【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修1-1學案：《函數(shù)的最值》

第3課時函數(shù)的最值1.理解函數(shù)最大值和最小值的概念.2.把握求在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值和最小值的思想方法和步驟.3.把握函數(shù)極值與最值的區(qū)分與聯(lián)系.如圖,設鐵路線AB=50km,點C處與B之間的距離為10km,現(xiàn)將貨物從A運往C,已知1km鐵路費用為2元,1km大路費用為4元,在AB上M處修筑大路至C,使運費由A到C最省,求M的具體位置.問題1:函數(shù)的最值函數(shù)的最值分為函數(shù)的最大值與最小值,函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念,必需是整個區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大者,必需是整個區(qū)間上的全部函數(shù)值中的最小者.

問題2:函數(shù)的最值與極值的區(qū)分(1)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的,極大值、微小值是比較四周的函數(shù)值得出的;

(2)函數(shù)的極值可以有多個,但最值只能有個;

(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值可以在處取得;

(4)有極值未必有最值,有最值也未必有極值;(5)極值有可能成為最值,最值只要不在端點處取得,那么最值必定是.

問題3:求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部使的點.

(2)計算函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)使f'(x)=0的全部點及的函數(shù)值,其中最大的一個為,最小的一個為.

問題4:利用導數(shù)可以解決以下類型的問題:(1)恒成立問題;(2)函數(shù)的即方程根的問題;(3)不等式的證明問題;(4)求參數(shù)的取值范圍問題.

1.下列說法正確的是().A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的微小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值肯定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)肯定存在最值2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,則f'(x)().A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3.函數(shù)y=x·e-x在x∈[2,4]上的最小值為.

4.設f(x)=ax3-6ax2+b在區(qū)間[-1,2]上的最大值為3,最小值為-29,且a>0,求a,b的值.利用導數(shù)求函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)=13x3-4x+4在[0,3]上的最大值與最小值利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值,則a的取值范圍是().A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1 D.0<a<1利用導數(shù)解決恒成立問題已知函數(shù)f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)若對任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求實數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37.(1)求實數(shù)a的值;(2)求函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值.已知y=f(x)是奇函數(shù),當x∈(0,2)時,f(x)=lnx-ax(a>12),當x∈(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于設f(x)=x3-12x2-2x+5(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當x∈[-1,2]時,f(x)<m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.1.下列命題中正確的是().A.一個函數(shù)的極大值總是比微小值大B.函數(shù)的導數(shù)為0時對應的點不肯定是極值點C.一個函數(shù)的極大值總比最大值小D.一個函數(shù)的最大值可以比最小值小2.函數(shù)f(x)=x3-x2-x+1在[-1,1]上的最大值為().A.427 B.827 C.1627 3.假如函數(shù)f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上的最大值為3,那么函數(shù)在此區(qū)間上的最小值為.

4.已知f(x)=x3-12x2-2x+a,對任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2,求a的取值范圍(2022年·重慶卷)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.考題變式(我來改編):第3課時函數(shù)的最值學問體系梳理問題1:最大值最小值問題2:(1)極值點(2)一(3)端點(5)極值問題3:(1)f'(x)=0(2)端點最大值最小值問題4:零點基礎學習溝通1.D最值是極值與閉區(qū)間端點處的函數(shù)值比較之后得到的.2.A由題意知函數(shù)在閉區(qū)間上全部函數(shù)值相等,故其導數(shù)為0.3.4e4y'=ex-xexex2=1-xex,當x∈[2,4]時,y'<0,即函數(shù)y=x·e-x在x∈[4.解:f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4,則函數(shù)f(x)在[-1,2]上的單調(diào)性及極值狀況如下表所示:x[-1,0)0(0,2]f'(x)+0-f(x)↗極大值↘∴f(0)=b=3.又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3,f(2)=8a-24a+3=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.重點難點探究探究一:【解析】f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,即x2-4=0,由于f'(x)>0時,x<-2或x>2,f'(x)<0時,-2<x<2,所以在[0,3]上,當x=2時,f(x)取微小值,微小值為f(2)=-43又由于f(0)=4,f(3)=1,因此,函數(shù)f(x)=13x3-4x+4在[0,3]上的最大值是4,最小值是-4【小結(jié)】設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),即在(a,b)內(nèi)可導,則求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟為:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值.探究二:【解析】f'(x)=3x2-3a,∵在開區(qū)間(0,1)內(nèi)有最小值,∴最小值點肯定不是端點,且在(0,1)內(nèi),∴在(0,1)上f(x)有極值,即f'(x)=0有根,∴f'(0)·f'(1)<0.即(-3a)·(3-3a)<0,得0<a<1.[問題]上述求解過程正確嗎?[結(jié)論]結(jié)果正確,但過程不正確,由于上述過程不能體現(xiàn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)f(x)有極大值還是微小值,也就是f(x)有最大值,還是最小值,正解如下:由題意f'(x)=3x2-3a的圖像在(0,1)內(nèi)與x軸有交點,且函數(shù)圖像由下到上與x軸相交.∴f'(0)<0【答案】B【小結(jié)】本題解答關(guān)鍵是通過導數(shù)得到原函數(shù)的極值、單調(diào)性等性質(zhì),障礙在于如何將題意進行等價轉(zhuǎn)化,同時要留意結(jié)合函數(shù)零點存在性定理.探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2+4x+1,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=-13當x變化時,f'(x)、f(x)的變化狀況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,-13-1(-13,+∞f'(x)+0-0+f(x)遞增極大值遞減微小值遞增∴當x=-1時,f(x)取得極大值為-4;當x=-13時,f(x)取得微小值為-112(2)設F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立?F(x)min≥0,x∈[0,+∞).若2-a≥0,即a≤2,明顯F(x)min=4>0.若2-a<0,即a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2a當0<x<2a-43時,f'(x當x>2a-43時,f'(x∴當x∈(0,+∞)時,F(x)min=F(2a-43即(2a-43)3+(2-a)(2a-4解不等式得a≤5,∴2<a≤5.當x=0時,F(x)=4滿足題意.綜上所述,a的取值范圍為(-∞,5].【小結(jié)】本題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值不小于0,再求參數(shù)范圍.思維拓展應用應用一:(1)f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2.當0<x<2時,f'(x)<0,函數(shù)遞減;當-2<x<0時,f'(x)>0,函數(shù)遞增.又f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a,所以f(x)min=f(-2)=-40+a,由已知得-40+a=-37,解得a=3.(2)由(1)知函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值為f(0)=a=3.應用二:1∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)在(0,2)上的最大值為-1,當x∈(0,2)時,f'(x)=1x-a,令f'(x)=0得x=1a,又a>12,∴0<1令f'(x)>0,則x<1a,∴f(x)在(0,1a)令f'(x)<0,則x>1a,∴f(x)在(1a,2)∴f(x)max=f(1a)=ln1a-a·1a=-1,∴l(xiāng)n1a=0,應用三:(1)由已知得f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-23∴當x∈(-∞,-23)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)當x∈(-23,1)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),∴f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-23)和(1,+∞),遞減區(qū)間為(-23,1(2)當x∈[-1,2]時,f(x)<m恒成立,只需使f(x)在[-1,2]上的最大值小于m即可.由(1)知f(x)極大值=f(-23)=5+2227,f(x)微小值=f(1)=72,又∵f(-1)=112,f(2∴f(x)在[-1,2]上的最大值為f(2)=7,∴m>7,即m的取值范圍為(7,+∞).基礎智能檢測1.B2.D令f'(x)=3x2-2x-1=0得x=1或x=-13,由于f(1)=f(-1)=0,f(-13)=3227,所以函數(shù)在[-1,1]3.-37f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,列表得:x-2(-2,0)0(0,2)2f'(x)+0-f(x)m-40↗m↘m-8故當x=0時,f(x)max=m=3,當x=-2時,f(x)min=3-40=-37.4.解:對任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2成立,轉(zhuǎn)化為f(x)max<3a2,f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,解得x=1或x=-23x-1(-1,-23-2(-23,11(1,2)2y'+0-0+y12↗2227↘a-3↗2+a當x=2時,f(x)max=2+a,即a+2<3a2,解得a<-23或a>1全新視角拓展解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f'(x)=3ax2+b.由于f(x)在點x=2處取得極值c-16.故有f即12a+解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.當x∈(-∞,-2)時,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)