專題06 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)實(shí)例（二）單擺及類單擺模型（原卷版）-2025版高二物理寒假精-品講義

專題06簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)實(shí)例（二）單擺及類單擺模型一．單擺模型1.單擺的組成：由細(xì)線和小球組成。2.理想化模型(1)細(xì)線的長(zhǎng)度不可改變。(2)細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略。(3)小球的直徑與線的長(zhǎng)度相比可以忽略。(4)單擺運(yùn)動(dòng)過程中，與小球受到的重力及線的拉力相比，空氣等對(duì)它的阻力可以忽略。3.單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝mgsin__θ。(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－eq\f(mg,l)x。從回復(fù)力特點(diǎn)可以判斷單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。二．單擺的周期1.探究影響單擺周期的因素(1)探究方法：控制變量法。(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論(都在小偏角下)①兩擺的擺球質(zhì)量、擺長(zhǎng)相同，振幅不同，兩擺的周期相同，即單擺的周期與振幅無關(guān)。②兩擺的擺長(zhǎng)、振幅相同，擺球質(zhì)量不同，兩擺的周期相同，即單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。③兩擺的振幅、擺球質(zhì)量相同，擺長(zhǎng)不同，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大；擺長(zhǎng)越短，周期越小，即周期與擺長(zhǎng)有關(guān)。2.周期公式(1)提出：由荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出。(2)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))，即單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)。三．類單擺模型1.幾種單擺模型拓展模型圖示(l、l1、l2為擺線長(zhǎng)，r為擺球半徑)擺長(zhǎng)等效重力加速度g效周期T雙線擺不變，lsinα＋r不變，gT＝2πeq\r(\f(lsinα＋r,g))折線擺碰到釘子后變小不變，gT＝πeq\r(\f(l1＋r,g))＋πeq\r(\f(l2＋r,g))圓弧擺不變，R－r不變，gT＝2πeq\r(\f(R－r,g))斜面擺不變，l＋r不變，gsinαT＝2πeq\r(\f(l＋r,gsinα))若擺球可看為質(zhì)點(diǎn)，以上各式中r可為0。2.不同系統(tǒng)中的等效重力加速度在不同的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，單擺周期公式中的g應(yīng)理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對(duì)系統(tǒng)靜止在平衡位置時(shí)的擺線拉力與擺球質(zhì)量的比值。情景等效重力加速度情景等效重力加速度g等效＝g－ag等效＝eq\f(mg＋qE,m)g等效＝g＋ag等效＝gg等效＝eq\f(mg－qE,m)g等效＝g【例1】(多選)如圖所示，為一小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的示意圖，其中O點(diǎn)為平衡位置，A、B為最大位移處，M、N點(diǎn)為關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)。下列說法正確的是()A.小球在A、B點(diǎn)受到重力和回復(fù)力B.小球在O點(diǎn)所受的合外力就是回復(fù)力C.小球在O點(diǎn)時(shí)所受合外力不為0D.小球在M點(diǎn)、N點(diǎn)的回復(fù)力大小相等【總結(jié)提升】理解回復(fù)力的兩點(diǎn)提醒(1)所謂平衡位置，是指擺球靜止時(shí)，擺線拉力與擺球所受重力平衡的位置，并不是指擺動(dòng)過程中擺球受力平衡的位置。擺球擺動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但有指向懸點(diǎn)的合力提供向心力。(2)回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsinθ提供的，不可誤認(rèn)為回復(fù)力是重力G與擺線拉力FT的合力?！纠?】(多選)如圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)向右為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像，由此可知()A.單擺振動(dòng)的頻率是1.25HzB.t＝0時(shí)擺球位于B點(diǎn)C.t＝0.2s時(shí)擺球位于平衡位置O，加速度為零D.若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝π2m/s2，則這個(gè)單擺的擺長(zhǎng)是0.16m【例3】如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)。甲、乙、丙三個(gè)小球(均可視為質(zhì)點(diǎn))同時(shí)由靜止釋放，開始時(shí)，甲球比乙球離槽最低點(diǎn)O遠(yuǎn)些，丙球在槽的圓心處。則以下關(guān)于它們第一次到達(dá)點(diǎn)O的先后順序的說法正確的是()A.乙先到，然后甲到，丙最后到B.丙先到，然后甲、乙同時(shí)到C.丙先到，然后乙到，甲最后到D.甲、乙、丙同時(shí)到【例4】如圖所示的幾個(gè)相同單擺在不同條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，其中判斷正確的是()A.T1＞T2＞T3＞T4 B.T1＜T2＝T3＜T4C.T1＞T2＝T3＞T4 D.T1＜T2＜T3＜T4【例5】(2024·浙江金華高二月考)如圖甲所示，擺球在豎直平面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，通過力傳感器測(cè)量擺線拉力F，F(xiàn)的大小隨時(shí)間t變化規(guī)律如圖乙所示，擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v＝eq\f(\r(5),5)m/s，忽略空氣阻力，取g＝10m/s2，π2≈10，求：(1)單擺的擺長(zhǎng)l；(2)擺球的質(zhì)量m；(3)擺線拉力的最小值。一、單選題1．將一條輕質(zhì)細(xì)線下端掛上一個(gè)小球，使小球在豎直面內(nèi)自由擺動(dòng)，如圖所示為小球的振動(dòng)圖像。下列說法正確的是（

）A．時(shí)，小球的向心加速度為0B．時(shí)，小球速度為0，加速度為0C．從到的過程中，小球的動(dòng)能不斷增大D．從到的過程中，細(xì)線中的張力不斷增大2．如圖甲，一個(gè)小球在間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為最低點(diǎn)。以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、以水平向右為正方向，小球的振動(dòng)圖像如圖乙所示。重力加速度大小取，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（

）A．小球的振動(dòng)方程為 B．，小球的動(dòng)能逐漸增大C．動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化的周期為 D．此單擺的擺長(zhǎng)約為3．如圖所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的擺球拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，靜止釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動(dòng)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置。整個(gè)過程忽略空氣阻力，則在擺動(dòng)穩(wěn)定后的一個(gè)周期內(nèi)（）A．?dāng)[球只受到重力、拉力兩個(gè)力的作用B．?dāng)[球在經(jīng)過A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力為零C．?dāng)[球在經(jīng)過B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力最大D．?dāng)[球相鄰兩次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，細(xì)線拉力大小不相等4．如圖甲是演示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的裝置，它由一根較長(zhǎng)的細(xì)線和一個(gè)較小的沙漏組成。當(dāng)沙漏擺動(dòng)時(shí)，勻速拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上會(huì)形成一條曲線。通過對(duì)曲線的分析，可以確定沙漏的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。圖乙是同一個(gè)沙漏分別在兩塊木板上形成的曲線．經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，若拉動(dòng)木板1和木板2的速度大小分別為和，則（）A． B． C． D．5．如圖甲所示，一個(gè)單擺做小角度擺動(dòng)，以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，得到擺球相對(duì)平衡位置的位移x隨時(shí)間變化的圖像，如圖乙所示，不計(jì)空氣阻力。對(duì)于這個(gè)單擺的振動(dòng)過程，下列說法正確的是（）

A．時(shí)，擺球所受回復(fù)力最大，方向向右B．時(shí)，擺球偏離平衡位置位移最大，方向向右C．從到的過程中，擺球的重力勢(shì)能逐漸增大D．該單擺擺長(zhǎng)約為2m6．如圖所示，一個(gè)光滑弧形凹槽半徑為R，弧長(zhǎng)為L(zhǎng)（已知R?L）。現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球從凹槽邊緣由靜止釋放，小球以最低點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是（）A．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力和支持力的合力B．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力C．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為2πD．小球運(yùn)動(dòng)到凹槽最低點(diǎn)時(shí)所受合力為零7．如圖所示，單擺在豎直平面內(nèi)的A、C之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置。下列說法正確的是（）A．?dāng)[球從A點(diǎn)向B點(diǎn)擺動(dòng)過程中，重力的沖量為零B．?dāng)[球由A點(diǎn)向B點(diǎn)擺動(dòng)過程中，細(xì)線拉力增大，回復(fù)力增大C．?dāng)[球在A點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)，速度為零，細(xì)線拉力最小，但回復(fù)力最大D．?dāng)[球在B點(diǎn)時(shí)，重力勢(shì)能最小，機(jī)械能最小8．某同學(xué)在探究單擺運(yùn)動(dòng)中，圖甲是用力傳感器對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行測(cè)量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的F-t圖像，則以下說法正確的是（

）A．時(shí)刻擺球速度最大B．時(shí)刻擺球經(jīng)過最低點(diǎn)C．單擺振動(dòng)周期D．單擺振動(dòng)周期9．如圖所示，在傾角為α的斜面頂端固定一擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺，單擺在斜面上做小角度擺動(dòng)，擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度為v，重力加速度大小為g，則以下判斷正確的是（）A．單擺在斜面上擺動(dòng)的周期為B．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為C．若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將增大D．若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將減小10．如圖所示，在地球上同一個(gè)地區(qū)創(chuàng)設(shè)不同的條件進(jìn)行單擺實(shí)驗(yàn)。圖甲裝置置于真空中，懸點(diǎn)處固定一帶正電的小球，絕緣細(xì)線下端連接另一帶正電小球，周期記為；圖乙中，單擺的懸點(diǎn)在一向下加速的電梯頂端，周期記為；圖丙中的擺球帶正電，在如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中進(jìn)行擺動(dòng)，周期記為；圖丁中的擺球帶正電，在如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)中進(jìn)行擺動(dòng)，周期記為。若四個(gè)單擺的擺長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，則周期關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．二、多選題11．如圖所示，光滑圓弧槽半徑為R（未知），A為最低點(diǎn)，C到A的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于R，小球B位于A點(diǎn)的正上方，且到A點(diǎn)的距離為H。若同時(shí)釋放小球B、C，則要使兩小球B和C在A點(diǎn)相遇（小球B和C可視為質(zhì)點(diǎn)），R的可能值為（）A． B． C． D．12．圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說法正確的是（

）A．甲、乙兩單擺的振幅之比為B．時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最大，乙單擺的動(dòng)能最小C．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定不相等13．一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線，上端懸掛在O點(diǎn)，下端系一個(gè)小球，如圖甲所示，某同學(xué)利用此裝置來探究周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系．該同學(xué)用米尺測(cè)得細(xì)線的長(zhǎng)度，用游標(biāo)卡尺測(cè)得小球的直徑，二者相加為l，通過改變細(xì)線的長(zhǎng)度，測(cè)得對(duì)應(yīng)的周期T，得到該裝置的圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是（取）（）A．時(shí)擺長(zhǎng)為 B．時(shí)擺長(zhǎng)為C．?dāng)[球半徑為 D．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?4．如圖甲所示，一光滑絕緣小圓槽MN固定在水平面上，M、N兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)遠(yuǎn)小于圓槽的半徑R。將該裝置置于加速上升的電梯中，如圖乙所示；將該裝置置于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，如圖丙所示；將該裝置置于方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖丁所示。一個(gè)帶正電的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從M點(diǎn)靜止釋放，圖甲、乙、丙和丁四種情形下，設(shè)小球由M運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間分別為t甲、t乙、t丙和t丁，則（）A．t甲>t乙 B．t丙>t丁C．t甲＝t丁 D．t乙>t丁15．做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，小球可能在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)形成圓錐擺。為避免單擺做圓錐擺引起的誤差，可采用雙線擺代替單擺來改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置。如圖所示，兩根線的一端都系在小球的同一點(diǎn)，另一端分別固定在天花板上，兩根線的長(zhǎng)度均為、與豎直方向的夾角均為θ，小球的直徑為d，重力加速度為g?，F(xiàn)將小球垂直紙面向外拉動(dòng)，使懸線偏離豎直方向一個(gè)很小的角度后由靜止釋放，若不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（

）A．若單擺微圓錐擺運(yùn)動(dòng)，其做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期小于單擺的周期B．這個(gè)雙線擺的擺長(zhǎng)為C．這個(gè)雙線擺的周期為D．圖中雙線擺的θ角越小越好16．惠更斯發(fā)現(xiàn)“單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與重力加速度的二次方根成反比”。為了通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這一結(jié)論，某同學(xué)創(chuàng)設(shè)了“重力加速度”可以人為調(diào)節(jié)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。如圖1所示，在水平地面上固定一傾角可調(diào)的光滑斜面，把擺線固定于斜面上的點(diǎn)，使擺線平行于斜面。拉開擺球至A點(diǎn)，靜止釋放后，擺球在之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺角為。擺球自然懸垂時(shí)，通過力傳感器（圖中未畫出）測(cè)得擺線的拉力為，擺球擺動(dòng)過程中，力傳感器測(cè)出擺線的拉力隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖2所示，其中、、均已知。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?。下列選項(xiàng)正確的是（）A．多次改變圖1中角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度B．單擺次全振動(dòng)的時(shí)間為C．多次改變擺角，只要得出就可以驗(yàn)證該結(jié)論成立D．在圖2的測(cè)量過程中，滿足的關(guān)系17．將一臺(tái)智能手機(jī)水平粘在秋千的座椅上，使手機(jī)邊緣與座椅邊緣平行（圖甲），讓秋千以小擺角（小于）自由擺動(dòng)，此時(shí)秋千可看作一個(gè)理想的單擺，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)。從手機(jī)傳感器中得到了其垂直手機(jī)平面方向的關(guān)系圖，如圖乙所示．則以下說法不正確的是（

）A．忽略空氣阻力，秋千的回復(fù)力由重力和拉力的合力提供B．當(dāng)秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)，秋千對(duì)手機(jī)的支持力大于手機(jī)所受的重力C．秋千擺動(dòng)的周期為D．該地的重力加速度18．某研究性學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置，將一傾角可調(diào)的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力傳感器，將小球通過擺線掛在力傳感器上，擺線與斜面始終保持平行，小球能在斜面上做單擺運(yùn)動(dòng)。當(dāng)斜面傾角時(shí)，傳感器輸出的細(xì)線拉力F隨時(shí)間t的變化曲線如圖2所示，則下列說法正確的是（）A．由圖2可知單擺的周期為B．只減小斜面傾角，則單擺周期將變大C．?dāng)[線應(yīng)選用不易伸縮的輕質(zhì)細(xì)繩D．只增大擺線的長(zhǎng)度，則單擺周期將減小三、解答題19．正在修建的房頂上固定的一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線垂到三樓窗沿下，某同學(xué)應(yīng)用單擺原理測(cè)量窗的上沿到房頂?shù)母叨?，先將線的下端系上一個(gè)小球，發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球靜止時(shí)，細(xì)線恰好與窗子上沿接觸且保持豎直，他打開窗子，讓小球在垂直于墻的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，如圖所示，從小球第1次通過圖中的B點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，第21次通過B點(diǎn)時(shí)用30s；球在最低點(diǎn)B時(shí)，球心到窗上沿的距離為1m，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭??；(1)小球第1次從左向右經(jīng)過B點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，則第2次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，時(shí)間間隔是多少？(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求房頂?shù)酱吧涎氐母叨取?0．圖甲中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)。由靜止釋放擺球，則擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動(dòng)。小于5°且大小未知，同時(shí)由連接到計(jì)算機(jī)的力傳感器得到了擺線對(duì)擺球的，如圖乙所示（圖中所標(biāo)字母以及重力加速度g均為已知量）。不計(jì)空氣阻力。根據(jù)題中（包括圖中）所給的信息，求：拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線(1)該單擺的擺長(zhǎng)；(2)擺球的質(zhì)量？21．如圖所示，半徑很大的光滑球面固定在水平桌