拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)基本定理，它也叫做拉格朗日中值定理或拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要定理，它被廣泛應(yīng)用于微積分中，尤其是在函數(shù)的求導(dǎo)、證明極值等方面。本文將詳細(xì)闡述拉格朗日中值定理。一、定理的描述設(shè)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，那么存在$c\\in(a,b)$，使得$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。$$下面我們來(lái)說(shuō)明這個(gè)定理有什么叫法。拉格朗日中值定理：又叫拉格朗日中值定理或拉格朗日第一中值定理。是一個(gè)最常用的基本定理，也是微積分的重要基礎(chǔ)之一。圖示示例如下：還有一種叫法叫拉格朗日中值定理，與其說(shuō)是叫法不如說(shuō)是人名。因此，我們要根據(jù)語(yǔ)境來(lái)確定它是哪種意思。二、定理的證明為了求出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上的一個(gè)中間點(diǎn)$c$，使得$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$首先，如果$f(x)$在$[a,b]$上是一個(gè)常數(shù)，那么$f'(c)=0$，不管$c$取哪個(gè)值，右邊都是零，原命題顯然成立。然后，假設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上的取值不是常數(shù)。那么必然存在其中一個(gè)$c\\in(a,b)$，使得$f'(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，證畢。三、舉例示范舉個(gè)例子，我們考慮$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$[0,3]$上的拉格朗日中值定理的應(yīng)用。首先，我們來(lái)求出$f'(x)$：$$f'(x)=2x-2$$然后，我們到區(qū)間$(0,3)$上來(lái)尋找這么一個(gè)$c$，使得$$f(3)-f(0)=f'(c)[3-0]$$同時(shí)歸類、抵消，得到：$$3^2-2\\times3-0^2+2\\times0=2c-2$$那么$$2c\\=\\7$$所以$$c\\=\\\\frac{7}{2}$$我們可以驗(yàn)證，這個(gè)$c$的確滿足了定理的條件：$$f(3)-f(0)=7=f'(c)[3-0]=4c-4$$于是再檢驗(yàn)一下：$$7=2\\times\\frac{7}{2}-2=3^2-2\\times3-0^2+2\\times0$$定理得證。四、應(yīng)用拉格朗日中值定理是微積分定理中最常用、最基礎(chǔ)之一的，我們來(lái)看看它的應(yīng)用。1.求導(dǎo)數(shù)的值拉格朗日中值定理可以用來(lái)求某個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的值。比如對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^2$在區(qū)間$[2,4]$上求導(dǎo)數(shù)，我們有$$f'(c)=\\frac{f(4)-f(2)}{4-2}=\\frac{4^2-2^2}{4-2}=6$$即$f'(c)=6$。2.證明方程有解拉格朗日中值定理可以應(yīng)用到更高級(jí)別的數(shù)學(xué)問(wèn)題上。比如，我們可以用它來(lái)證明某個(gè)方程具有解。比如，我們來(lái)證明方程$x-\\tan(x)=0$在區(qū)間$\\left(0,\\frac{\\pi}{2}\\right)$上至少有一個(gè)解：設(shè)$f(x)=x-\\tan(x)$，則$f'(x)=1-\\sec^2(x)$。因?yàn)?\\cos(x)>\\sin(x)$，所以我們有$$0<f'(x)<1\\qquad\\text{if}\\qquad0<x<\\frac{\\pi}{2}$$又因?yàn)?f(0)<0$且$f\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)>0$，所以根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，方程$f(x)=0$在$\\left(0,\\frac{\\pi}{4}\\right)$上有解。定理得證。3.確定函數(shù)單調(diào)性拉格朗日中值定理也可以用來(lái)確定某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性。比如，我們來(lái)考慮函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)性：$$f'(x)=3x^2-3\\qquad\\Rightarrow\\qquadf'(c)=3c^2-3$$$$f'(x)=3x^2-3\\qquad\\Rightarrow\\qquadf'(c)=3c^2-3$$在區(qū)間$(1,2)$上，$f'(x)$是正數(shù)。然