中考數(shù)學一輪復習知識梳理+考點精講專題24 正方形的性質與判定（解析版）

專題24正方形的性質與判定中考命題解讀中考命題解讀以正方形為載體的中考題，往往以基礎知識、基本技能、基本數(shù)學思想和基礎數(shù)學活動經(jīng)驗為依托，考查考生運用基礎知識分析、解決問題的能力?？紭艘罂紭艘?.掌握正方形的概念、判定和性質，會用正方形的性質和判；2.會運用正方形的知識解決有關正方形定解決簡單問題問題?？键c精講考點精講考點1：正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.考點2：正方形的性質：1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質。2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3、正方形對邊平行且相等。4、正方形的對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；5、正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.考點3：正方形的判定：1）有一個角是直角的菱形是正方形；2）對角線相等的菱形是正方形；3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；4）對角線互相垂直的矩形是正方形；5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.正方形的面積公式：面積=邊長×邊長=12對角線×母題精講母題精講【典例1】（2021?德州）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊AB，AD上，且AE＝DF，點G，H分別在邊AB，BC上，且FG⊥EH，垂足為P．（1）求證：FG＝EH；（2）若正方形ABCD邊長為5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的長度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∴∠AGF+∠AFG＝90°，∵FG⊥EH，∴∠AGF+∠GEP＝90°，∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH，∵AE＝DF，∴AD﹣DF＝AB﹣AE，即AF＝BE，在△AFG和△BEH中，，∴△AFG≌△BEH（ASA），∴FG＝EH；（2）解：∵AD＝5，AE＝DF＝2，∴AF＝5﹣2＝3，在Rt△AFG中，tan∠AGF＝，即＝，∴AG＝4，∴EG＝2，在Rt△AFG中，F(xiàn)G＝＝＝5，∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，∴△AFG∽△PEG，∴＝，即＝，∴PG＝，∴PF＝FG﹣PG＝5﹣＝．【變式1-1】（2022?隨州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．（1）求證：AE＝CF；（2）已知平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，求CF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形BEDF為正方形，∴DF＝EB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，∴DC﹣DF＝AB﹣EB，∴CF＝AE，即AE＝CF；（2）解：∵平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，四邊形BEDF為正方形，∴5DE＝20，DE＝EB，∴DE＝EB＝4，∴AE＝AB﹣EB＝5﹣4＝1，由（1）知：AE＝CF，∴CF＝1．【變式1-2】（2022?貴陽）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，點F在DC上，且MF∥AD．（1）求證：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，又∵MF∥AD，∴四邊形AMFD為矩形，∴∠MFD＝∠MFN＝90°，∴AD＝MF，∴AB＝MF，∵BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO，在△ABE和△FMN中，∴△ABE≌△FMN（ASA）；（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，∴△BOM∽△BAE，∴OM：AE＝BO：BA，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10，∴OM：6＝5：8，∴OM＝，∵△ABE≌△FMN，∴NM＝BE＝10，∴ON＝MN﹣MO＝．【典例2】（2021?興安盟）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，EF與AD相交于點H．（1）求證：AD⊥EF；（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？說明理由．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△AED與△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴AD⊥EF；（2）解：△ABC滿足∠BAC＝90°時，四邊形AEDF是正方形，理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形．【變式2】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．真題精選真題精選命題點1正方形的判定命題點1正方形的判定1．（2021?婁底）如圖，點E、F在矩形ABCD的對角線BD所在的直線上，BE＝DF，則四邊形AECF是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解答】解：A．∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故本選項符合題意；B．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四邊形AECF不是矩形，故本選項不符合題意；C．∵四邊形ABCD是矩形，∴不能證明AC⊥BD，∴不能證明AC⊥EF，故本選項不符合題意；D．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四邊形AECF不是正方形，故本選項不符合題意；故選：A．2．（2022秋?漳州期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：B．3．（2022春?東莞市期中）下列給出的條件中，不能判斷?ABCD是正方形的是（）A．AC＝BD，AD＝AB B．AD＝AB，∠A＝90° C．AC＝BD，AC⊥BD D．AC⊥BD，AD＝AB【答案】D【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形為矩形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；B、根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形，且有一組鄰邊相等，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；C、對角線相等的平行四邊形為矩形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；D、只能證明四邊形ABCD是菱形，不能判斷四邊形ABCD是正方形．故選：D．4．（2021?玉林）一個四邊形順次添加下列條件中的三個條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是（）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加d即一個角是直角的菱形是正方形，故①正確；②由b得到一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加d即有一個角是直角的平行四邊形是矩形，再添加c即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；③由a得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加b得到一組對邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；故選：C．命題點2正方形的性質及其應用命題點2正方形的性質及其應用5．（2022?什邡市校級二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（）A．當?ABCD是矩形時，∠ABC＝90° B．當?ABCD是菱形時，AC⊥BD C．當?ABCD是正方形時，AC＝BD D．當?ABCD是菱形時，AB＝AC【答案】D【解答】解：因為矩形的四個角是直角，故A正確，因為菱形的對角線互相垂直，故B正確，因為正方形的對角線相等，故C正確，菱形的對角線和邊長不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因為AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此時AC＞AB，故選：D．6．（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項正確，不符合題意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B選項正確，不符合題意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項正確，不符合題意；∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，則EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，故D選項不一定正確，符合題意．故選：D．7．（2020?湘西州）如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊三角形ADE，連接BE，CE．（1）求證：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ADE為等邊三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．8．（2022?雅安）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：連接AC，交BD于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，又∵DF＝BE，∴OE＝OF，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形，∵AB＝3，∴AC＝BD＝6，∵BE＝DF＝2，∴四邊形AECF的面積＝AC?EF＝×6×2＝6．9．（2021?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點，且AE⊥BF于點P，G為AD的中點，連接GP，過點P作PH⊥GP交AB于點H，連接GH．（1）求證：BE＝CF；（2）若AB＝6，BE＝BC，求GH的長