專題2-7-函數(shù)模型及其應(yīng)用(新高考專用)(原卷版)

2.7函數(shù)模型及其應(yīng)用思維導(dǎo)圖知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)一一次函數(shù)模型形如的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中.知識點(diǎn)二二次函數(shù)模型1．一般式：．2．頂點(diǎn)式：．3．兩點(diǎn)式：．知識點(diǎn)三冪函數(shù)模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．2．單調(diào)性：其增長情況由xα中的α的取值而定．知識點(diǎn)四幾類已知函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)知識點(diǎn)五應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；2．建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；3．求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；4．還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題．典型例題分析考向一一次函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例例1某報(bào)刊亭從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.24元，賣出的價(jià)格是每份0.40元，賣不掉的報(bào)紙可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月(以30天計(jì)算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同，試問報(bào)刊亭攤主應(yīng)該每天從報(bào)社買進(jìn)多少份報(bào)紙，才能使每月所獲利潤最大．反思感悟一次函數(shù)模型的特點(diǎn)和求解方法(1)一次函數(shù)模型的突出特點(diǎn)是其圖象是一條直線．(2)解一次函數(shù)模型時(shí)，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解．考向二二次函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例例2牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實(shí)際蓄養(yǎng)量不能達(dá)到最大蓄養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e率．已知羊群的年增長量y只和實(shí)際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(空閑率指空閑量與最大蓄養(yǎng)量的比值)(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值；(3)當(dāng)羊群的年增長量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍．反思感悟利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．(2)注意：取得最值的自變量與實(shí)際意義是否相符．考向三冪函數(shù)與分段函數(shù)模型例3(1)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為y＝xα(α為常數(shù))，其中x不超過5萬元，已知去年投入廣告費(fèi)用為3萬元時(shí)，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費(fèi)用投入5萬元，預(yù)計(jì)今年藥品利潤為________萬元．(2)手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)、60分鐘以上(不包括60分鐘)按30元計(jì)費(fèi)，超過500分鐘的部分按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi)，假如上網(wǎng)時(shí)間過短，使用量在1分鐘以下不計(jì)費(fèi)，在1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘計(jì)費(fèi)，手機(jī)上網(wǎng)不收通話費(fèi)和漫游費(fèi)．①12月份小王手機(jī)上網(wǎng)使用量20小時(shí)，要付多少錢？②小舟10月份付了90元的手機(jī)上網(wǎng)費(fèi)，那么他上網(wǎng)時(shí)間是多少？③電腦上網(wǎng)費(fèi)包月60元/月，根據(jù)時(shí)間長短，你會選擇哪種方式上網(wǎng)呢？反思感悟(1)處理冪函數(shù)模型的步驟①閱讀理解、認(rèn)真審題．②用數(shù)學(xué)符號表示相關(guān)量，列出函數(shù)解析式．③根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)運(yùn)算，求得結(jié)果．④轉(zhuǎn)化成具體問題，給出解答．(2)應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)①分段函數(shù)的“段”一定要分合理，不重不漏．②分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集．③分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．考向四指數(shù)型函數(shù)模型例4目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，lg1.2≈0.079，lg1.012≈0.005)(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(精確到1年)．反思感悟在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式．考向五對數(shù)型函數(shù)模型例5我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(O,10)，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)計(jì)算，當(dāng)燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位？(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？反思感悟有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義．考向六建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3某紀(jì)念章從2019年1月6日起開始上市．通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場價(jià)y(單位：元)與上市時(shí)間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天41036市場價(jià)y元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)結(jié)合散點(diǎn)圖，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格．反思感悟建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．2 B． C． D．2．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則它的另一個(gè)零點(diǎn)是（

）A． B．1 C． D．23．函數(shù)在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)的是A． B． C． D．4．方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．用二分法找函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)近似值，取區(qū)間中點(diǎn)，則下一個(gè)存在零點(diǎn)的區(qū)間為（）．A． B． C． D．8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定9．設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足（

）A． B． C． D．以上都有可能10．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第x年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y（只）近似滿足.觀測發(fā)現(xiàn)第1年有越冬白鶴3000只，估計(jì)第7年有越冬白鶴（

）A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只11．某廠印刷某圖書總成本y（元）與圖書日印量x（本）的函數(shù)解析式為y=5x+3000，而圖書出廠價(jià)格為每本10元，則該廠為了不虧本，日印圖書至少為（）A．200本 B．400本 C．600本 D．800本12．某商場出售一種商品，每天可賣1000件，每件可獲利4元．據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若這種商品每件每降價(jià)0.1元，則比降價(jià)前每天可多賣出100件，為獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益，每件售價(jià)應(yīng)降低的價(jià)格為()A．2元 B．2.5元C．1元 D．1.5元二、解答題13．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設(shè)籬笆的一面的長為米．(1)當(dāng)?shù)拈L為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米？(2)若圍成的矩形的面積為S平方米，當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？14．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態(tài)不考慮）.(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數(shù)；(2)當(dāng)水深為1.2m時(shí)，求橫斷面中水的面積.15．某公司設(shè)計(jì)了某款新產(chǎn)品，為生產(chǎn)該產(chǎn)品需要引進(jìn)新型設(shè)備.已知購買該新型設(shè)備需要3萬元，之后每生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，還需另外投入原料費(fèi)及其他費(fèi)用萬元，產(chǎn)量不同其費(fèi)用也不同，且已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為8元且生產(chǎn)的該產(chǎn)品可以全部賣出.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；(2)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，公司所獲年利潤最大？其最大利潤為多少萬元？16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強(qiáng)勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價(jià)－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？17．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)時(shí)，v的值為2；當(dāng)時(shí)，v是關(guān)于x的一次函數(shù).當(dāng)x＝20時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多大時(shí)，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值.18．首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？19．為了加強(qiáng)“疫情防控”，某校決定在學(xué)校門口借助一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為4米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應(yīng)急室，由于此應(yīng)急室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，公司甲給出的報(bào)價(jià)為：應(yīng)急室正面的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩側(cè)報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面報(bào)價(jià)共計(jì)9600元，設(shè)應(yīng)急室的左右兩側(cè)的長度均為x米（），公司甲的整體報(bào)價(jià)為y元．(1)試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)有公司乙也要參與此應(yīng)急室建造的競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若采用最低價(jià)中標(biāo)規(guī)則，哪家公司能競標(biāo)成功？請說明理由．20．2016年4月16日00時(shí)25分日本九州發(fā)生7.3級地震．地震發(fā)生后，停水?dāng)嚯?，交通受阻．已知A地到B地的電話線路發(fā)生故障(假設(shè)線路只有一處發(fā)生故障)，這是一條10km長的線路，每隔50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？21．已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．22．已知函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，用二分法求方程在區(qū)間上的根.23．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸，若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？24．某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）（1）請將利潤y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？25．牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量,已知羊群的年增長量y（只）和實(shí)際畜養(yǎng)量x（只）與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為.（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）求羊群年增長量的最大值.26．國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，飛機(jī)票價(jià)格為900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機(jī)票價(jià)格就減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元.(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？27．下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關(guān)系，試分別就，，三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并探討最佳模擬，根據(jù)最佳模擬求車速為120km/h時(shí)的剎車距離．車速/（km/h）1015304050剎車距離/m47121825車速/（（km/h）60708090100剎車距離/m3443546680提升題型訓(xùn)練一、單選題1．某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y＝6x＋30000.而出廠價(jià)格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（

）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B．C． D．3．某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷售中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量（件）與每件的售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)：．若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價(jià)應(yīng)定為A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好4．從地面豎直向上拋出一個(gè)小球，小球的高度（單位：）與小球運(yùn)動時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時(shí)間是A． B． C． D．5．隨著海拔高度的升高，大氣壓強(qiáng)下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量與大氣壓強(qiáng)成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，，則與的函數(shù)關(guān)系式為A． B．C． D．6．某地固定電話市話收費(fèi)規(guī)定：前三分鐘元（不滿三分鐘按三分鐘計(jì)算），以后每加一分鐘增收元（不滿一分鐘按一分鐘計(jì)算），那么某人打市話用時(shí)550秒，應(yīng)支付電話費(fèi)A．元 B．元 C．元 D．元7．下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①這幾年生活水平逐年得到提高；②生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；③生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；④雖然2016年生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善．A．1 B．2C．3 D．48．若函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0，2 B．0， C．0， D．2，9．當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中增長速度最快的是（

）A