2022屆《創(chuàng)新設計》數(shù)學一輪(理科)人教A版課時作業(yè)-9-1直線的方程

第1講直線的方程基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故選D.答案D2．(2021·太原質(zhì)檢)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為 ()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3) C．－eq\f(3,2) D.eq\f(2,3)解析依題意，設點P(a，1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).答案B3．兩條直線l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同始終角坐標系中的圖象可以是()答案A4．(2022·鄭州模擬)直線l經(jīng)過點A(1，2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))C．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析設直線的斜率為k，如圖，過定點A的直線經(jīng)過點B時，直線l在x軸上的截距為3，此時k＝－1；過定點A的直線經(jīng)過點C時，直線l在x軸上的截距為－3，此時k＝eq\f(1,2)，滿足條件的直線l的斜率范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案D5．設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a，b滿足()A．a(chǎn)＋b＝1 B．a(chǎn)－b＝1C．a(chǎn)＋b＝0 D．a(chǎn)－b＝0解析由sinα＋cosα＝0，得eq\f(sinα,cosα)＝－1，即tanα＝－1.又由于tanα＝－eq\f(a,b)，所以－eq\f(a,b)＝－1.即a＝b，故應選D.答案D二、填空題6．若點A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點共線，則a的值為________．解析∵kAC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三點共線，所以a－3＝1，即a＝4.答案47．(2021·煙臺模擬)直線3x－4y＋k＝0在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數(shù)k＝________．解析令x＝0，得y＝eq\f(k,4)；令y＝0，得x＝－eq\f(k,3)，則有eq\f(k,4)－eq\f(k,3)＝2，所以k＝－24.答案－248．一條直線經(jīng)過點A(－2，2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________．解析設所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵A(－2，2)在此直線上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1. ①又因直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1. ②由①②可得(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))由(1)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))方程組(2)無解．故所求的直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0三、解答題9．已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(－3，4)；(2)斜率為eq\f(1,6).解(1)設直線l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－eq\f(4,k)－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)－3))＝±6，解得k1＝－eq\f(2,3)或k2＝－eq\f(8,3).故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)設直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝eq\f(1,6)x＋b，它在x軸上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.10．設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過其次象限，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為0，明顯相等．∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當直線不過原點時，由截距存在且均不為0，得eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）＞0，,a－2≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）＝0，,a－2≤0，))∴a≤－1.綜上可知a的取值范圍是(－∞，－1]．力氣提升題組(建議用時：25分鐘)11．(2021·長春三校調(diào)研)一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是 ()A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0解析由于y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)經(jīng)過第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)＞0，eq\f(1,n)＜0，即m＞0，n＜0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn＜0.答案B12．已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．解析直線方程可化為eq\f(x,2)＋y＝1，故直線與x軸的交點為A(2，0)，與y軸的交點為B(0，1)，由動點P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，由于0≤b≤1，故當b＝eq\f(1,2)時，ab取得最大值eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)13.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時，則直線AB的方程為________．解析由題意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線lOA和直線lOB的方程分別為y＝x，y＝－eq\f(\r(3),3)x，設A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由點C在y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三點共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.答案(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝014．直線l過點P(1，4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A，B兩點．(1)當|PA|·|PB|最小時，求l的方程；(2)當|OA|＋|OB|最小時，求l的方程．解依題意，l的斜率存在，且斜率為負．設l：y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0，4－k)．(1)|PA|·|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))\s\up12(2)＋16)·eq\r(1＋k2)＝－eq\f(4,k)(1＋k2)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋k))≥8(留意k<0)．∴當且僅當