【創(chuàng)新設(shè)計】2021高考數(shù)學(xué)(江蘇專用-理科)二輪專題整合：1-2-2解三角形問題

第2講解三角形問題一、填空題1．(2022·西安模擬)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝________. 解析由于asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，所以由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－sin2A))＝eq\r(2)sinA，即sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2). 答案eq\r(2)2．(2022·益陽模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若asinA＋bsinB－csinC＝eq\r(3)asinB，則角C等于________． 解析由正弦定理，得a2＋b2－c2＝eq\r(3)ab， 所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，又0＜C＜π，所以C＝eq\f(π,6). 答案eq\f(π,6)3．(2022·吉林省試驗(yàn)中學(xué)一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C 解析由于sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，所以sin(A－B)＝sinC，又由于A，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ 答案直角4．(2022·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于________． 解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA， ∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos60°，解得AB＝2， ∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)×2×4×sin60°＝2eq\r(3). 答案2eq\r(3)5．(2022·福州模擬)在△ABC中，BC＝1，B＝eq\f(π,3)，△ABC的面積S＝eq\r(3)，則sinC＝________. 解析由于在△ABC中，BC＝1，B＝eq\f(π,3)，△ABC的面積S＝eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)BC×BAsinB＝eq\r(3)，即eq\f(1,2)×1×BA×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcosB，即得AC＝eq\r(13)，由正弦定理，得eq\f(BA,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，解得sinC＝eq\f(2\r(39),13). 答案eq\f(2\r(39),13)6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC．則 解析由題意結(jié)合正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc?b2＋c2－a2≥bc?eq\f(b2＋c2－a2,bc)≥1?cosA≥eq\f(1,2)，A為△ABC內(nèi)角?0＜A≤eq\f(π,3). 答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))7．(2022·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a,2sinB＝3sinC，則cosA的值為________． 解析∵2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝eq\f(3,2)c， 又b－c＝eq\f(1,4)a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c. ∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2·\f(3,2)c2)＝－eq\f(1,4). 答案－eq\f(1,4)8．(2021·蘇北四市模擬)在△ABC中，AD為BC邊上的高線，AD＝BC，角A，B，C的對邊為a，b，c，則eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)的取值范圍是________． 解析由于AD＝BC＝a，由eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2)bcsinA， 解得sinA＝eq\f(a2,bc)，再由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(c,b)－\f(a2,bc)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(c,b)－sinA))， 得eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)＝2cosA＋sinA，又A∈(0，π)， 所以由基本不等式和幫助角公式得eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)的取值范圍是[2，eq\r(5)]． 答案[2，eq\r(5)]二、解答題9．(2022·北京卷)如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7). (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的長． 解(1)在△ADC中，由于cos∠ADC＝eq\f(1,7)， 所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7). 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14). (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3. 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.所以AC＝7.10．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，B＝eq\f(2π,3)，b＝eq\r(3)，求a＋c的范圍． 解法一由B＝eq\f(2π,3)，得A＋C＝eq\f(π,3). 所以sinA＋sinC＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))＝sinA＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)cosA－cos\f(π,3)sinA))＝eq\f(1,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝ sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).又0＜A＜eq\f(π,3)，所以eq\f(π,3)＜A＋eq\f(π,3)＜eq\f(2π,3). 所以eq\f(\r(3),2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1.所以sinA＋sinC∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)). 由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2， 所以a＋c＝2sinA＋2sinC＝2(sinA＋sinC)． 所以a＋c∈(eq\r(3)，2]． 法二由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accoseq\f(2π,3)＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝eq\f(3a＋c2,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，取等號．所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2. 又a＋c＞b＝eq\r(3)，所以eq\r(3)＜a＋c≤2，即a＋c∈(eq\r(3)，2]．11.(2021·江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲動身2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5). (1)求索道AB的長； (2)問：乙動身多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)把握在什么范圍內(nèi)？ 解(1)在△ABC中，由于cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)， 所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5). 從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC ＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65). 由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得 AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)． 所以索道AB的長為1040m. (2)設(shè)乙動身tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13) ＝200(37t2－70t＋50)， 因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8， 故當(dāng)t＝eq\f(35,37)(min)時，甲、乙兩游客距離最短． (3)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(5,13)＝500(m)． 乙從B動身時