二次函數(shù)復(fù)習(xí)(定義、圖象)課件

二次函數(shù)復(fù)習(xí)本節(jié)課我們將復(fù)習(xí)二次函數(shù)的定義、圖像及其性質(zhì)，并通過例題講解，幫助大家更好地理解和應(yīng)用二次函數(shù)知識。什么是二次函數(shù)定義二次函數(shù)是一種函數(shù)，其表達(dá)式為y=ax^2+bx+c(a≠0)，其中a,b,c為常數(shù)。圖象二次函數(shù)的圖象為拋物線，其形狀由系數(shù)a決定，開口方向由系數(shù)a的正負(fù)決定。二次函數(shù)的定義一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)圖象拋物線自變量x二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式定義二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k為常數(shù)，a≠0。這種形式可以清晰地反映出二次函數(shù)的特征，如開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。特點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)，對稱軸為直線x=h，開口方向由a的符號決定。二次函數(shù)的一般形式1定義任何二次函數(shù)都可以表示為y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，其中a、b、c為常數(shù)，且a不等于零。2系數(shù)a、b、c分別表示二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。3應(yīng)用這種形式便于分析二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，例如開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。如何判斷二次函數(shù)的類型查看二次項(xiàng)系數(shù)如果二次項(xiàng)系數(shù)為正，則拋物線開口向上；如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，則拋物線開口向下。觀察常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)表示拋物線與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)。如果常數(shù)項(xiàng)為正，則拋物線與y軸交于正半軸；如果常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，則拋物線與y軸交于負(fù)半軸。利用配方將一般形式的二次函數(shù)配方化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向。二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)二次函數(shù)的圖象是拋物線，它是一個對稱的曲線，具有以下特點(diǎn)：對稱軸：拋物線關(guān)于一條直線對稱，這條直線叫做拋物線的對稱軸。頂點(diǎn)：拋物線與對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。開口方向：拋物線開口向上或向下，取決于二次項(xiàng)系數(shù)的符號。拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)是拋物線上離對稱軸最近的點(diǎn)，也是拋物線上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過公式計(jì)算得出，例如：對于標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線y=a(x-h)2+k，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(h,k)。拋物線的軸對稱拋物線關(guān)于它的對稱軸對稱。對稱軸是一條垂直于拋物線的直線，它將拋物線分成兩個完全相同的部分。對稱軸與拋物線的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，也是拋物線的對稱中心。拋物線的平移1上移y軸方向上平移2下移y軸方向下平移3左移x軸方向上平移4右移x軸方向下平移拋物線的開口方向1系數(shù)a的影響二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，系數(shù)a決定了拋物線的開口方向。2向上開口當(dāng)a>0時，拋物線向上開口，表示函數(shù)值隨著x的增大而增大。3向下開口當(dāng)a<0時，拋物線向下開口，表示函數(shù)值隨著x的增大而減小。拋物線的性質(zhì)開口方向拋物線開口方向取決于二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)號。正系數(shù)表示開口向上，負(fù)系數(shù)表示開口向下。對稱軸拋物線關(guān)于對稱軸對稱，對稱軸是一條垂直于x軸的直線，其方程為x=-b/2a。頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)是拋物線上最低點(diǎn)或最高點(diǎn)，坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))，頂點(diǎn)也是拋物線與對稱軸的交點(diǎn)。利用性質(zhì)描述拋物線1開口方向向上或向下2對稱軸垂直于x軸的直線3頂點(diǎn)拋物線與對稱軸的交點(diǎn)二次函數(shù)圖象的變換1平移變換改變函數(shù)圖象的位置2對稱變換關(guān)于直線或點(diǎn)進(jìn)行對稱3倍數(shù)變換改變函數(shù)圖象的形狀平移變換向上平移將函數(shù)圖像向上平移a個單位，對應(yīng)解析式中常數(shù)項(xiàng)加上a。向下平移將函數(shù)圖像向下平移a個單位，對應(yīng)解析式中常數(shù)項(xiàng)減去a。向左平移將函數(shù)圖像向左平移b個單位，對應(yīng)解析式中自變量x加上b。向右平移將函數(shù)圖像向右平移b個單位，對應(yīng)解析式中自變量x減去b。對稱變換1關(guān)于x軸對稱將函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱，只需將y的值取相反數(shù)2關(guān)于y軸對稱將函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，只需將x的值取相反數(shù)3關(guān)于原點(diǎn)對稱將函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，只需將x和y的值同時取相反數(shù)倍數(shù)變換1y=af(x)當(dāng)a>1時，圖象沿y軸方向拉伸，拉伸倍數(shù)為a2y=af(x)當(dāng)03y=af(x)當(dāng)a<0時，圖象關(guān)于x軸對稱，并沿y軸方向拉伸或壓縮，拉伸或壓縮倍數(shù)為|a|三種變換的綜合平移、對稱、倍數(shù)綜合運(yùn)用三種變換，可以更加靈活地繪制二次函數(shù)圖象。順序和方向注意變換的順序和方向，確保最終圖象的正確性。舉例分析通過具體例子，理解三種變換的綜合應(yīng)用。分析二次函數(shù)圖象的變換平移變換改變函數(shù)圖像的位置，不改變圖像的形狀和大小。對稱變換關(guān)于某條直線或某個點(diǎn)進(jìn)行對稱變換，改變圖像的位置，不改變圖像的形狀和大小。倍數(shù)變換改變函數(shù)圖像的大小，不改變圖像的位置。如何繪制二次函數(shù)的圖象1標(biāo)準(zhǔn)形式繪制法利用函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向，直接在坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線。2一般形式繪制法通過取點(diǎn)法或配方法，求出幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線。3利用拋物線性質(zhì)繪制根據(jù)拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)等性質(zhì)，進(jìn)行快速繪制。4利用變換繪制二次函數(shù)將已知函數(shù)的圖象進(jìn)行平移、對稱或伸縮變換，得到目標(biāo)函數(shù)的圖象。標(biāo)準(zhǔn)形式繪制法1確定頂點(diǎn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(h,k)。2確定對稱軸對稱軸為x=h。3確定開口方向當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下。4確定開口大小開口大小由|a|決定，|a|越大，開口越窄。一般形式繪制法1確定開口方向根據(jù)系數(shù)a的正負(fù)判斷2求對稱軸利用公式x=-b/2a3求頂點(diǎn)將對稱軸代入函數(shù)表達(dá)式4找特殊點(diǎn)如與x軸的交點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)利用拋物線性質(zhì)繪制1對稱性2頂點(diǎn)3開口方向利用變換繪制二次函數(shù)平移變換通過改變常數(shù)項(xiàng)，可以將拋物線上下平移。對稱變換通過改變自變量的符號，可以將拋物線關(guān)于y軸對稱。倍數(shù)變換通過改變系數(shù)，可以改變拋物線的開口方向和開口大小。綜合案例分析已知函數(shù)圖像，求表達(dá)式根據(jù)圖像信息，確定函數(shù)類型、頂點(diǎn)坐標(biāo)等代入公式，求解參數(shù)的值二次函數(shù)的應(yīng)用物理問題建模拋射運(yùn)動、自由落體等物理現(xiàn)象可以用二次函數(shù)來描述。幾何問題分析求解面積、周長等幾何問題可以用二次函數(shù)來解決。經(jīng)濟(jì)問題計(jì)算利潤最大化、成本最小化等經(jīng)濟(jì)問題可以用二次函數(shù)來分析。物理問題建模物理模型將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，簡化問題，便于分析和計(jì)算。數(shù)學(xué)公式利用二次函數(shù)公式描述物理規(guī)律，例如自由落體運(yùn)動、拋射運(yùn)動等。圖像分析通過二次函數(shù)圖像，直觀地展現(xiàn)物理過程和規(guī)律，方便理解和分析。幾何問題分析1圖形特征分析幾何問題時，要觀察圖形的形狀、大小和位置等特征。2數(shù)量關(guān)系利用數(shù)學(xué)知識，建立圖形元素之間的數(shù)量關(guān)系，例如面積、周長、角度等。3解題策略選擇合適的解題方法，例如代數(shù)方法、幾何方法或坐標(biāo)方法。經(jīng)濟(jì)問題計(jì)算利潤最大化利用二次函數(shù)求解利潤函數(shù)的極值點(diǎn)，從而確定最佳產(chǎn)量和最大利潤。成本控制利用二次函數(shù)分析成本函數(shù)的變化趨勢，制定合理的生產(chǎn)策略，降低成本。