【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)選修2-1課時(shí)作業(yè)：3.1.2

3.1.2空間向量的基本定理課時(shí)目標(biāo)1.利用空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，理解共線向量、共面對量的意義，把握它們的表示方法.2.理解共線向量定理、共面對量定理和空間向量分解定理，能運(yùn)用它們解決一些幾何問題．1．共線向量定理兩個(gè)空間向量a，b(__________)，a∥b的充要條件是______________________，使____________．2．向量共面的條件(1)向量a平行于平面α的定義已知向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，假如a的基線OA__________________________，則就說向量a平行于平面α，記作__________．(2)共面對量的定義平行于______________的向量，叫做共面對量．(3)共面對量定理假如兩個(gè)向量a，b__________，則向量c與向量a，b共面的充要條件是____________，使________________．3．空間向量分解定理(1)空間向量分解定理假如三個(gè)向量a，b，c__________，那么對空間任一向量p，________，使__________．(2)基底假如三個(gè)向量a，b，c是三個(gè)________________，則a，b，c的線性組合____________能生成全部的空間向量，這時(shí)a，b，c叫做空間的一個(gè)________，記作__________，其中a，b，c都叫做__________．表達(dá)式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的__________．一、選擇題1．下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb2．滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))D.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|3.如圖，空間四邊形OABC中，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG=2GN，則=xeq\o(OA,\s\up6(→))＋y＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,6)C．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,3)D．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)4．在下列條件中，使M與A、B、C確定共面的是()A.＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－－eq\o(OC,\s\up6(→))B.＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝05.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長向量C．共面對量D．不共面對量6．下列命題中是真命題的是()A．分別表示空間向量的兩條有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面對量B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C.若向量eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))，滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D.若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))題號123456答案二、填空題7.在空間四邊形ABCD中，連結(jié)AC、BD,若△BCD是正三角形，且E為其中心，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的化簡結(jié)果為________．8.在正四周體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝______________(用a，b，c表示)．9.已知P和不共線三點(diǎn)A,B,C,四點(diǎn)共面且對于空間任意一點(diǎn)O，都有＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.三、解答題10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面體．(1)化簡eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′對角線BC′上的分點(diǎn)，設(shè)＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AD,\s\up6(→))＋γeq\o(AA′,\s\up6(→))，試求α，β，γ的值．11．設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．力氣提升12.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c13.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).（1）推斷eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)推斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．1．利用共線向量定理可以判定兩條直線平行或三點(diǎn)共線．2．空間任意三個(gè)不共面對量可以線性表示空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．3．利用共面對量定理可以判定空間三個(gè)向量共面或四點(diǎn)共面．3．1.2空間向量的基本定理學(xué)問梳理1．b≠0存在唯一的實(shí)數(shù)xa＝xb2．(1)平行于平面α或在α內(nèi)a∥α(2)同一平面(3)不共線存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，yc＝xa＋yb3．(1)不共面存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，zp＝xa＋yb＋zc(2)不共面的向量xa＋yb＋zc基底{a，b，c}基向量線性表示式或線性組合作業(yè)設(shè)計(jì)1．C[A中，若b＝0，則a與c不愿定共線；B中，共面對量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不愿定共面；D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ.]2．C[由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\x\to(BC)知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A、B、C三點(diǎn)共線．]3．D[∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))，①eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))，②eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))，③又eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(CN,\s\up6(→))，eq\o(MG,\s\up6(→))＝－2eq\o(NG,\s\up6(→))，∴①＋②＋③，得3eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).]4．C[∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).∴M與A、B、C必共面．只有選項(xiàng)C符合．]5．C[如圖所示，由于eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，∴eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，即eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))，而eq\o(D1A,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))不共線，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))三向量共面．]6．D[A錯(cuò)．由于空間任兩向量平移之后可共面，所以空間任意兩向量均共面．B錯(cuò)．由于|a|＝|b|僅表示a與b的模相等，與方向無關(guān)．C錯(cuò)．由于空間向量不爭辯大小關(guān)系，只能對向量的長度進(jìn)行比較，因此也就沒有eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))這種寫法．D對．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))正確．]7．0解析如圖，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.8.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析如圖，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.9．－2解析P與不共線三點(diǎn)A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)共面的充要條件．10．解(1)方法一取AA′的中點(diǎn)為E，則eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＝eq\o(EA',\s\up6(→)).又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(A'D',\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(D'C',\s\up6(→))，取F為D′C′的一個(gè)三等分點(diǎn)(D′F＝eq\f(2,3)D′C′)，則eq\o(D'F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(EA',\s\up6(→))＋eq\o(A'D',\s\up6(→))＋eq\o(D'F,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→)).方法二取AB的三等分點(diǎn)P使得eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，取CC′的中點(diǎn)Q，則eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→)).(2)連結(jié)BD，則M為BD的中點(diǎn)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC',\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC',\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA',\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA',\s\up6(→)).∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).11．證明∵eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→)).又∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，①又A，B，C及A1，B1，C1分別共線，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入①式，得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))＝λeq\o(N