第07講-向量法求距離、探索性及折疊問題(精講)(解析版)

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離 2高頻考點(diǎn)二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離 11高頻考點(diǎn)三：立體幾何中的折疊問題 25高頻考點(diǎn)四：立體幾何綜合問題 41溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背知識點(diǎn)一：點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：知識點(diǎn)二：點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，點(diǎn)到直線BE的距離為.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是______．【答案】/【詳解】因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，，，，所以，，所以，的中點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.例題3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】/1.5【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，．在中，由，，可得，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知三棱柱的棱長均為2，，．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)為側(cè)棱上的點(diǎn)，若平面與平面夾角的余弦值為，求點(diǎn)到直線距離．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接，，，所以由題設(shè)可知，為邊長為2的等邊三角形，所以，由，，所以所以平面ABC；平面,所以平面平面ABC；（2）以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)可得，設(shè)平面的法向量為則即取所以因?yàn)闉槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面ABC夾角為，解得，所以所以點(diǎn)M到直線距離練透核心考點(diǎn)1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點(diǎn)到直線的距離為，則，即，即，解得，所以.2．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在梯形中，因?yàn)榍遥运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所?（2）解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，可得以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，，，且，則點(diǎn)到直線的距離因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.3．（2023秋·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，平行六面體中，底面是菱形，且.(1)求與所成角的余弦值；(2)若空間有一點(diǎn)P滿足：，求點(diǎn)P到直線的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，同理可得，，因?yàn)椋?，，所以，所以，，與所成角的余弦值是；（2）解：因?yàn)?，，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，所以，則點(diǎn)到直線的距離.4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為4，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】3【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，是等邊三角形，點(diǎn)在直線上的射影在邊上（靠近的四等分點(diǎn)），由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，∴為銳角，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：3.高頻考點(diǎn)二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離典型例題例題1．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為2，、分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得則點(diǎn)到平面的距離為.故選：A例題2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于_____.【答案】【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，取，又，所以點(diǎn)到面的距離，故答案為：.例題3．（2023春·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)是半圓弧上一動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），為弧的中點(diǎn)，.

(1)證明：；(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接BP，在半圓柱中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)锽C是直徑，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）依題意可知，以線段BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，連接OP，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，則，令，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，所以，令，則，所以，因?yàn)槠矫鍼CA與平面所成的銳二面角的平面角為，所以，令，則，平方化簡得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一個(gè)法向量，且，所以點(diǎn)D到平面PCA的距離.例題4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)若是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在棱AD上（與A，D不重合），若二面角的大小為，求點(diǎn)到面的距離.【答案】(1)證明見解析.(2)1.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，平面ABD，所以平面BCD．又因?yàn)槠矫鍮CD，所以.（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為F，則，又因?yàn)椋?以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F，OD，OA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，，所以，又因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得，，則，，，，，設(shè)，則.由題意可知是平面BCD的一個(gè)法向量，，設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為，，，則有，即，令，則，，則平面BCE的一個(gè)法向量為.根據(jù)二面角的大小為可得，，解得，即，又因?yàn)?，所以點(diǎn)D到平面BCE的距離.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直．(1)若為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，證明：∥平面(2)若，，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)或．【詳解】（1）證明：由題知，四邊形為矩形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)?，，平面所以平面平面，又因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動點(diǎn)，所以平面，所以平面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面所以平面．又因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，，所以為等邊三角形，且，設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，即．設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡可得，解得或設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則故點(diǎn)到平面的距離為或．練透核心考點(diǎn)1．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點(diǎn)，求證：直線平面；(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點(diǎn)C到平面的距離.

3．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）.

(1)設(shè)平面與平面相交于直線，求證：；(2)是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由；(3)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且(3)【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，則，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，，?（2）解：在直三棱柱中，，且平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，則，解得或3（舍），此時(shí)，，因此，在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且.（3）解：當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，平面的一個(gè)法向量為，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）斜三棱柱的各棱長都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)存在，(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn)，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，可得，，假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)使，則，則；（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，又，則到平面的距離為，即點(diǎn)到平面距離為.5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)若點(diǎn)為棱上不與端點(diǎn)重合的動點(diǎn)，且與平面所成角正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，（2）∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.高頻考點(diǎn)三：立體幾何中的折疊問題典型例題例題1．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┮阎菪蜟EPD如下圖所示，其中，，為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面平面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，若是面一個(gè)法向量，則，可得，若是面一個(gè)法向量，則，可得，∴由面面PCE，有，解得.故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形的邊長為2，.將菱形沿對角線折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上動點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為________.【答案】【詳解】連接AC、BD，交于點(diǎn)O，連接OB′，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因?yàn)镺B′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中點(diǎn)P，取CD中點(diǎn)Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點(diǎn)F軌跡的△EPQ，因?yàn)镋P＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長為，所以點(diǎn)F軌跡的長度為．故答案為：例題3．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，為邊的中點(diǎn)，在邊上，且，沿將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的位置，如圖2，連接，，，，使得.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所以，，在等邊中，，?又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)榍移矫妫云矫?

（2）解法1：作，垂足為,因?yàn)?，所以，解得，所以，在直角中，，可得，又因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.

解法2、過A作，垂足為，由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所?又由，，所以平面OEF，所以的長度即點(diǎn)到平面的距離，在中，因?yàn)?，，，所以，可得，由，即，解得，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.

例題4．（2023·新疆阿克蘇·校考一模）如圖甲所示的正方形中，，，，對角線分別交，于點(diǎn)，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱．(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）證明：在圖乙中，過作，交于，連接，則，∴共面且平面交平面于，圖甲中，∵，，∴，又為正方形，，，由，有，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）由（1），，∴．由題圖知，，，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，，平面與平面夾角的余弦值為．例題5．（2023·湖南長沙·長沙一中校考一模）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·福建南平·高一福建省政和第一中學(xué)?？计谥校┑妊苯侨切蜛BC斜邊上的高，以為折痕將與折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出以下結(jié)論：

①；②；折疊后的立體圖形中，BC與平面ABD所成夾角為60；折疊后連接各點(diǎn)可形成一個(gè)四面體，它的外接球半徑為．其中正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②【詳解】①由題，平面ABD平面ACD，，因平面ABD平面ACD，BD平面ABD，則平面ACD，又AC平面ACD，則，故①正確；②由題可得，結(jié)合，，，則，又由①可得，則，即為等邊三角形，則，故②正確；由①可得，又，因平面ABD，則CD平面ABD，即為BC與平面ABD所成夾角，則，故錯(cuò)誤；注意到，則折疊后連接各點(diǎn)形成的四面體的外接球與以為長寬高的正方體的外接球相同，則外接球半徑為，故錯(cuò)誤.故答案為：①②2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著折疊，使，得到如圖2所示的幾何體，其中為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接.

(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，由翻折的性質(zhì)可得，翻折后，，又，，，則，故，，兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖示：則，，，，，，，即，又平面，平面，平面．（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在空間直角坐標(biāo)系中，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，令平面與平面的夾角，由圖可知，，則，即．3．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接OB，因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，，所以，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，所以，在等邊三角形中，，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，所以，則，又，所以，即，因?yàn)?，平面，平面，所以平面?/p>

（2）方法一：因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，為邊中點(diǎn)，所以，由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．方法二：作，垂足為M，作，垂足為N，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，所以，，在中，，，所以，所以，所以，即二面角的余弦值為?/p>

4．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)矩形的周長為，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去交DC于點(diǎn)P.(1)證明△ADP的周長為定值，并求出定值；(2)在探討△ADP面積最大值時(shí)，同學(xué)們提出了兩種方案：①設(shè)AB長度為，將△ADP面積表示成的函數(shù)，再求出最大值；②設(shè)，將△ADP面積表示成的函數(shù)，再求出最大值，請你選擇一種方案（也可選擇自己的方案），求出△ADP面積的最大值.【答案】(1)證明見解析，定值為2(2)△ADP面積的最大值為【詳解】（1）由于,所以，，所以的周長為，故為定值；（2）方案①，設(shè)AB長度為，設(shè)，則，因?yàn)椋?，化簡得，所以的面積，由于，故因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，此時(shí)取得最大值方案②設(shè)，設(shè)，則，由的周長為2可得，所以的面積，令，，所以，故，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，面積取到最大值，此時(shí)5．（2023·高二單元測試）如圖，分別是矩形上的點(diǎn)，，，把四邊形沿折疊，使其與平面垂直，如圖所示，連接，得到幾何體．(1)當(dāng)點(diǎn)在棱上移動時(shí)，證明：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【詳解】（1）由圖1易知圖2中，有，又因?yàn)槊婷?，面面，面，所以面，又面，故，故以為原點(diǎn)，邊所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則不妨設(shè)，，則，故，所以，故..（2）假設(shè)存在使二面角的平面角為，其中，因?yàn)槠矫?，所以可作為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，設(shè)平面的一條法向量為，則，即，令，則，故，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫椋?，即，整理得，解得或（舍去），所以，故在棱上存在點(diǎn)，使二面角的平面角為，且.高頻考點(diǎn)四：立體幾何綜合問題典型例題例題1．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，二面角的大小為，再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.求的長.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析(2)12【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接.

在中，分別為的中點(diǎn)，所以.在菱形中，因?yàn)?，所?所以四邊形為平行四邊形，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）選擇條件①：因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

連接，因?yàn)椋?，又為中點(diǎn)，所以，所以為正三角形.因?yàn)?，所?設(shè)，則，根據(jù)條件，可得平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，由題意，二面角的大小為，所以，解得（舍負(fù)）.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的長為12.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.選擇條件②：因?yàn)槠矫嫫矫妫?連接，因?yàn)?，且，所以，在菱形中，，即為正三角?又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

又因?yàn)?因?yàn)闉檎切吻遥?設(shè)，則，根據(jù)條件，可得平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，由題意，二面角的大小為，所以，解得（舍負(fù)）.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的長為12.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.例題2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問題（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大??；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）選①，連接，作面，垂足為.

與平面所成角相等，，在的中垂線上，在平面內(nèi)，,和重合，面，又面，面面若選②，設(shè)到面的距離為，，得，即為到面的距離，即面，又面，面面.若選③，由余弦定理得，，，又面面，又面面面（2）因?yàn)槊?，面，所以，取中點(diǎn)，則，所以，又因?yàn)椋越⑷缦聢D所示空間直角坐標(biāo)系，

，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，，由圖可知二面角是鈍角，所以二面角的大小為.（3），平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面的距離.例題3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知多面體的底面是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）延長，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，則為平面與平面的交線，取線段CD的中點(diǎn)M，連接KM，直線KM即為所求．證明如下：延長，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，則為平面與平面的交線，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，取的中點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由已知可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則得，取得，，平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.

練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺，已知點(diǎn)分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點(diǎn)為上的動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)，【詳解】（1）

如圖所示，過Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，結(jié)合圓臺的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵，由題意易知四邊形為直角梯形，∴，，故，∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得證；（2）

如圖，結(jié)合圓臺的特征，當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩兩垂直，故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，則，設(shè)，則，，易知軸⊥面，不妨取作為面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為最大角，，設(shè)此時(shí)面APQ的一個(gè)法向量為，易得，則，令，則，即，由圖可知該二面角的平面角為銳角，設(shè)其為，故，故與平面所成最大角的正切值為，此時(shí)二面角的余弦值為.2．（2023·北京海淀·北大附中?？既＃┤鐖D在幾何體中，底面為菱形，.

(1)判斷是否平行于平面，并證明；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（i）平面與平面所成角的大?。唬╥i）求點(diǎn)到平面的距離.條件①：面面條件②：條件③：注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，