中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點精講專題28 尺規(guī)作圖（解析版）

專題28尺規(guī)作圖中考命題解讀中考命題解讀中考對尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式,不再是單一的對作圖技法操作進(jìn)行考查,而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動有效融合,既體現(xiàn)了動手實踐的數(shù)學(xué)思維活動,也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問題的能力.考標(biāo)要求考標(biāo)要求1.根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡、步驟判斷結(jié)論和計算。2.尺規(guī)作圖及相關(guān)證明與計算考點精講考點精講五種基本尺規(guī)作圖類型圖示步驟作圖依據(jù)1.作一條線段等于已知線段OAP（1）畫射線OP（2）在射線OP上截取OA=a圓上的點到圓心的距離等于半徑2.作一個角等于已知角以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C,D畫一條射線PO，以點P為圓心，OC長為半徑畫弧，交PO于點C′以P為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點D′過點P、P畫射線PB′，則∠B′PO=∠BOC三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)角相等；兩點確定一條直線3.作一個角的平分線（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N．（2）分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C．（3）畫出射線OC，射線OC即為所求4.作一條垂直平分線1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線5.過一個點作已知直線的垂線點在直線上以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線于點A、B兩點；分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點P、C；作直線PC，直線PC即為所求作的垂線等腰三角形“三線合一”；兩點確定一條直線點在直線外在直線另一側(cè)去點M；以點P為圓心，PM長為半徑畫弧，交直線l于點A、B兩點；分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；作直線PQ，直線PQ即為所求作的垂線母題精講母題精講【典例1】（2022?貴港）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【解答】解：如圖，△ABC為所作．【典例2】（2022秋?阿榮旗校級月考）已知∠AOB，求作∠A'O'B'＝∠AOB，保留作圖痕跡．【解答】解：如圖，∠A'O'B'即為所求．【典例3】（2022?北海二模）如圖：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝40°．（1）尺規(guī)作圖：作∠B的平分線交AC于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）過點A作AE垂直BC的延長線于點E，求∠CAE的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，射線BD即為所求；（2）如圖，線段AE即為所求．∵AE⊥BE，∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝70°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，【典例4】（2022?雨花區(qū)校級二模）下面是小西“過直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l及直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ⊥l．做法：如圖，①在直線l的異側(cè)取一點K，以點P為圓心，PK長為半徑畫弧，交直線l于點A，B；②分別以點A，B為圓心，大于AB的同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點Q（與P點不重合）；③作直線PQ，則直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小西設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥l（到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）．【解答】解：（1）如圖所示，（2）證明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥l（到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）．故答案為PA＝PB，QA＝QB；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．真題精選真題精選命題點1根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡、步驟判斷結(jié)論及計算命題點1根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡、步驟判斷結(jié)論及計算1．（2022?麗水二模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故選項A不符合題意；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故選項B符合題意；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故選項C不符合題意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故選項D不符合題意；故選B．2．（2022?玉環(huán)市一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°．觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BFC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°【解答】解：由作圖可知，DE垂直平分線段AC，BF平分∠ABC，∴DA＝DC，∴∠A＝∠DCA，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝50°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝60°，∴∠BFC＝∠BDF+∠ABF＝60°+50°＝110°，故選：C3．（2022秋?新邵縣期末）請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，請你根據(jù)所學(xué)的三角形全等有關(guān)的知識，說明畫出的依據(jù)是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．SSA【解答】解：由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，在△D'O'C'與△DOC中，，∴△D'O'C'≌△DOC（SSS），∴∠D′O′C′＝∠DOC（全等三角形的對應(yīng)角相等）．故選：C．4．（2022秋?天心區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝30°，分別以點A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧在AC兩側(cè)分別交于P、Q兩點，作直線PQ交BC于點D，交AC于點E．若DE＝3，則AB的長為（）A． B．5 C．3 D．【解答】解：如圖，連接AD，過點A作AF⊥BD于點F，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C＝60°，CD＝2DE＝AD＝6，∵AF⊥BD，∴DF＝AD＝3，∴AF＝DF＝3，∵∠B＝45°，∴AF＝BF＝3，∴AB＝AF＝3．故選：C．5．（2022?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，則AE的長為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)MN與AC的交點為O，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，∴△ADC為直角三角形，∵CD＝6，AD＝8，∴，，又由作圖知MN為AC的垂直平分線，∴∠MOA＝90°，，在Rt△AOE中，，∵cos∠CAD＝cos∠EAO，∴，∴．故選：D．命題點2尺規(guī)作圖及相關(guān)證明與計算命題點2尺規(guī)作圖及相關(guān)證明與計算 6．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．（1）作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：AD＝AE．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．7．（2022?寧夏）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于點D．（1）用尺規(guī)作∠ABC的角平分線，交CD于點E；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCE為菱形．8．（2022?東莞市校級三模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AC于點D；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若CD＝3，求cosA．【解答】解：（1）如圖，射線BD即為所求；（2）根點D作DH⊥AB于點H．∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，∴DH＝DC＝3，∴AH＝＝＝4，∴cosA＝＝．9．（2022?花都區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，BD＝2AD．（1）作∠CBD的角平分線，分別交AC，CD于點M，N；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AC＝16，BD＝10，求線段MN的長．【解答】解：（1）如圖所示：（2）過點N作NE⊥BD于點E，NF⊥BC于點F．由作圖可知BN平分∠CBD，∴NE＝NF，∵BD＝10，BD＝2AD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DO＝OB＝5＝AD＝BC，OC＝AC＝8，∴OB＝BC＝5，∵BN平分∠CBO，∴BM⊥OC，∴OM＝CM＝4，∴BM＝＝＝3，∵＝＝＝2，∵CN∥AB，∴＝＝，∴MN＝1．10．（2022?河池模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＞AD．（1）尺規(guī)作圖：在AB上截取AE，使得AE＝AD（不寫作法，保留作圖痕跡，用黑色筆將痕跡加黑）；（2）在（1）所作的圖形中，連接DE，證明：∠ADE＝∠CDE．【解答】（1）解：如圖，AE為所求．（2）證明：由（1）知AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CDE．11．（2022?中山市三模）如圖，