二項(xiàng)分布的期望和方差

二項(xiàng)分布的期望和方差二項(xiàng)分布是一種重要的離散概率分布，它描述的是$n$個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn)中，成功事件發(fā)生$k$次的概率分布。在實(shí)際應(yīng)用中，二項(xiàng)分布經(jīng)常用于描述一些概率事件的發(fā)生情況，如擲硬幣的正反面、挑選配對(duì)項(xiàng)的成功率等等。在這篇文章中，我們將主要討論二項(xiàng)分布的期望和方差。一、二項(xiàng)分布的期望我們知道，二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：$$P(X=k)={n\\choosek}p^k(1-p)^{n-k}$$其中，$k$表示成功事件發(fā)生的次數(shù)，$p$表示單次試驗(yàn)中成功的概率，$(1-p)$表示單次試驗(yàn)中失敗的概率，$n$表示總的試驗(yàn)次數(shù)。二項(xiàng)分布的期望是指在進(jìn)行$n$次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中，成功事件發(fā)生的次數(shù)$k$的平均值，即：$$E(X)=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdotP(X=k)$$通過(guò)二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)，可得：$$E(X)=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot{n\\choosek}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot\\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\\sum_{k=0}^{n}\\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=np\\sum_{k=1}^{n}\\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$$我們可以發(fā)現(xiàn)，上述式子中的求和式與二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)非常相似，只是指數(shù)$k$的范圍有所變化。因此，我們可以將上述式子看成是在二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)中去掉$k=0$的項(xiàng)后，對(duì)余下的$k$項(xiàng)分別乘以$k$，最后相加起來(lái)，即：$$E(X)=np\\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\\choosek}p^k(1-p)^{n-1-k}$$$$=np\\cdot1$$由此可見(jiàn)，二項(xiàng)分布的期望為$np$，這意味著在進(jìn)行$n$次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中，成功事件發(fā)生的次數(shù)$k$的平均值為$n$乘以單次成功的概率$p$。二、二項(xiàng)分布的方差二項(xiàng)分布的方差是指在進(jìn)行$n$次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中，成功事件發(fā)生的次數(shù)$k$的平方與$k$的平均值的平方之差的平均值，即：$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$為了計(jì)算二項(xiàng)分布的方差，我們首先要求出二項(xiàng)分布的二階矩：$$E(X^2)=\\sum_{k=0}^{n}k^2\\cdotP(X=k)$$$$=\\sum_{k=0}^{n}k^2\\cdot{n\\choosek}p^k(1-p)^{n-k}$$該式比計(jì)算期望的公式稍微復(fù)雜一些。為了簡(jiǎn)化求和式，我們可以利用以下恒等式：$$k^2\\cdot{n\\choosek}=k\\cdot(k-1)\\cdot{n\\choosek}+k\\cdot{n\\choosek}$$根據(jù)上式，對(duì)于任意一個(gè)二項(xiàng)分布，$k^2$項(xiàng)可以分解為兩項(xiàng)，分別是$k\\cdot(k-1)$和$k$。我們將二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)除以$p$，得到：$${n\\choosek}\\cdotp^{k-1}\\cdot(1-p)^{n-k}=\\frac{1}{p}\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k}=k\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k-1}+\\frac{n-k}{p}\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k}$$將上式的$k$項(xiàng)和$(n-k)$項(xiàng)分別乘以$k$和$(n-k)$，得：$$k^2\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}(1-p)^{n-k-1}=k\\cdot(n-k)\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}(1-p)^{n-k}+k\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k-1}$$帶入$E(X^2)$的計(jì)算式中，我們可以得到：$$E(X^2)=np+np(n-1)p^2$$$$=np(1-p)+np^2$$因此，二項(xiàng)分布的方差為：$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$$$=np(1-p)+np^2-[np]^2$$$$=np(1-p)$$通過(guò)以上計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)分布的方差與期望的乘積為$np(1-p)$，這個(gè)可以通過(guò)二項(xiàng)分布式子的代數(shù)推導(dǎo)得到。這個(gè)公式的意義是什么呢？它說(shuō)明了二項(xiàng)分布中成功事件發(fā)生的次數(shù)$k$的方差隨著單次成功概率$p$的變化而變化。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)單次成功概率$p$越大時(shí)，$k$的方差會(huì)變??；而當(dāng)$p$越小時(shí)，$k$的方差會(huì)變大?？偨Y(jié)通過(guò)本篇文章，我們了解了二項(xiàng)分布