中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題12 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及與a、b、c的關(guān)系（解析版）

專題12二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及與a、b、c的關(guān)系中考命題解讀中考命題解讀二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容，選擇題形式一般考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答題形式一般與三角形、四邊形等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，難度較大，通常是壓軸題，要么以函數(shù)為背景引出動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，要么以動(dòng)態(tài)圖形為背景，滲透二次函數(shù)問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合思想的典例。考標(biāo)要求考標(biāo)要求1．通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義．2．會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)．3．會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的解析式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，知道圖象的開(kāi)口方向，會(huì)畫出圖象的對(duì)稱軸，知道二次函數(shù)的增減性，并掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，考點(diǎn)2：a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開(kāi)口向上a＜0開(kāi)口向下bab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)考點(diǎn)3：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）的解就是二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（3）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；（4）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒(méi)有實(shí)根.母題精講母題精講【典例1】（2022秋?西城區(qū)）已知二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線；x……y……（3）結(jié)合圖象回答：當(dāng)﹣2＜x＜2時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是．【解答】解：（1）令y＝0，則0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…圖象如圖所示：；（3）當(dāng)﹣2＜x≤1時(shí)，﹣4≤y＜5；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，﹣4＜y＜﹣3，綜上所述，﹣4≤y＜5．【典例2】畫出二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：x……y……（1）對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減?。?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的值小于0．（填x的取值范圍）．【解答】解：填表如下：x…﹣10123…y…03430…作圖如右：，由圖象可知：（1）對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（3，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．（3）當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。?）當(dāng)x＜﹣1或x＞3時(shí)，函數(shù)y的值小于0．故答案為（1）x＝1，（1，4）；（2）（﹣1，0）和（3，0），（0，3）；（3）≤1，＞1；（4）x＜﹣1或x＞3．真題精選真題精選命題1命題1二次函數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)1．（2022?蘭州）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2【答案】B【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，故選：B．2．（2022?郴州）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+5，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開(kāi)口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，5） C．該函數(shù)有最大值，最大值是5 D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系數(shù)為1，1＞0，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，A錯(cuò)誤；函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，5），B錯(cuò)誤；函數(shù)圖象開(kāi)口向上，有最小值為5，C錯(cuò)誤；函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1，x＜1時(shí)y隨x的增大而減??；x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，D正確．故選：D．3．（2022?濰坊）拋物線y＝x2+x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為（）A． B． C．﹣4 D．4【答案】B【解答】解：∵拋物線y＝x2+x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程x2+x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1?c＝0，∴c＝．故選：B．4．（2022?賀州）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，頂點(diǎn)（1，﹣3），∴當(dāng)y＝﹣3時(shí)，x＝1，當(dāng)y＝15時(shí)，2（x﹣1）2﹣3＝15，解得x＝4或x＝﹣2，∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，y的最大值為15，∴a＝4，故選：D．5．（2022?紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5【答案】D【解答】解：∵拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故選：D．6．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣5，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最大值是．【答案】3【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝1，∴當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為y＝（4﹣1）2﹣6＝3，故答案為：3．7．已知二次函數(shù)y＝2x2+4x﹣6．（1）把函數(shù)配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用五點(diǎn)法畫函數(shù)圖象x……y……根據(jù)圖象回答：（4）當(dāng)y≥0時(shí)，則x的取值范圍為．（5）當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，則y的取值范圍為．【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8；（2）令y＝0，則0＝2x2+4x﹣6，解得：x＝1，或x＝﹣3，函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（﹣3，0）；（3）用五點(diǎn)法畫函數(shù)圖象如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣6﹣8﹣60…（4）當(dāng)y≥0時(shí)，則x的取值范圍為x≥1或x≤﹣3．（5）當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，則y的取值范圍為0＞y≥﹣8．命題2命題2二次函數(shù)圖像與系數(shù)的的結(jié)論判斷8．（2022?畢節(jié)市）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解答】解：∵圖象開(kāi)口向下，∴a＜0，∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①說(shuō)法錯(cuò)誤，∵﹣＝1，∴2a＝﹣b，∴2a+b＝0，∴②說(shuō)法錯(cuò)誤，由圖象可知點(diǎn)（﹣1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴③說(shuō)法錯(cuò)誤，∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴④說(shuō)法正確；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤說(shuō)法正確，∴正確的為④⑤，故選：B．9．（2022?錦州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）和點(diǎn)（2，0），以下結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小．其中正確的結(jié)論有