余子式和代數(shù)余子式

余子式和代數(shù)余子式余子式和代數(shù)余子式是矩陣行列式的重要組成部分。在掌握行列式的基礎(chǔ)上，深入了解余子式和代數(shù)余子式的概念和計(jì)算方法，有助于更加深入地理解行列式的性質(zhì)和計(jì)算技巧。一、余子式1.定義在矩陣A中，第i行第j列的余子式M(i,j)定義為去掉第i行和第j列后所形成的(n-1)階子式的行列式的值。即：把A中第i行和第j列刪去后，所得的(n-1)階子式的行列式的值。記作M(i,j)=(-1)^(i+j)*D(i,j)，其中D(i,j)表示把A中第i行和第j列刪去后所得的(n-1)階子式的行列式的值。如矩陣123456789它的余子式M(1,1)即為4689組成的3階子式的行列式的值，也可表示為M(1,1)=(-1)^(1+1)*D(1,1)。類似地，該矩陣的余子式M(2,3)即為1278組成的3階子式的行列式的值，也可表示為M(2,3)=(-1)^(2+3)*D(2,3)。2.性質(zhì)（1）第i行（列）對(duì)應(yīng)的k個(gè)余子式的代數(shù)和等于0。即：M(i,1)+M(i,2)+...+M(i,k)+...+M(i,n)=0，或者M(jìn)(1,i)+M(2,i)+...+M(k,i)+...+M(n,i)=0。這是余子式的一個(gè)重要性質(zhì)，稱為拉普拉斯（Laplace）定理。它可以用來簡(jiǎn)化計(jì)算矩陣行列式的過程。（2）A的伴隨矩陣(adjA)是A的余子式矩陣的轉(zhuǎn)置。伴隨矩陣是矩陣A的一個(gè)重要概念，定義為：A*=(Aij)^T，其中Aij=(-1)^(i+j)M(j,i)，其中M(j,i)表示A中刪去第j行和第i列所得的(n-1)階子式的行列式的值。由此可以得出，余子式M(i,j)對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式C(i,j)即為A*的第i行第j列的元素。如對(duì)于矩陣123456789其伴隨矩陣A*為：-36-36-126-36-3則C(1,1)=-3，C(2,3)=6，C(3,2)=6等式成立。二、代數(shù)余子式1.定義在矩陣A中，第i行第j列的代數(shù)余子式C(i,j)定義為：C(i,j)=(-1)^(i+j)M(i,j)。即為余子式M(i,j)乘以(-1)^(i+j)。如對(duì)于矩陣123456789其代數(shù)余子式C(1,1)等于4689組成的3階子式的行列式的值乘以(-1)^(1+1)，即C(1,1)=4*(-1)^(1+1)=4。類似地，該矩陣的代數(shù)余子式C(2,3)等于1278組成的3階子式的行列式的值乘以(-1)^(2+3)，即C(2,3)=1*(-1)^(2+3)=-1。2.應(yīng)用代數(shù)余子式是求解線性方程組的工具之一。具體地，假設(shè)有n元線性方程組：a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn對(duì)于該方程組的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B，可以利用Cramer公式求解，x1=C(1)/D,x2=C(2)/D,...,xn=C(n)/D其中D表示A的行列式，C(i)表示將A的第i列替換為B后得到的矩陣A(i)的行列式，也稱為A的第i個(gè)系數(shù)的伴隨（adjugate）。例如，對(duì)于3元線性方程組：2x1-x2+3x3=53x1+2x2-2x3=7-x1+4x2+x3=3其系數(shù)矩陣A為：2-1332-2-141增廣矩陣B為：573則根據(jù)Cramer公式，可以得到：x1=(|-135|/|-2-13|)=-11/7x2=(|335|/|-2-13|)=8/7x3=(|-137|/|-2-13|)