四川省綿陽市綿陽中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2023級(jí)數(shù)學(xué)期末摸考（一）第I卷（選擇題共58分）一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，就這個(gè)問題來說，下列說法中正確的是（）A.100名學(xué)生是個(gè)體B.樣本容量是100C.每名學(xué)生的成績是所抽取的一個(gè)樣本D.1000名學(xué)生是樣本【答案】B【解析】【分析】根據(jù)有關(guān)的概念可得總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念考查的對(duì)象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，再結(jié)合題中選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念考查的對(duì)象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，根據(jù)選項(xiàng)可得選項(xiàng)A、D表達(dá)的對(duì)象都是學(xué)生，而不是成績，所以A、D都錯(cuò)誤．C每名學(xué)生的成績是所抽取的一個(gè)樣本也是錯(cuò)的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績是一個(gè)個(gè)體．B：樣本的容量是100正確．故選:B．2.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則直線必過定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題設(shè)得，進(jìn)而得直線方程為，再根據(jù)直線過定點(diǎn)求法計(jì)算即可得解.【詳解】由題意可知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且即，所以直線即，即，令，所以直線必過定點(diǎn).故選：A.3.如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的長軸長等于2B.橢圓的離心率為C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，依題意可得、，從而求出，再一一判斷即可.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面所成銳二面角得，解得，故A不正確；顯然，則，離心率，故B不正確；當(dāng)以橢圓長軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D不正確.故選：C4.集合，集合，從中各任意取一個(gè)數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直線平行的充要條件求出滿足題設(shè)的a值，再由古典概型計(jì)算所求概率即可得解.【詳解】若直線與直線平行，則，取，則取出的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)，其中滿足的有序數(shù)對(duì)有，，，共4個(gè)，所以所求概率為.故選：B5.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行把線到面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式可得結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，，∴，即，∵平面，平面，∴平面.∴直線到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∴，∴點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，再根據(jù)拋物線的定義知，從而求出的最小值即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，故，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，不妨設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：A.7.，函數(shù)的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)距離公式，利用的幾何意義求最小值.【詳解】表示的幾何意義為平面內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，表示的幾何意義為平面內(nèi)的點(diǎn)到定直線的距離，所以表示的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離和，如圖，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，最小，最小值為.故選：C8.如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可求得，，結(jié)合，可得，計(jì)算可得，從而可求出，由直線的斜率為，可求出答案.【詳解】如下圖，連接，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，，在△中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓定義的應(yīng)用、圓的性質(zhì)及直線的斜率，解題關(guān)鍵是利用橢圓的定義，得出之間的關(guān)系，進(jìn)而由，并利用勾股定理，可求出，進(jìn)而可求出直線的斜率.考查學(xué)生的邏輯推理能力，計(jì)算求解能力，屬于中檔題.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1B.若，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為3C.若，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的最小值為D.若，則這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的最小值為2【答案】ABC【解析】【分析】A由眾數(shù)定義可得答案；；B由百分位數(shù)計(jì)算方式可得答案；CD由基本不等式可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)中1出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為1，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，1，1，2，3，3，4，4，又，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)據(jù)，即3，故B正確；對(duì)于CD，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則平均數(shù)最小值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.以下說法正確的有（）A.若且，則一定有四點(diǎn)共面B.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底C.若，則D.正方體，棱長為1，如圖所示建立坐標(biāo)系，則點(diǎn)在平面上【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的共面定理即可判斷AB；利用向量線性運(yùn)算的幾何表示與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得C；由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，利用空間向量共面定理可證D.【詳解】A項(xiàng)，若與不共線，則可以將與看作一組基底，由且，由共面向量基本定理可知與共面，即四點(diǎn)共面；若與共線，則存在，使，則，即三點(diǎn)共線，故也共面，故A正確；B項(xiàng)，由，即與共面，不能作為空間基底，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)?，則，故C正確；D項(xiàng)，由圖可知，，設(shè)，，，，顯然，，故與共面，即E在平面上，故D正確；故選：ACD.11.已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，則下列說法中正確的是（）A.的方程為B.已知點(diǎn)，則的最小值為C.D.若，則與的面積相等【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，設(shè)，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可判斷；對(duì)于C，設(shè)，分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷；對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可得，結(jié)合以及韋達(dá)定理即可得出兩個(gè)三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A錯(cuò)誤；過點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故正確；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于拋物線與直線相交問題，通常設(shè)直線方程為的形式，然后與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解相關(guān)量.利用拋物線的定義可以將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，便于解決距離最值等問題.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)袋子中有紅?黃?藍(lán)?綠四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件M，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別代表紅?黃?藍(lán)?綠四個(gè)小球，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估計(jì)事件M發(fā)生的概率為___________.【答案】【解析】【分析】求出事件M發(fā)生的情況即可求出概率.【詳解】事件A包含紅色小球和黃色小球，即包含數(shù)字0和1，隨機(jī)產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6組，故所求概率為.故答案為：.13.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】利用橢圓定義得，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求最值可得.【詳解】由橢圓得.由點(diǎn)在橢圓上，故，故，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.14.已知雙曲線上有不共線的三點(diǎn)，且的中點(diǎn)分別為?，若的斜率之和為，則___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法可得，同理有，結(jié)合條件即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，，，兩式相減，得，即，即，同理可求得，而的斜率之和為，所以故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題運(yùn)用點(diǎn)差法，這是解決圓錐曲線中弦中點(diǎn)與直線斜率關(guān)系問題的常用方法.通過設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)所確定直線斜率的關(guān)系.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記其軌跡為，與軸交于點(diǎn)，過（異于點(diǎn)）作直線的垂線．（1）求曲線的方程；（2）記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．【答案】（1）且；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）利用向量加法、模長的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求曲線方程；（2）根據(jù)題設(shè)，且，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求、，并求出的坐標(biāo)，得到關(guān)于的表達(dá)式，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，則，所以所求曲線方程為且.【小問2詳解】由題設(shè)及圓性質(zhì)，顯然直線斜率必存在，如下圖，不妨設(shè)，且，則到的距離為，到的距離為，令且，則，故，所以，則，綜上，，為定值.16.黃石二中舉行數(shù)學(xué)競賽校內(nèi)選拔賽（滿分100分），為了了解本次競賽成績的情況，隨機(jī)抽取了100名參賽學(xué)生的成績，并分成了五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.（1）求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計(jì)此次競賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有參賽學(xué)生成績的方差；（3）甲、乙、丙3名同學(xué)同時(shí)做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設(shè)他們?nèi)耸欠窠獬鲈擃}互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.【答案】（1），（2）第二組、第四組的方差是（3）【解析】【分析】（1）聯(lián)立求出再用平均數(shù)公式計(jì)算；（2）運(yùn)用分層抽樣平均數(shù)和方差公式計(jì)算即可；（3）設(shè)出事件，求出對(duì)應(yīng)概率，再結(jié)合相互獨(dú)立事件乘法公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可知：，解得可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)等于，【小問2詳解】設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)成績在第二組、第四組的方差，故估計(jì)成績在第二組、第四組的方差是.【小問3詳解】設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，由題意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題概率為.17.如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形．（1）求證：平面平面；（2）若，，，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，平面，從而得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面和平面夾角的余弦值；【小問1詳解】∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，∴．∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．18.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形周長為12.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出的方程解出即可.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得；當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)其方程為，