分別是相應四個面上的高．求證：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝1.證明如下：eq\f(Pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCDPa,\f(1,3)·S△BCD·ha)＝eq\f(VP－BCD,VABC)，同理eq\f(Pb,hb)＝eq\f(VP－ABC,V)＝eq\f(VP－CBD,V)，eq\f(Pc,hc)＝eq\f(VP－ADC,V)，eq\f(Pd,hd)＝eq\f(VP－ABD,V).∴eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝eq\f(VP－BCD＋VP－ABC＋VP－ADC＋VP－ABD,V)＝1.故結論正確．1．(1)已知a、b為實數，且|a|<1，|b|<1，求證：ab＋1>a＋b.(2)已知a、b、c均為實數，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.解析(1)兩邊作差，得ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)．∵|a|<1，|b|<1，則(a－1)(b－1)>0.∴ab＋1>a＋b.(2)如圖點P為斜三棱柱ABC－A1B1C1的側棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于MPN⊥BB1交CC1于點N.①求證：CC1⊥MN；②在任意△DEF中，有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間，類比三角形中的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．解析(1)證明略．(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A其中α為平面CC1B1B與平面CC1A∵CC1⊥平面PMN，∴α＝∠MNP.在△PMN中，PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcosα，得