【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第9章-第4節(jié)-線面、面面平行的判定與性質(zhì)

第九章第四節(jié)一、選擇題1．(2022·廣東揭陽一模)設(shè)平面α，β，直線a，b，a?α，b?α，則“a∥β，b∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]由平面與平面平行的判定定理可知，若直線a，b是平面α內(nèi)兩條相交直線，且有“a∥β，b∥β”，則有“α∥β”，當(dāng)“α∥β”時，若a?α，b?α，則有“a∥β，b∥β”，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．2．(文)已知l是直線，α、β是兩個不同平面，下列命題中的真命題是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥βC．若l⊥α，l∥β，則α⊥β D．若l∥α，α∥β，則l∥β[答案]C[解析]如圖在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取平面ADD1A1為α，平面ABCD為β，B1C1又取平面ADD1A1為α，平面BCC1B1為β，B1C1為l(理)(2021·浙江金華十校期末)設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則下列命題中正確的是()A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥mC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥nD．若l⊥m，l⊥n，則n∥m[答案]C[解析]m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，需要m與n相交才有l(wèi)⊥α，A錯誤；若m?α，n⊥α，l⊥n，l與m可能平行、相交，也可能異面，B錯誤；若l⊥m，l⊥n，n與m可能平行、相交，也可能異面，D錯誤．3．(2022·沈陽模擬)已知直線a，b，平面α，則以下三個命題：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥b，a∥α，則b∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b.其中真命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①錯誤，沒有指出a?α；②錯誤，沒有指出b?α；③錯誤，a∥α，b∥α?xí)r，a與b可能平行，也可能相交、異面，故選A．4．(文)(2021·浙江嘉興一模)已知α，β是空間中兩個不同平面，m，n是空間中兩條不同直線，則下列命題中錯誤的是()A．若m∥n，m⊥α，則n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，則m∥nC．若m⊥α，m⊥β，則α∥βD．若m⊥α，m?β，則α⊥β[答案]B[解析]選項B中不能判定m∥n，m與n的位置關(guān)系還有可能為異面．(理)已知m、n是兩條直線，α、β是兩個平面，給出下列命題：①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β；③若n、m為異面直線，n?α，n∥β，m?β，m∥α，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是()A．3個 B．2個C．1個 D．0個[答案]B[解析]垂直于同始終線的兩個平面平行，故①正確；對于②，若平面α上的三點在平面β的異側(cè)，則它們相交，故②錯；依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理，可知③正確．5．(文)給出下列命題，其中正確的兩個命題是()①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行；②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；③直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥α；④a，b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等．A．①與② B．②與③C．③與④ D．②與④[答案]D[解析]直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線m⊥平面α，直線m⊥直線n，則直線n可能平行于平面α，也可能在平面α內(nèi)，因此①③為假命題．(理)對于平面α和共面的直線m、n，下列命題是真命題的是()A．若m，n與α所成的角相等，則m∥nB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m?α，n∥α，則m∥n[答案]D[解析]正三棱錐P－ABC的側(cè)棱PA、PB與底面成角相等，但PA與PB相交應(yīng)排解A；若m∥α，n∥α，則m與n平行或相交，應(yīng)排解B；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，應(yīng)排解C．∵m、n共面，設(shè)經(jīng)過m、n的平面為β，∵m?α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正確．6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、CC1的中點，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EFA．不存在 B．有1條C．有2條 D．有很多條[答案]D[解析]由題設(shè)知平面ADD1A1與平面D1EF有公共點D1，由平面的基本性質(zhì)3知必有過該點的公共直線l，在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的直線有很多條，且它們都不在平面D1EF內(nèi)，由線面平行的判定定理知它們都與平面D1EF二、填空題7．(2022·安徽渦陽檢測)一個透亮?????密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正方體，則水面在容器中的外形可以是：①三角形；②長方形；③正方形；④正六邊形．其中正確的結(jié)論是________．(把你認為正確結(jié)論的序號都填上)[答案]②③④[解析]由于正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心．三角形截面不過正方體的中心，故①不正確；過正方體的一對棱和中心可作一截面，截面外形為長方形，故②正確；過正方體四條相互平行的棱的中點得截面外形為正方形，該截面過正方體的中心，故③正確；過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心得截面外形的正六邊形，故④正確．故應(yīng)填②③④.8．(文)在空間中，有如下命題：①相互平行的兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影必定是相互平行的兩條直線；②若平面α∥平面β，則平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β；③若平面α與平面β的交線為m，平面α內(nèi)的直線n⊥直線m，則直線n⊥平面β；④若平面α內(nèi)的三點A、B、C到平面β的距離相等，則α∥β.其中正確命題的序號為________．[答案]②[解析]①中，相互平行的兩條直線的射影可能重合，①錯誤；②正確；③中，平面α與平面β不愿定垂直，所以直線n就不愿定垂直于平面β，③錯誤；④中，若平面α內(nèi)的三點A、B、C在一條直線上，則平面α與平面β可以相交，④錯誤．(理)已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列命題：①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，則α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n?γ，則m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，則n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正確命題的序號是________．[答案]②④[解析]命題①中，直線m、n不愿定相交，即命題①不正確；命題②中，垂直于同一個平面的兩個平面的位置關(guān)系可以平行或相交，若相交，其交線必與第三個平面垂直，∴m⊥γ，又n?γ，∴m⊥n，即命題②正確；若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又α⊥β，則n∥β或n?β，即命題③不正確；由線面平行的判定與性質(zhì)定理可知命題④正確．則正確命題的序號為②④.9．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是______(寫出全部符合要求的圖形序號)．[答案]①③[解析]如圖①，∵MN∥AD，NP∥AC，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.如圖②，假設(shè)AB∥平面MNP，設(shè)BD∩MP＝Q，則NQ為平面ABD與平面MNP的交線，∴AB∥NQ，∵N為AD的中點，∴Q為BD的中點，但由M、P分別為棱的中點知，Q為BD的eq\f(1,4)分點，沖突，∴AB∥\平面MNP.如圖③，∵BD綊AC，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴AB∥CD，又∵M、P為棱的中點，∴MP∥CD，∴AB∥MP，從而可得AB∥平面MNP.如圖④，假設(shè)AB∥平面MNP，并設(shè)直線AC∩平面MNP＝D，則有AB∥MD，∵M為BC中點，∴D為AC中點，這樣平面MND∥平面AB，明顯與題設(shè)條件不符，∴AB∥\平面MNP.三、解答題10．(文)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA′＝1，點M、N分別為A′B和B′C′的中點．(1)證明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱錐A′－MNC的體積(錐體體積公式V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高)．[分析](1)欲證MN∥平面A′ACC′，須在平面A′ACC′內(nèi)找到一條直線與MN平行，由于M、N分別為A′B，B′C′的中點，B′C′與平面A′ACC′相交，又M為直三棱柱側(cè)面ABB′A′的對角線A′B的中點，從而M為AB′的中點，故MN為△AB′C′的中位線，得證．(2)欲求三棱錐A′－MNC的體積，留意到直三棱柱的特殊性和點M、N為中點，可考慮哪一個面作為底面有利于問題的解決，視A′MC為底面，則S△A′MC＝eq\f(1,2)S△A′BC，∴VA′－MNC＝eq\f(1,2)VN－A′BC，又VN－A′BC＝VA′－NBC，易知A′N為三棱錐A′－NBC的高，于是易得待求體積．[解析](1)證明：連接AB′，AC′，由題意知，ABB′A′為平行四邊形，所以M為AB′中點．又由于N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)連接BN，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，∴A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC．又A′N＝eq\f(1,2)B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝eq\f(1,2)VN－A′BC＝eq\f(1,2)VA′－NBC＝eq\f(1,6).[點評]本題考查了線面平行的證明，錐體的體積兩方面的問題，對于(1)還可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P為A′B′的中點)來證明；(2)還可利用割補法求解．(理)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求四周體B－DEF的體積．[解析](1)證明：設(shè)AC與BD交于點G，聯(lián)結(jié)EG、GH.則G為AC中點，∵H是BC中點，∴GH綊eq\f(1,2)AB，又∵EF綊eq\f(1,2)AB，∴四邊形EFHG為平行四邊形．∴FH∥EG.又EG?平面EDB，而FH?平面EDB，∴FH∥平面EDB．(2)證明：∵EF∥AB，EF⊥FB．∴AB⊥FB．又四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥平面BFC．∵FH?平面BFC，∴AB⊥FH.又∵FB＝FC，H是BC中點，∴FH⊥BC．又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC．又EG∥FH，∴EG⊥AC，又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面EDB．(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，∴BF⊥平面CDEF，即BF⊥平面DEF.∴BF為四周體B—DEF的高．又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝eq\r(2).四邊形CDEF為直角梯形，且EF＝1，CD＝2.∴S△DEF＝eq\f(1,2)(1＋2)×eq\r(2)－eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，∴VB—DEF＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝eq\f(1,3).一、解答題11．(2022·海淀區(qū)期末)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(1)求證：AB⊥平面AA1C(2)若線段AC上的點D滿足平面DEF∥平面ABC1，試確定點D的位置，并說明理由；(3)證明：EF⊥A1C[解析](1)證明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A∴AB⊥平面AA1C(2)∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中E是BC的中點，∴D是線段AC的中點．(3)證明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝∴側(cè)面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1由(1)可得AB⊥A1C∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥平面ABC1∴A1C⊥BC1又∵E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C12．(文)(2021·北京豐臺期末)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，點M，N分別為A1C1與A1B(1)求證：MN∥平面BCC1B1；(2)求證：平面A1BC⊥平面A1ABB1.[證明](1)連接BC1，∵點M，N分別為A1C1與A1B的中點，∴MN∥BC1∵MN?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AB⊥BC，AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC?平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.(理)(2021·北京四中期中)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點，AA1＝AB＝a(1)求證：AD⊥B1D；(2)求證：A1C∥平面AB1D(3)求三棱錐C－AB1D的體積．[解析](1)證明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC．∴AD⊥BB1.又∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC．又∵BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.又∵B1D?平面B1BCC1，∴AD⊥B1D．(2)證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝E，連接DE.∵AA1＝AB，∴四邊形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中點，又∵D是BC的中點，∴DE∥A1C∵DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D∴A1C∥平面AB1(3)解：VC－AB1D＝VB1－ADC＝eq\f(1,3)S△ADC·|BB1|＝eq\f(\r(3),24)a3.13．(2022·山東煙臺一模)如圖(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖(2)所示，點E，F(xiàn)分別為棱PC，CD的中點．(1)求證：平面OEF∥平面APD；(2)求證：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求三棱錐E－CFO的體積．[解析](1)證明：由于點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC．由于AB＝BC，所以O(shè)是AC的中點．由于E是PC的中點，所以O(shè)E∥PA．由于PA?平面APD，OE?平面APD，所以O(shè)E∥平面APD．同理OF∥平面APD．又由于OE∩OF＝O，OE，OF?平面OEF，所以平面OEF∥平面APD．(2)證明：由于∠ADC＝90°，所以CD⊥AD．由于OF∥AD，所以CD⊥OF.由于PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，所以PO⊥CD．又由于OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.(3)由于∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，所以S△ACD＝eq\f(1,2)×3×4＝6.由于點O，F(xiàn)分別是AC，CD的中點，所以S△CFO＝eq\f(1,4)S△ACD＝eq\f(3,2).由題意可知△ACP是邊長為5的等邊三角形，所以高OP＝eq\f(5,2)eq\r(3)，即P點到平面ACD的距離為eq\f(5,2)eq\r(3).又由于E為PC的中點，所以E到平面CFO的距離為eq\f(5,4)eq\r(3)，故VE－CFO＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\f(5,4)eq\r(3)＝eq\f(5,8)eq\r(3).14．(文)(2022·保定模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設(shè)D、E分別為PA、AC中點．(1)求證：DE∥平面PBC；(2)求證：BC⊥平面PAB；(3)試問在線段AB上是否存在點F，使得過三點D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由．[解析](1)證明：由于點E是AC中點，點D為PA的中點，所以DE∥PC．又由于DE?平面PBC，PC?平面PBC，所以DE∥平面PBC．(2)證明：由于平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝A