【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：10-10

第十章10.10第十課時一、選擇題1．關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述：(1)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，這個曲線在x軸上方；(2)曲線關(guān)于直線x＝σ對稱，這個曲線只有當x∈(－3σ，3σ)時才在x軸上方；(3)曲線關(guān)于y軸對稱，由于曲線對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)；(4)曲線在x＝μ時處于最高點，由這一點向左右兩邊延長時，曲線漸漸降低；(5)曲線的對稱軸由μ確定，曲線的外形由σ確定；(6)σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．上述說法正確的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6)D．只有(1)(5)(6)答案A2．下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\f((x－μ)2,2σ2)，μ、σ(σ＞0)都是實數(shù)B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)e－eq\f(x2,2)C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(x－σ,4)D．f(x)＝－eq\f(1,\r(2π))eeq\f(x2,2)答案B解析A中的函數(shù)值不是隨著|x|的增大而無限接近于零．而C中的函數(shù)無對稱軸，D中的函數(shù)圖象在x軸下方，所以選B.3．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案A解析利用正態(tài)分布圖象的對稱性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585答案B解析P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(2≤X≤4)]＝eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.5．抽樣調(diào)查表明，某校高三同學(xué)成果(總分750分)ξ近似聽從正態(tài)分布，平均成果為500分，已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，則P(550＜ξ＜600)等于()A．0.3B．0.6C．0.7D．0.4答案A6．設(shè)隨機變量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，則P的值為()A．0B．1C.eq\f(1,2)D．不確定與σ無關(guān)答案C解析∵P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，∴C＝μ，且P＝eq\f(1,2).二、填空題7．已知隨機變量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，則P(a≤x＜4－a)＝________.答案0.36解析由正態(tài)分布圖象的對稱性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.8.隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，則P(ξ<2)＝________.答案0.7解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.9．若隨機變量ξ～N(0,1)，且ξ在區(qū)間(－3，－1)和(1,3)內(nèi)取值的概率分別為P1，P2，則P1，P2的大小關(guān)系為________．答案P1＝P2解析如圖所示，由正態(tài)分布圖象的對稱性可得，兩陰影部分面積相等，即在區(qū)間(－3，－1)和(1,3)內(nèi)取值的概率P1＝P2.10．某省試驗中學(xué)高三共有同學(xué)600人，一次數(shù)學(xué)考試的成果(試卷滿分150分)聽從正態(tài)分布N(100，σ2)，統(tǒng)計結(jié)果顯示同學(xué)考試成果在80分到100分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,3)，則此次考試成果不低于120分的同學(xué)約有________人．答案100解析∵數(shù)學(xué)考試成果ξ－N(100，σ2)，作出正態(tài)分布圖象，可以看出，圖象關(guān)于直線x＝100對稱．明顯P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝eq\f(1,3)；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)，又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝eq\f(1,3)，∴P(ξ≥120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴成果不低于120分的同學(xué)約為600×eq\f(1,6)＝100(人)．11．若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則η＝eq\f(ξ－3,2)聽從參數(shù)為________的正態(tài)分布．答案(eq\f(μ－3,2)，eq\f(σ,2))解析∵ξ～N(μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2.而η＝eq\f(ξ－3,2)也聽從正態(tài)分布，即Eη＝E(eq\f(ξ－3,2))＝eq\f(1,2)Eξ－eq\f(3,2)＝eq\f(μ－3,2)Dη＝D(eq\f(ξ－3,2))＝eq\f(1,4)Dξ＝eq\f(σ2,4)∴eq\r(Dη)＝eq\f(σ,2)聽從(eq\f(μ－3,2)，eq\f(σ,2))的正態(tài)分布．三、解答題12．設(shè)X～N(1,22)，試求(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X≥5)．解析∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，∴P(3＜X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)[1－0.954]＝0.023.13．如下圖所示，是一個正態(tài)曲線，試依據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布密度曲線的解析式，并求出正態(tài)總體隨機變量的均值和方差．解析從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值為eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是正態(tài)分布密度曲線的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f((x－20)2,4)，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分別是20和2.14．燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命X(單位：h)，已知X～N(1000,302)，要使燈泡的平均壽命為1000h的概率為99.7%，問燈泡的平均壽命應(yīng)把握在多少小時以上？解析由于燈泡壽命X～N(1000,302)故X在(1000－3×30,1000＋3×30)的概率為99.7%，即在(910,1090)內(nèi)取值的概率為99.7%，故燈泡最低使用壽命應(yīng)把握在910h以上．15．某市有210名同學(xué)參與一次數(shù)學(xué)競賽，隨機調(diào)閱了60名同學(xué)的答卷，成果列表如下：成果(分)12345678910人數(shù)0006152112330(1)求樣本的數(shù)學(xué)平均成果及標準差；(2)若總體聽從正態(tài)分布，求此正態(tài)曲線近似的密度函數(shù)．解析(1)平均成果eq\x\to(x)＝eq\f(1,60)(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，S2＝eq\f(1,60)[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S＝1.22.即樣本平均成果為6分，標準差為1.22.(2)以eq\x\to(x)＝6，S＝1.22作為總體同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成果和標準差估量值，即μ＝6，σ＝1.22.正態(tài)曲線密度函數(shù)近似地滿足y＝eq\f(1,1.22\r(2π))e－eq\f((x－6)2,2×1.5).拓展練習(xí)·自助餐1．若隨機變量ξ的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，ξ在(－2，－1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為P1，P2，則P1，P2的關(guān)系為()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不確定答案C解析由題意知，μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于x＝0對稱，依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可知P1＝P2.2．正態(tài)總體N(0，eq\f(4,9))，數(shù)值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率為()A．0.46B．0.9974C．0.03D．0.0026答案D解析P(－2<ξ≤2)＝P(0－3×eq\f(2,3)<ξ≤0＋3×eq\f(2,3))＝P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴數(shù)值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率為：1－0.9974＝0.0026.3．已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)e－eq\f((x－μi)2,2σ\o\al(2,i))(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3答案D解析正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的對稱軸的橫坐標值比φ1(x)的對稱軸