2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由拋物線方程結(jié)合準(zhǔn)線定義計(jì)算即可得.【詳解】由可得，故，且開口向下，故拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選：C.2.直線和直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由題意先求出的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設(shè)，解得或.故，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.3.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)P在上，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】結(jié)合幾何圖形，利用向量的線性運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】，，.故選：A4.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，是橢圓上關(guān)于軸對稱的不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)，由橢圓性質(zhì)和已知條件得，由兩點(diǎn)間的距離公式得，然后化簡、換元結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可求【詳解】由題意，設(shè)，由于A，是橢圓上關(guān)于軸對稱的不同的兩點(diǎn)，所以，又,令，因?yàn)椋?，所以，由于對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，所以，又，即，所以故選：D5.如圖，在棱長為正方體中，若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.10 B.8 C.6 D.4【正確答案】C【分析】首先連接輔助線，結(jié)合給定條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】如圖，連接，正方體的棱長為，，，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓繞旋轉(zhuǎn)得到的橢球上，在正方體的棱上，應(yīng)是橢球與正方體的棱的交點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，在棱上各有一點(diǎn)滿足條件，故C正確.故選：C6.已知拋物線和圓，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，圓M上的兩點(diǎn)滿足，，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線AB的最大距離為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由條件可知滿足到兩定點(diǎn)距離比為常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足求解動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓，可知為兩圓相交弦，得直線方程，再結(jié)合圖形由點(diǎn)線距離公式得到圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，圓，其圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)是滿足的任意一動(dòng)點(diǎn)，，則，化簡得，即.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.由已知，，則圓M上的兩點(diǎn)也在圓上.所以AB是圓與圓的公共弦，將圓與圓的方程聯(lián)立，兩式相減化簡得直線AB的方程為，由動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，又圓心到直線的距離，結(jié)合圖形可知，點(diǎn)到直線的最大距離為.故選：A．7.如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大【正確答案】D【分析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長均為2，則，通過空間向量來求二面角的，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結(jié)果.【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長均為2，則，,，，設(shè)平面BDE法向量,則，令有，故.又平面ABC法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.故選：D.本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問題能力和計(jì)算能力，屬于中檔題目.8.如圖，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使直線與圓相切于點(diǎn)P,設(shè)直線交雙曲線的左右兩支分別于A、B兩點(diǎn)（A、B位于線段上），若,則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接，，設(shè)則，由題意可知，，即，即，則，求解離心率即可.【詳解】連接，，設(shè)則，即，，根據(jù)雙曲線定義可知，即即直線與圓相切于點(diǎn)P在中①在中②在中③②③聯(lián)立得，即①②聯(lián)立得即④將代入④，即，整理得即故選：B本題考查雙曲的離心率，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義表示出與，本題屬于中檔題.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知直線的方向向量是，兩個(gè)平面的法向量分別是，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】AD【分析】利用空間向量判斷直線、平面間的位置關(guān)系.【詳解】若，則，故A正確；若，則或在內(nèi)，故B錯(cuò)；若，則，故C錯(cuò)；若，則，故D正確.故選：AD.10.已知直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q，則（）A.若，則橢圓的離心率為B.若，則橢圓的離心率為C.D.若直線平行于x軸，則【正確答案】ACD【分析】對于A，則，故，則利用與離心率公式即可得解；對于B，設(shè)Ax0,y0，，接著利用和結(jié)合離心率公式直接計(jì)算即可求解；對于C，根據(jù)三角形中位線即可得解；對于D，設(shè)，則，根據(jù)已知條件求出和中點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的理論列式求出即可得解.【詳解】如圖，直線l與交于G，對于A，若，則，所以，所以，故A正確；對于B，設(shè)Ax0,y0，則，且所以，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選：ACD．方法點(diǎn)睛：點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的計(jì)算求解步驟：（1）設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)，（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)，（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上和兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為這兩個(gè)條件建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，利用該方程組即可求解.（4）遇特殊直線如或一般直接得解.11.如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（）A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若，則三棱錐的體積最大值是【正確答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可判斷選項(xiàng)；做出截面求得截面面積可判斷B；利用線線平行可得線面平行判斷C，求得P的軌跡方程可求得三棱錐的體積最大值判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，對A選項(xiàng)，，則直線與所成角為，故A錯(cuò)誤；對B選項(xiàng)，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，延長一定與CD交于一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，則過點(diǎn)作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，又，根據(jù)題意可得，設(shè)，又，∴，整理得，∴在正方形面內(nèi)(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點(diǎn)，令，可得，∴當(dāng)為圓與線段的交點(diǎn)時(shí)，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法研究點(diǎn)線面的位置關(guān)系及數(shù)量計(jì)算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線：，則直線過定點(diǎn)________；若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有________條．【正確答案】①.?1,1②.【分析】可化為，令，解出即可得空一；計(jì)算出直線橫縱截距后，結(jié)合面積公式計(jì)算即可得空二.【詳解】由，得，令，解得，所以直線l過定點(diǎn)?1,1；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線l與x軸沒有交點(diǎn)，所以，在中，令，得，令，得，依題意得，解得或，所以滿足條件的直線l有條.故?1,1；.13.已知圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑；由可利用面積橋?qū)⑥D(zhuǎn)化為，當(dāng)最小時(shí)，為圓心到直線的距離，由此可求得結(jié)果.【詳解】由得：，圓心，半徑.，，為線段的垂直平分線，，若最小，則最小，，.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查切線長最小值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺蟮拈L度之積轉(zhuǎn)化為四邊形面積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為切線長最小值的求解問題.14.如圖，在棱長為4的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且，則線段的長度的取值范圍是______．【正確答案】【分析】首先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)的軌跡方程，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，求線段長度的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，又，所以，即，則．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF，所以，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以線段的長度的取值范圍是．故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）過點(diǎn)P作圓C的切線l，求出l的方程；（2）設(shè)A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，G為三角形APQ的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程．【正確答案】（1）或；（2）．【分析】（1）分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；（2）設(shè)，，結(jié)合重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)求解即可.【小問1詳解】由C：，則圓心，半徑，當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，符合題意；當(dāng)切線l的斜率存在時(shí),則設(shè)切線l的方程為，即，所以，解得，此時(shí)切線l的方程為，即.綜上所述，切線l的方程為或.【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?，G為三角形APQ的重心，所以，即，由A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，得，則，整理得，即動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為．16.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE為矩形，平面平面，，點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)．（1）求平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值；（2）求出直線CD到平面MAB的距離．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)得線面垂直，利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面MAB與平面EAD的法向量，再求解夾角即可得；（2）由線面平行關(guān)系，將直線CD到平面MAB的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用法向量求解可得.【小問1詳解】因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，，，，如圖，過C作交AB于G，則四邊形是平行四邊形.可得，.在中，由余弦定理得，所以，得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則.如圖，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面MAB的法向量為，則，取，得，設(shè)平面EAD的法向量為，則，取，得，所以．所以平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值為．【小問2詳解】由，平面，平面，則平面.則直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，，平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離.故直線CD到平面MAB的距離為.17.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，滿足直線與的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線和的斜率之積為，試證明直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．【正確答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)為【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件建立方程，再化簡求解即可.（2）聯(lián)立方程組并利用韋達(dá)定理表示出，，再結(jié)合給定條件得到之間的關(guān)系，進(jìn)而求出定點(diǎn)即可.【小問1詳解】設(shè)，由題意得，化簡得到，所以曲線C的軌跡方程為．【小問2詳解】因?yàn)橹本€和的斜率之積為，所以直線的斜率存在,設(shè)，Mx1,y由，消得到，則Δ=64k2b2而，，化簡整理得到，得到或，當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)．18.圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大?。蝗舨淮嬖?，說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可證得為等邊三角形，取中點(diǎn)，由等腰三角形三線合一和勾股定理可證得、，由線面垂直和面面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)存在且，由共線向量可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法可求得，進(jìn)而由二面角的向量求法求得結(jié)果.【小問1詳解】在圖中取中點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，又，為等邊三角形；又，為等邊三角形；在圖中，取中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，，，又，，，又，平面，平面，平面，平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)棱上存在點(diǎn)且滿足題意，即，解得：，即，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，到平面的距離為，解得：，，又平面的一個(gè)法向量，，又二面角為銳二面角，二面角的大小為.19.已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn)．（1）求的方程．（2）記和分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．設(shè)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)不為．直線交橢圓于點(diǎn)（異于），直線交橢圓于點(diǎn)（異于）．若的中點(diǎn)為，求三角形面積的最大值．【正