中考數學一輪復習知識梳理+考點精講專題07 分式方程及其應用（解析版）

專題07分式方程及其應用中考命題解讀中考命題解讀分式方程及其應用是中考的必考內容之一,一般著重考查解分式方程及列分式方程解應用題,并要求會用增根的意義解題,考題常以解答透折考綱題的形式出現,有時也會出現在選擇題和填空題中.考標要求考標要求1．能確定分式有意義、無意義和分式的值為零時的條件．2．能熟練應用分式的基本性質進行分式的約分和通分．3．能熟練進行分式的四則運算及其混合運算，并會解決與之相關的化簡、求值問題.考點精講考點精講考點1：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.考點3：分式方程應用列分式方程解應用題的一般步驟：（1）審：即審題：根據題意找出已知量和未知量，并找出等量關系.（2）設：即設未知數，設未知數的方法有直接設和間接設，注意單位要統(tǒng)一，選擇一個未知量用未知數表示，并用含未知數的代數式表示相關量.（3）列：即列方程，根據等量關系列出分式方程.（4）解：即解所列的分式方程，求出未知數的值.（5）驗：即驗根，要檢驗所求的未知數的值是否適合分式方程，還要檢驗此解是否符合實際意義.（6）答：即寫出答案，注意答案完整.母題精講母題精講【典例1】（2021秋?金山區(qū)期末）下列關于x的方程中，不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符題意；B、分母中不含有未知數，是整式方程，故本選項符合題意；C、分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符題意；D、分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符題意．故選：B．【典例2】（2022?內蒙古）某班學生去距學校10km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，設騎車學生的速度為xkm/h，下列方程正確的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝【答案】D【解答】解：∵騎車學生的速度為xkm/h，且汽車的速度是騎車學生速度的2倍，∴汽車的速度為2xkm/h．依題意得：﹣＝，即﹣＝．故選：D【典例3】（2022?西寧）解方程：﹣＝0．【解答】解：方程兩邊同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括號得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移項，合并同類項得：x＝7．檢驗：當x＝7時，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．【典例4】（2022?貴港）為了加強學生的體育鍛煉，某班計劃購買部分繩子和實心球．已知每條繩子的價格比每個實心球的價格少23元，且84元購買繩子的數量與360元購買實心球的數量相同．（1）繩子和實心球的單價各是多少元？（2）如果本次購買的總費用為510元，且購買繩子的數量是實心球數量的3倍，那么購買繩子和實心球的數量各是多少？【解答】解：（1）設繩子的單價為x元，則實心球的單價為（x+23）元，根據題意，得，解得x＝7，經檢驗可知x＝7是所列分式方程的解，且滿足實際意義，∴x+23＝30，答：繩子的單價為7元，實心球的單價為30元．（2）設購買實心球的數量為m個，則購買繩子的數量為3m條，根據題意，得7×3m+30m＝510，解得m＝10，∴3m＝30，答：購買繩子的數量為30條，購買實心球的數量為10個【典例5】（2022?聊城）為了解決雨季時城市內澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網進行改造．在改造一段長3600米的街道地下管網時，每天的施工效率比原計劃提高了20%，按這樣的進度可以比原計劃提前10天完成任務．（1）求實際施工時，每天改造管網的長度；（2）施工進行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進度，以確?？偣て诓怀^40天，那么以后每天改造管網至少還要增加多少米？【解答】解：（1）設原計劃每天改造管網x米，則實際施工時每天改造管網（1+20%）x米，由題意得：﹣＝10，解得：x＝60，經檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意．此時，60×（1+20%）＝72（米）．答：實際施工時，每天改造管網的長度是72米；（2）設以后每天改造管網還要增加m米，由題意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，解得：m≥36．答：以后每天改造管網至少還要增加36米．真題精選真題精選命題1命題1分式方程的解法1．（2022?營口）分式方程＝的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2【答案】C【解答】解：＝，方程兩邊都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，解得：x＝6，檢驗：當x＝6時，x（x﹣2）≠0，所以x＝6是原方程的解，即原方程的解是x＝6，故選：C．2．（2022?黑龍江）已知關于x的分式方程﹣＝1的解是正數，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【答案】C【解答】解：方程兩邊同時乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，解得x＝m﹣4．∵x為正數，∴m﹣4＞0，解得m＞4，∵x≠1，∴m﹣4≠1，即m≠5，∴m的取值范圍是m＞4且m≠5．故選：C．3．（2022?玉林）解方程：＝．【解答】解：方程兩邊同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，檢驗，當x＝﹣1時，2（x﹣1）＝﹣4≠0，所以原分式方程的解為x＝﹣1．4．（2022?梧州）解方程：1﹣＝．【解答】解：去分母得：x﹣3+2＝4，解得：x＝5，當x＝5時，x﹣3≠0，∴x＝5是分式方程的根．命題2命題2分式方程的實際應用5．（2022?阜新）我市某區(qū)為30萬人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項工作，實際每天接種人數是原計劃的1.2倍，結果提前20天完成了這項工作．設原計劃每天接種x萬人，根據題意，所列方程正確的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝1.2 C．﹣＝20 D．﹣＝1.2【答案】A【解答】解：∵實際每天接種人數是原計劃的1.2倍，且原計劃每天接種x萬人，∴實際每天接種1.2x萬人，又∵結果提前20天完成了這項工作，∴﹣＝20．故選：A．6．（2022?朝陽）八年一班學生周末乘車去紅色教育基地參觀學習，基地距學校60km，一部分學生乘慢車先行，出發(fā)30min后，另一部分學生乘快車前往，結果同時到達．已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度．設慢車每小時行駛xkm，根據題意，所列方程正確的是（）A．﹣＝ B．﹣＝ C．﹣＝30 D．﹣＝30【答案】A【解答】解：設慢車每小時行駛xkm，則快車每小時行駛1.5xkm，根據題意可得：﹣＝．故選：A．7．（2022?麗水）某校購買了一批籃球和足球．已知購買足球的數量是籃球的2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貴30元．根據題意可列方程＝﹣30，則方程中x表示（）A．足球的單價 B．籃球的單價 C．足球的數量 D．籃球的數量【答案】D【解答】解：設籃球的數量為x個，足球的數量是2x個．根據題意可得：＝﹣30，故選：D．8．（2022?鞍山）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產品數量是甲車間每天加工的產品數量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設甲車間每天加工x件產品，根據題意可列方程為﹣＝3．【解答】解：∵甲車間每天加工x件產品，乙車間每天加工的產品數量是甲車間每天加工的產品數量的1.5倍，∴乙車間每天加工1.5x件產品，又∵甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，∴﹣＝3．故答案為：﹣＝3．9．（2022?貴陽）國發(fā)（2022）2號文發(fā)布后，貴州迎來了高質量快速發(fā)展，貨運量持續(xù)增加．某物流公司有兩種貨車，已知每輛大貨車的貨運量比每輛小貨車的貨