《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)開卷速查-必修部分65-古典概型

開卷速查(六十五)古典概型A級基礎(chǔ)鞏固練1．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)解析：復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實數(shù)，則n2－m2＝0?m＝n，而投擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)相同的狀況只有6種，所以所求概率為eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).答案：C2．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線x＋y＝5下方的概率為()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,9)解析：試驗是連續(xù)擲兩次骰子，故共包含6×6＝36個基本大事．大事：點(diǎn)P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6個基本大事，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：A3．連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12)B．eq\f(7,12)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本大事總共有6×6＝36(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故選A.答案：A4．一個袋中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，若從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是()A.eq\f(1,5)B．eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)解析：從袋中任取兩個球，其一切可能結(jié)果有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，紅1)，(黑1，紅2)，(黑2，黑3)，(黑2，紅1)，(黑2，紅2)，(黑3，紅1)，(黑3，紅2)，(紅1，紅2)共10個，同色球為(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(紅1，紅2)共4個結(jié)果，∴P＝eq\f(2,5).答案：C5．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)解析：易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，由古典概型知概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，故選C.答案：C6．將一骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(1,2)B．eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)解析：由題可知，函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，則不滿足條件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6種狀況，所以滿足條件的共有30種狀況，則函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增的概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).答案：B7．從某學(xué)習(xí)小組的10名同學(xué)中選出3名同學(xué)參與一項活動，其中甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率是__________．解析：從10名同學(xué)中選出3名同學(xué)有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120種選法，其中甲、乙兩名同學(xué)都被選中有Ceq\o\al(1,8)＝8種選法，因此甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率是eq\f(8,120)＝eq\f(1,15).答案：eq\f(1,15)8．曲線C的方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù)，大事A＝“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝__________.解析：試驗中所含基本大事個數(shù)為36；若想表示橢圓，則先后兩次的骰子點(diǎn)數(shù)不能相同，則去掉6種可能，既然橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則m＞n，又只剩下一半狀況，即有15種，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)9．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品．若生產(chǎn)中毀滅乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為__________．解析：記“生產(chǎn)中毀滅甲級品、乙級品、丙級品”分別為大事A，B，C.則A，B，C彼此互斥，由題意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.9610．現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率．解析：(1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6，任取2道題，基本大事為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個，而且這些基本大事的毀滅是等可能的．用A表示“都是甲類題”這一大事，則A包含的基本大事有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)基本大事同(1)，用B表示“不是同一類題”這一大事，則B包含的基本大事有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個，所以P(B)＝eq\f(8,15).B級力氣提升練11．小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌還是去下棋．玩耍規(guī)章為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖)這6個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．(1)寫出數(shù)量積X的全部可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解析：(1)X的全部可能取值為－2，－1,0,1.(2)數(shù)量積為－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共1種；數(shù)量積為－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6種；數(shù)量積為0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4種；數(shù)量積為1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4種．故全部可能的狀況共有15種．所以小波去下棋的概率為p1＝eq\f(7,15)；由于去唱歌的概率為p2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).12．某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身凹凸于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率．解析：(1)從身凹凸于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個．由于每個人被選到的機(jī)會均等，因此這些基本大事的毀滅是等可能的．選到的2人身高都在1.78以下的大事有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個．因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基