中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題05 一次方程（組）及其應(yīng)用（解析版）

專題05一次方程（組）及其應(yīng)用中考命題解讀中考命題解讀本節(jié)主要考查基本的計(jì)算能力和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，中考以容易題為主，題型多為選擇題、填空題和解答題?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會(huì)解一元一次方程；2.了解二元一次方程組的定義，會(huì)用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；考點(diǎn)精講3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會(huì)方程思想和轉(zhuǎn)化思想.考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：等式的基本性質(zhì)1.等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等，即如果a=b，那么a±c=b±c2.等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（c≠0）,那么考點(diǎn)2：一元一次方程考點(diǎn)3：二元一次方程組1.定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組2.解法基本思想：消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程（1）代入消元法：當(dāng)方程組中一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0或者方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1或-1時(shí)，用代入消元法比較簡(jiǎn)單（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同、互為相反數(shù)或成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系時(shí)，用加減消元法比較簡(jiǎn)單考點(diǎn)4：一次方程（組）應(yīng)用(1)審清題意，搞清楚什么是條件，求什么(2)設(shè)未知數(shù)(直接設(shè)未知數(shù)，問什么就設(shè)什么；或間接設(shè)未知數(shù))(3)找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系(一般情況下設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就找?guī)讉€(gè)等量關(guān)系)(4)列出方程(組)(5)求出方程(組)的解(6)檢驗(yàn)(看是否符合題意)(7)寫出答案(包括單位名稱)母題精講母題精講【典例1】（2022?柳州）解方程組：．【解答】解：①+②得：3x＝9，∴x＝3，將x＝3代入②得：6+y＝7，∴y＝1．∴原方程組的解為：．【典例2】（2020秋?原州區(qū)期末）希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3﹣﹣4世紀(jì)）的墓碑上記載著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世常辭了．”根據(jù)以上信息，請(qǐng)你求出：（1）丟番圖的壽命；（2）兒子死時(shí)丟番圖的年齡．【解答】解：（1）設(shè)丟番圖的壽命為x歲，依題意得：x+x+x+5+x+4＝x，解得：x＝84．答：丟番圖的壽命為84歲．（2）84﹣4＝80（歲）．答：兒子死時(shí)丟番圖的年齡為80歲．【典例3】（2021?桂林）為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)綠化工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天能完成的綠化改造面積比乙隊(duì)多200平方米，甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積．（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？（2）該社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為600元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為400元，比較以下三種方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成；②乙隊(duì)單獨(dú)完成；③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成．哪一種方案的施工費(fèi)用最少？【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成x平方米的綠化改造面積，則甲工程隊(duì)每天能完成（x+200）平方米的綠化改造面積，依題意得：x+200+x＝800，解得：x＝300，∴x+200＝300+200＝500．答：甲工程隊(duì)每天能完成500平方米的綠化改造面積，乙工程隊(duì)每天能完成300平方米的綠化改造面積．（2）選擇方案①所需施工費(fèi)用為600×＝14400（元）；選擇方案②所需施工費(fèi)用為400×＝16000（元）；選擇方案③所需施工費(fèi)用為（600+400）×＝15000（元）．∵14400＜15000＜16000，∴選擇方案①的施工費(fèi)用最少．【典例4】（2012秋?北侖區(qū)期末）某種原料的價(jià)格為每噸1000元，用該原料制成產(chǎn)品后原料將損耗25%，產(chǎn)品的價(jià)格是每噸8000元，如圖，長(zhǎng)青化工廠與A、B兩地游公路、鐵路相連．這家工廠從A地購買一批原料運(yùn)回工廠，將原料制成產(chǎn)品后全部運(yùn)往B地．已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸?千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸?千米）．（1）若設(shè)購買原料x噸，則可制成產(chǎn)品噸；（2）若兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)和鐵路運(yùn)輸費(fèi)112200元，求該工廠從A地購買了多少噸原料？制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品多少噸？（3）在（2）的條件下，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？【解答】解：（1）∵用該原料制成產(chǎn)品后原料將損耗25%，∴購買原料x噸，則可制成產(chǎn)品75%x噸；故答案為：75%x；（2）由題意得出：1.5（10x+20×75%x）+1.2（120x+110×75%x）＝112200，整理得出：280.5x＝112200，解得：x＝400，則75%x＝300，答：從A地購買了400噸，制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品300噸；（3）依據(jù)題意得出：300×8000﹣400×1000﹣112200＝1887800，∴這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1887800元．【典例5】（2021?賀州）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費(fèi)方式：當(dāng)每戶每月用水量不超過12m3時(shí)，按一級(jí)單價(jià)收費(fèi)；當(dāng)每戶每月用水量超過12m3時(shí)，超過部分按二級(jí)單價(jià)收費(fèi)．已知李阿姨家五月份用水量為10m3，繳納水費(fèi)32元．七月份因孩子放假在家，用水量為14m3，繳納水費(fèi)51.4元．（1）問該市一級(jí)水費(fèi)，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)分別是多少？（2）某戶某月繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為多少？【解答】解：（1）設(shè)該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為x元，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為y元，依題意得：，解得：．答：該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為3.2元，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為6.5元．（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，∴用水量超過12m3．設(shè)用水量為am3，依題意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，解得：a＝16．答：當(dāng)繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為16m3．【典例6】（2018?長(zhǎng)沙）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場(chǎng)決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．答：打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了3120元．真題精選真題精選命題1命題1一次方程（組）的解法1．（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2【答案】A【解答】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；故選：A．2．（2022?黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①去括號(hào)，得3x+3﹣1＝2x﹣2②移項(xiàng)，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③合并同類項(xiàng)，得x＝﹣4④以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解答】解：方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），∴出錯(cuò)的步驟為：①，故選：A．3．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號(hào)正確的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括號(hào)得：﹣4x﹣2＝x，故選：D．4．（2022?株洲）對(duì)于二元一次方程組，將①式代入②式，消去y可以得到（）A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7【答案】B【答案】B【解答】解：，將①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，∴x+2x﹣2＝7，故選：B．5．（2022?隨州）已知二元一次方程組，則x﹣y的值為．【答案】1【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：x＝4﹣2y，代入第二個(gè)方程中，可得：2（4﹣2y）+y＝5，解得：y＝1，將y＝1代入第一個(gè)方程中，可得x+2×1＝4，解得：x＝2，∴x﹣y＝2﹣1＝1，故答案為：1；解法二：∵，由②﹣①可得：x﹣y＝1，故答案為：1．6．（2022?桂林）解二元一次方程組：．【解答】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，∴原方程組的解為：．命題1命題1一次方程（組）的應(yīng)用7．（2022?營口）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12 C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12【答案】D【解答】解：依題意得：240x﹣150x＝150×12．故選：D．8．（2022?銅仁市）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解答】解：設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意得5x﹣（20﹣x）＝70，解得x＝15，故選：B．9．（2022?十堰）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（）A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30 C．+＝5 D．+＝5【答案】A【解答】解：設(shè)清酒x斗，則醑酒（5﹣x）斗，由題意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故選：A．10．（2022?貴陽）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程x+4y＝23，則表示的方程是．【答案】x+2y＝32【解答】解：根據(jù)題知：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，一個(gè)豎線表示一個(gè)，一條橫線表示一十，所以該圖表示的方程是：x+2y＝32．11．（2022?張家界）中國“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷化的運(yùn)行時(shí)間由原來的3.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了40千米．已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時(shí)快200千米，求高鐵的平均速度．【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為xkm/h，則普通列車的平均速度為（x﹣200）km/h，由題意得：x+40＝3.5（x﹣200），解得：x＝296，答：高鐵的平均速度為296km/h．12．（2022?重慶）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，求甲騎行的速度．【解答】解：（1）設(shè)乙騎行的速度為x千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2x千米/時(shí)，依題意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲騎行的速度為24千米/時(shí)．（2）設(shè)乙騎行的速度為y千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2y千米/時(shí)，依題意得：﹣＝，解得：y＝15，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝15是原方程的解，且符合題意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲騎行的速度為18千米/時(shí)．13．（2022?泰安）泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費(fèi)6000元；第二次購進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購進(jìn)了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元．求第一次購進(jìn)的A、B兩種茶每盒的價(jià)格．【解答】解：設(shè)第一次購進(jìn)A種茶的價(jià)格為x元/盒，B種茶的價(jià)格為y元/盒，依題意得：，解得：．答：第一次購進(jìn)A種茶的價(jià)格為100元/盒，B種茶的價(jià)格為150元/盒．14．（2022?安徽）某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元，2021年進(jìn)出口總額比2020年有所增加，其中進(jìn)口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進(jìn)出口總額＝進(jìn)口額+出口額．（1）設(shè)2020年進(jìn)口額為x億元，出口額為y億元，