【創(chuàng)新設(shè)計】2021高考數(shù)學(xué)(四川專用-理科)二輪專題整合：1-3-2數(shù)列的綜合問題

第2講數(shù)列的綜合問題一、選擇題1．(2022·杭州質(zhì)量檢測)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＜0，a5＞|a4|，則使Sn＞0成立的最小正整數(shù)n為 ()．A．6 B．7C．8 D．9解析∵a4＜0，a5＞|a4|，∴a4＋a5＞0，∴S8＝eq\f(8a4＋a5,2)＝eq\f(8a1＋a8,2)＞0.∴最小正整數(shù)為8.答案C2．(2022·廣州綜合測試)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sineq\f(n＋1π,2)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2022＝ ()．A．1006 B．1007C．1008 D．1009解析由an＋1－an＝sineq\f(n＋1π,2)?an＋1＝an＋sineq\f(n＋1π,2)，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sineq\f(3π,2)＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sineq\f(5π,2)＝0＋1＝1，∴a5＝a1，如此連續(xù)可得an＋4＝an(n∈N*)，數(shù)列{an}是一個以4為周期的周期數(shù)列，而2014＝4×503＋2，因此S2014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.答案C3．(2022·吉林省試驗中學(xué)模擬)已知an＝n2＋n，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前項和為Sn，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n－8，則bnSn的最小值為 ()．A．－3 B．－4C．3 D．4解析由于an＝n2＋n＝n(n＋1)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以Sn＝eq\f(n,n＋1)，所以bnSn＝eq\f(nn－8,n＋1)＝n＋1＋eq\f(9,n＋1)－10≥－4，當(dāng)且僅當(dāng)n＋1＝eq\f(9,n＋1)，即n＝2時等號成立，所以bnSn的最小值為－4.答案B4．已知各項都為正的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項am，an使得eq\r(am·an)＝4a1，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為 ()．A.eq\f(3,2) B．eq\f(5,3)C.eq\f(25,6) D．eq\f(4,3)解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(與條件中等比數(shù)列的各項都為正沖突，舍去)，又由eq\r(am·an)＝4a1，得aman＝16aeq\o\al(2,1)，即aeq\o\al(2,1)2m＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m,n)＋\f(n,m)＋5))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(4m,n)·\f(n,m))＋5))＝eq\f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4m,n)＝eq\f(n,m)，m＋n＝6，即n＝2m＝4時取得最小值eq\f(3,2).答案A二、填空題5．(2021·遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________.解析∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，則公比q＝2，因此S6＝eq\f(1×1－26,1－2)＝63.答案636．(2022·江蘇五市聯(lián)考)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1.當(dāng)a3取最小值時，數(shù)列{an}的通項公式an＝________.解析依據(jù)題意，由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1，所以q＞1.∵eq\f(a2,a1)＝q，∴a1(q－1)＝1，a1＝eq\f(1,q－1)，∴a3＝eq\f(q2,q－1)＝eq\f(q－12＋2q－1＋1,q－1)＝q－1＋eq\f(1,q－1)＋2≥2eq\r(q－1·\f(1,q－1))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)q＝2時取得等號，故可知數(shù)列{an}的通項公式an＝2n－1.答案2n－17．(2022·咸陽一模)已知函數(shù)f(x)＝x＋sinx，項數(shù)為19的等差數(shù)列{an}滿足an∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，則當(dāng)k＝________時，f(ak)＝0.解析由于函數(shù)f(x)＝x＋sinx是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱，圖象過原點．而等差數(shù)列{an}有19項，an∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，則必有f(a10)＝0，所以k＝10.答案108．(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．解析由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝0，,S15＝15a1＋\f(15×14,2)d＝25，))解得a1＝－3，d＝eq\f(2,3)，那么nSn＝n2a1＋eq\f(n2n－1,2)d＝eq\f(n3,3)－eq\f(10n2,3)，由于函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(10x2,3)(x＞0)在x＝eq\f(20,3)處取得微小值也是最小值，因而檢驗n＝6時，6S6＝－48，而n＝7時，7S7＝－49.答案－49三、解答題9．已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3＝4，{an}的前3項和為7.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)≤2－eq\f(1,n).(1)解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得q>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝4，,a1＋a1q＋4＝7，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.))∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1.(2)證明當(dāng)n＝1時，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1.當(dāng)n≥2時，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n－1－3＝(2n－1)·2n－1.∵an＝2n－1，∴當(dāng)n≥2時，bn＝2n－1.∵b1＝1＝2×1－1滿足bn＝2n－1，∴數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1(n∈N*)．∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．∴Sn＝n2.∴當(dāng)n＝1時，eq\f(1,S1)＝1＝2－eq\f(1,1).當(dāng)n≥2時，eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,n2)<eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n).∴eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)≤2－eq\f(1,1)＋eq\f(1,1)－eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝2－eq\f(1,n).10．(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{eq\f(an,2n)}的前n項和．解(1)解方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝eq\f(1,2)，從而a1＝eq\f(3,2).所以{an}的通項公式為an＝eq\f(1,2)n＋1.(2)設(shè){eq\f(an,2n)}的前n項和為Sn，由(1)知eq\f(an,2n)＝eq\f(n＋2,2n＋1)，則Sn＝eq\f(3,22)＋eq\f(4,23)＋…＋eq\f(n＋1,2n)＋eq\f(n＋2,2n＋1)，eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)＋eq\f(n＋2,2n＋2).兩式相減得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,4)＋(eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n＋1))－eq\f(n＋2,2n＋2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2n－1))－eq\f(n＋2,2n＋2).所以Sn＝2－eq\f(n＋4,2n＋1).11．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且對任意正整數(shù)n，點(an＋1，Sn)在直線2x＋y－2＝0上．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋λn＋\f(λ,2n)))為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．解(1)由題意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①當(dāng)n≥2時，2an＋Sn－1－2＝0.②①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)(n≥2)．由于a1＝1,2a2＋a1＝2，所以a2＝eq\f(1,2).所以{an}是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.(2)由(1)知，Sn＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,2n－1).若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋λn＋\f(λ,2n)))為等差數(shù)列，則S1＋λ＋eq\f(λ,2)，S2＋2λ＋eq\f(λ,22)，S3＋3λ＋eq\f(λ,23)成等差數(shù)列，則2eq\b\lc\(\rc\)(\a\