2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§2.1函數(shù)的概念及其表示【課件】

第二章§2.1函數(shù)的概念及其表示1.了解函數(shù)的含義.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用.課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是

，如果對于集合A中的

一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有

的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：

、

、

.(2)如果兩個函數(shù)的

相同，并且

完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).非空的實數(shù)集任意唯一確定定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有

、圖象法和

.4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).解析法列表法1.直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點.2.在函數(shù)的定義中，非空實數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集.3.分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).(

)(2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示.(

)(3)直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象可以有多個交點.(

)(4)函數(shù)f(x)＝

的定義域為R.(

)√××√2.(多選)(2023·南寧質(zhì)檢)下列圖象中，是函數(shù)圖象的是在函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系中，一個自變量只對應(yīng)一個因變量，在圖象中，圖象與平行于y軸的直線最多有一個交點，故選項B中的圖象不是函數(shù)圖象.√√√3.(多選)下列選項中，表示的不是同一個函數(shù)的是B.y＝x2與y＝(x－1)2C.y＝

與y＝xD.y＝1與y＝x0√√√并且

，所以兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一個函數(shù)；對于B選項，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，所以不是同一個函數(shù)；對于C選項，y＝

＝|x|，所以兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個函數(shù)；對于D選項，y＝1的定義域是R，y＝x0的定義域是{x|x≠0}，兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù).4.已知函數(shù)f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的解析式是______________.f(x)＝x2＋6xf(x－1)＝x2＋4x－5，設(shè)x－1＝t，則x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.返回第二部分探究核心題型例1

(1)(多選)下列說法中正確的有√題型一函數(shù)的概念C.f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一個函數(shù)√對于C，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，所以兩函數(shù)是同一個函數(shù)，故C正確；(2)(2024·濟南檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域為[－2,3]，則函數(shù)f(x－1)的定義域為__________.由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4，所以函數(shù)f(x－1)的定義域為[－1,4].[－1,4]函數(shù)的含義及判斷兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個要求：①A，B是非空的實數(shù)集；②第一個集合A中的每個元素在第二個集合B中有且只有一個元素與之對應(yīng).(2)兩個函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時，才是同一個函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(1)下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是√對于A，f(x)＝

的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為[0，＋∞)，不是同一個函數(shù)；對于B，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為{x|x≠1}，不是同一個函數(shù)；對于C，兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一個函數(shù)；對于D，f(x)＝x＋1的定義域為R，g(x)＝

的定義域為{x|x≠1}，不是同一個函數(shù).(2)(2023·承德模擬)若函數(shù)f(x)的定義域為[－2,4]，則函數(shù)y＝

的定義域為A.(1,8] B.[－4,1)∪(1,8]C.(1,2] D.[－1,1)∪(1,2]√解得－1≤x≤2且x≠1.例2

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；題型二函數(shù)的解析式(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0,2]，則sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).則t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2).(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴f(x)＝2x＋7(x∈R).函數(shù)解析式的求法(1)配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若

，則f(x)＝___________________.(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)為一次函數(shù)，則f(x)＝________________.因為f(x)為一次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因為f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，2x＋3或－2x－9所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.題型三分段函數(shù)例3

(1)(多選)(2023·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝

則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是A.f(x)的定義域為RB.f(x)的值域為(－∞，4]C.若f(x)＝2，則x的值是－D.f(x)<1的解集為(－1,1)√√當(dāng)－2≤x<1時，f(x)＝x2，值域為[0,4]，當(dāng)x≥1時，f(x)＝－x＋2，值域為(－∞，1]，故f(x)的值域為(－∞，4]，故B正確；當(dāng)x≥1時，令f(x)＝－x＋2＝2，無解，當(dāng)－2≤x<1時，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－

，故C正確；當(dāng)－2≤x<1時，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，當(dāng)x≥1時，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集為(－1,1)∪(1，＋∞)，故D錯誤.(2)已知函數(shù)f(x)＝

若f(a)＝4，則實數(shù)a的值是_______；若f(a)≥2，則實數(shù)a的取值范圍是______________________.－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解得a＝－2或a＝5.解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范圍是[－3，－1)∪[4，＋∞).分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)

f

(

f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·濟寧模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝

則f(2023)等于A.0B.1C.2D.3√由題設(shè)，當(dāng)x>0時，f(x)＝f(x－3)，即當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù)，則f(2023)＝f(3×674＋1)＝f(1)＝f(－2)＝log2[2－(－2)]＝log24＝2.(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝

則A.f(f())＝3B.若f(x)＝－1，則x＝2或x＝－3C.f(x)<2的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)D.若?x∈R，a>f(x)，則a≥3√√√對于B，當(dāng)x<1時，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，當(dāng)x≥1時，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，綜上，x＝2或x＝－3，所以B正確；對于C，當(dāng)x<1時，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，當(dāng)x≥1時，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，綜上，f(x)<2的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正確；對于D，當(dāng)x<1時，x＋2<3，當(dāng)x≥1時，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域為(－∞，3)，因為?x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正確.返回課時精練一、單項選擇題1.函數(shù)y＝

的定義域為A.[0,2] B.(－∞，－3)∪(－3,2)C.(－∞，2) D.(－∞，－3)∪(－3,2]√12345678910111213141234567891011121314解得x≤2且x≠－3，所以函數(shù)的定義域為(－∞，－3)∪(－3,2].2.(2023·昆明統(tǒng)考)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是1234567891011121314√1234567891011121314A項，存在x與兩個y對應(yīng)，故排除A；B項，當(dāng)2<x≤4時，沒有與之對應(yīng)的y，故排除B；C項，y的范圍超出了集合B的范圍，故排除C；D項，滿足函數(shù)關(guān)系的條件，故D正確.A.(－∞，1) B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D.(－∞，1)∪(1，＋∞)√12345678910111213144.(2023·駐馬店統(tǒng)考)已知函數(shù)f(2x＋1)＝2x－x2－3，則f(3)等于A.－4B.－2C.2D.4√令2x＋1＝3，得x＝1，則f(3)＝2－1－3＝－2.12345678910111213145.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為h，注水時間為t，則下面選項中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是1234567891011121314√1234567891011121314水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗，所以在注水速度恒定的情況下，開始水的高度增加的由快變慢，中間增加的最慢，最后增加的由慢變快，由圖可知選項A符合.6.已知函數(shù)f(x)＝

若f(f(a))＝2，則a等于A.0或1 B.－1或1C.0或－2 D.－2或－1√12345678910111213141234567891011121314令f(a)＝t，則f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，當(dāng)t＝0，即f(a)＝0時，顯然a≤0，因此a＋2＝0?a＝－2，當(dāng)t＝1，即f(a)＝1時，顯然a≤0，因此a＋2＝1?a＝－1，綜上所述，a＝－2或a＝－1.二、多項選擇題7.已知函數(shù)f(x)＝

關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是A.f(x)的定義域為RB.f(x)的值域為(－∞，4)C.f(1)＝3D.若f(x)＝3，則x的值是1234567891011121314√√1234567891011121314所以f(x)的定義域為(－∞，－1]∪(－1,2)＝(－∞，2)，所以A錯誤；對于B，當(dāng)x≤－1時，x＋2≤1，當(dāng)－1<x<2時，0≤x2<4，所以f(x)的值域為(－∞，1]∪[0,4)＝(－∞，4)，所以B正確；對于C，因為f(x)＝

所以f(1)＝12＝1，所以C錯誤；1234567891011121314對于D，當(dāng)x≤－1時，由f(x)＝3，得x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，8.下列說法正確的是A.函數(shù)f(x＋1)的定義域為[－2,2)，則函數(shù)f(x)的定義域為[－1,3)√1234567891011121314√√1234567891011121314對于A，對于f(x＋1)，令t＝x＋1?x＝t－1∈[－2,2)，則t∈[－1,3)，所以f(t)，即f(x)的定義域為[－1,3)，故A正確；對于B，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為R，不是同一個函數(shù)，故B不正確；1234567891011121314對于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，三、填空題1234567891011121314x2－2x(x≥1)于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)?f(x)＝x2－2x(x≥1).10.設(shè)函數(shù)f(x)＝

若f(1)＝2f(0)，則實數(shù)a可以為___________________________________.(只需寫出滿足題意的一個數(shù)值即可)若a<0，則f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若0≤a<1，則f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若a≥1，則f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).12345678910111213140(答案不唯一，滿足a∈(－∞，1)即可)四、解答題12345678910111213141234567891011121314∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)畫出這個函數(shù)的圖象；1234567891011121314此分段函數(shù)的圖象如圖所示.在函數(shù)y＝3x＋5的圖象上截取x≤0的部分，在函數(shù)y＝x＋5的圖象上截取0＜x≤1的部分，在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上截取x＞1的部分.圖中實線組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象.(3)求f(x)的最大值.1234567891011121314由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＝1時，f(x)取最大值6.123456789101112131412345678910111213141234567891011121314123456789101112131413.(多選)德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著