【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-向量的有關(guān)概念及運(yùn)算

1．(2022·山東高考)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b的夾角為eq\f(π,6)，則實(shí)數(shù)m＝()A．2eq\r(3)B.eq\r(3)C．0D．－eq\r(3)【解析】∵cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，|a|＝2，|b|＝eq\r(m2＋9)∴eq\f(3＋\r(3)m,2·\r(m2＋9))＝eq\f(\r(3),2).解得m＝eq\r(3)，故選B.【答案】B2．(2022·全國新課標(biāo)Ⅰ高考)eq\f(1＋i3,1－i2)＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i【解析】eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i21＋i,1－i2)＝－1－i，故選D.【答案】D3．(2022·安徽高考)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是()A．34B．55C．78D．89【解析】由題中程序框圖知：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，y＝55，跳出循環(huán)．故輸出結(jié)果是55.【答案】B4．(2022·陜西高考)觀看分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．【解析】∵5＋6－9＝2；6＋6－10＝2；6＋8－12＝2，歸納：F＋V－E＝2.【答案】F＋V－E＝25．(2022·山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根【解析】“至少一個(gè)實(shí)根”的對立大事為“一個(gè)實(shí)根也沒有”，故選A.【答案】A從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋?．向量的有關(guān)概念及運(yùn)算①該考向在近幾年的高考中年年都會消滅．該類問題多數(shù)是單獨(dú)命題，考查向量的有關(guān)概念及基本運(yùn)算；有時(shí)作為一種數(shù)學(xué)工具，在解答題中與其他學(xué)問交匯在一起考查．②多以選擇、填空題的形式消滅，有時(shí)會滲透在解答題中，一般難度不大，消滅的頻率較高．2．復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算①復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，每套高考試卷都有一個(gè)小題，并且一般在前兩題的位置上，主要考查對復(fù)數(shù)概念的理解以及復(fù)數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算．②猜測2021年高考以復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算力量及轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程思想．3．程序框圖①循環(huán)結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)是高考考查的熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主，屬簡潔題．高考試題分兩種形式考查：一種是給出框圖與初始數(shù)據(jù)，求輸出結(jié)果，本類題目相對簡潔；一種是給出框圖與輸出結(jié)果，推理輸入的數(shù)據(jù)，本類題目難度相對較高．②猜測2021年高考對本章內(nèi)容的考查形式和難度都不會發(fā)生大的變化．4．合情推理①近幾年高考題主要以考查歸納推理為主，考查同學(xué)的觀看、歸納和類比力量．②題型主要以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題．

eq\a\vs4\al(向量的有關(guān)概念及運(yùn)算)【例1】(1)(2022·全國新課標(biāo)Ⅰ高考)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為________．(2)(2022·重慶高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝()A．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)(3)(2022·天津高考)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC，若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)【解析】(1)由已知條件，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))得O為線段BC的中點(diǎn)，故BC是⊙O的直徑．∴∠BAC＝90°，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為90°.(2)由于2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，選C.(3)如圖，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，同理：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→)))(eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→)))＝1，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos120°＝－2，整理得4(λ＋μ)－2λμ＝3①，又eq\o(CE,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(DC,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(λ－1)eq\o(AD,\s\up6(→))·(μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，整理得(λ＋μ)－λμ＝eq\f(2,3)②解①②得λ＋μ＝eq\f(5,6)，故選C.【答案】(1)90°(2)C(3)C【規(guī)律方法】1.平面對量的線性運(yùn)算應(yīng)留意三點(diǎn)：(1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件．(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A、B、C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.2．求平面對量的數(shù)量積的方法(1)定義法：a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ為向量a，b的夾角；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)時(shí)，a·b＝x1x2＋y1y2.[創(chuàng)新猜測]1．(1)(2022·全國大綱高考)已知a、b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2【解析】(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|cos60°－|b|2＝2×1×1×eq\f(1,2)－12＝0.【答案】B(2)(2022·武漢調(diào)研)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(EO,\s\up6(→))D.eq\o(FO,\s\up6(→))【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)P，F(xiàn)G所在直線為x軸，y軸建系，假設(shè)一個(gè)方格長為單位長度，則F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(3,2)，而eq\o(FO,\s\up6(→))＝(3,2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)).【答案】Deq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算)【例2】(1)(2021·安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3B．－1C．1D．3(2)(2022·重慶高考)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1－2i)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(3)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i【解析】(1)先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)化為x＋yi(x，y∈R)的形式，再由純虛數(shù)的定義求a.由于a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i，由純虛數(shù)的定義，知a－3＝0，所以a＝3.(2)i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，對應(yīng)點(diǎn)(2,1)．(3)∵a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，∴a＝2，b＝1.∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i，故選D.【答案】(1)D(2)A(3)D【規(guī)律方法】復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算問題的解題思路：(1)與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問題，一般是先變形，把復(fù)數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式，然后再依據(jù)條件，列方程(組)求解．(2)與復(fù)數(shù)z的模|z|和共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)有關(guān)的問題，一般都要先設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決．(3)在有關(guān)復(fù)數(shù)z的等式中，可設(shè)出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系數(shù)法求解，也可把z看成自變量直接求解．[創(chuàng)新猜測]2．(1)(2022·廣東高考)已知復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝25，則z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i【解析】z＝eq\f(25,3－4i)＝eq\f(25×3＋4i,25)＝3＋4