滬科版七年級數(shù)學下冊第八章整式乘法與因式分解教學課件

8.1冪的運算第八章整式乘法與因式分解第1課時同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2同底數(shù)冪的乘法冪的乘方積的乘方知識點同底數(shù)冪的乘法知1－講1?冪的運算性質(zhì)1(同底數(shù)冪的乘法法則)?同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加

.用字母表示：am·an=am+n(

m，n

都是正整數(shù))

.示例：am·an=am+n(m，n

都是正整數(shù))知1－講特別解讀1.運用此運算性質(zhì)有兩個關鍵條件：一是底數(shù)相同；二是乘法運算，兩者缺一不可.2.指數(shù)相加的和作為積中冪的指數(shù)，即運算結(jié)果仍然是冪的形式.3.單個字母或數(shù)字可以看成指數(shù)為1的冪，運算時易漏掉.知1－講2.運算性質(zhì)的拓展運用(1)同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)對于三個及三個以上同底數(shù)冪相乘同樣適用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p

都是正整數(shù)).(2)同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n

都是正整數(shù)).●●知1－講例1[母題教材P52例1]計算：(1)

108×102；

(2)

x7·x；

(3)

an+2·an

－1；解題秘方：緊扣同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)進行計算.解：

108×102=108+2=1010；x7·x=x7+1=x8；an+2·an

－1

=an+2+n－1=a2n+1；知1－講(4)－x2·(－x)

8；

(5)(x+3y)

3·(x+3y)

2·(x+3y)；(6)

(x－y)

3·(y

－x)

4.解：

－x2·(－x)

8=－x2·x8=－x10；(x+3y)

3·(x+3y)

2·(x+3y)=(x+3y)

3+2+1=(x+3y)

6；

(x－y)

3·(y

－x)

4=(x－y)

3·(x－y)

4=(x－y)

7.知1－講特別提醒：運用同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)時應注意以下幾點：1.底數(shù)既可以是單項式也可以是多項式，當?shù)讛?shù)是多項式時，應將多項式看成一個整體進行計算.2.底數(shù)不同時，若能化成相同底數(shù)，則先轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪，再按運算性質(zhì)進行計算.知1－練感悟新知

知1－講例2(1)若am=2，an=8，求am+n

的值.(2)已知2x=3，求2x+3的值.解題秘方：逆用同底數(shù)冪的乘法法則，即am+n=am·an(m、n

都是正整數(shù))..解：

因為am=2，an=8，所以am+n=am·an=2×8=16.知1－練感悟新知解法提醒此題逆用同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)，將冪am+n，2x+3

轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法，然后把已知條件整體代入求值，體現(xiàn)了整體思想的應用.知1－講解：

因為2x=3，所以2x+3=2x·23=3×8=24.

(2)已知2x=3，求2x+3的值.知識點冪的乘方知2－講21.冪的運算性質(zhì)2(冪的乘方)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.●●●●●●用字母表示:(am)n=amn(m、n

是正整數(shù)).示例：(

am)

n=amn(

m，n

都是正整數(shù))●●知2－講特別解讀1.“底數(shù)不變”是指冪的底數(shù)a不變，“指數(shù)相乘”是指冪的指數(shù)m與乘方的指數(shù)n相乘.2.底數(shù)可以是一個單項式，也可以是一個多項式.知2－講2.運算性質(zhì)的拓展運用(1)冪的乘方運算性質(zhì)的推廣：［(am)n］p=amnp(m、n、p都是正整數(shù))；(2)冪的乘方運算性質(zhì)既可以正用，也可以逆用，逆用時amn=(am)n=(an)m(m、n

都是正整數(shù)).●●例3[母題教材P54例2、例3]計算：(

a2

)

3；(2)［(

x

－2y

)

3］4；(3)［(－x

)

3］4；(4)

x2·x4+

(

x2

)

3.解題秘方：緊扣冪的乘方運算性質(zhì)進行計算.知2－練知2－練感悟新知解法提醒用冪的乘方法則計算時，不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆，其相同點都是底數(shù)不變，不同點是同底數(shù)冪的乘法為指數(shù)相加，而冪的乘方為指數(shù)相乘.解：(

a2

)

3=a2×3=

a6；???

［(

x

－2y

)

3］4

=(

x

－2y

)

3×4=(

x

－2y

)

12；(3)［(－x

)

3］4；=(－x

)

3×4=(－x

)

12=x12；

(4)

x2·x4+

(

x2

)

3=x6+x6=2x6.出現(xiàn)混合運算時，先算乘方，再算乘法，最后算加法.知2－練例4已知a2n=3，求a4n－a6n

的值.解題秘方：此題已知a2n=3，需逆用冪的乘方運算性質(zhì)把a4n－a6n用a2n表示，再把a2n=3整體代入求值.知2－練解：

a4n－a6n

=(a2n)2－(a2n)3=32

－33=9－27=－18.知2－練方法提醒逆用冪的乘方法則求式子值的方法：把指數(shù)是積的形式的冪寫成冪的乘方，如am·an=am+n(

m，n

都是正整數(shù))

，然后整體代入，求式子的值．知2－練知3－講知識點積的乘方3冪的運算性質(zhì)3(積的乘方)積的乘方等于各因式乘方的積.用字母表示:(ab)

n=anbn(

n

為正整數(shù))

.示例：(ab)

n=anbn(

n

為正整數(shù))特別提醒1.積的乘方的前提是底數(shù)是乘積的形式，每個因式可以是單項式，也可以是多項式.2.積的乘方的底數(shù)為乘積的形式，若底數(shù)為和的形式則不能用，即(a+b)n≠an+bn.知3－講▲▲▲▲▲知3－講2.運算性質(zhì)的拓展運用(1)積的乘方運算性質(zhì)的推廣：(abc)n=anbncn(n

為正整數(shù))；(2)積的乘方運算性質(zhì)既可以正用，也可以逆用，逆用時anbn=(ab)n(n

為正整數(shù)).

例5解題秘方：運用積的乘方、冪的乘方的運算性質(zhì)進行計算.知3－練解：(

x·y3

)

2

=x2·(

y3

)

2=x2y6.

解法提醒利用積的乘方法則計算時，要先確定積中的因式，然后將每個因式都乘方，最后求出所有冪的積.知3－練

解：(－3×102

)

3=

(－3

)

3×

(102

)

3=－27×106=－2.7×107；

解：(－a2b3

)

3

=

(－1

)

3·(

a2

)

3·(

b3

)

3=－a6b9.系數(shù)乘方時，要帶上前面的符號，特別是系數(shù)為－1時，不要漏掉.知3－練(4)(－a2b3

)

3.例6

知3－練解題秘方：緊扣“兩底數(shù)互為倒數(shù)(或負倒數(shù))，且指數(shù)又是相同的”這一特征，逆用積的乘方運算性質(zhì)進行計算.知3－練感悟新知解法提醒求指數(shù)相同的幾個冪相乘的方法：當指數(shù)相同的兩個或幾個冪相乘時，如果底數(shù)的積容易求出，利用anbn=(ab)

n(

n

為正整數(shù))可先把底數(shù)相乘再進行乘方運算，從而使運算簡便.

知3－練

解：

48×0.258=

(4×0.25

)

8=18=1；同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方同底數(shù)冪的乘法底數(shù)與指數(shù)的變化關鍵點積的乘方冪的乘方8.1冪的運算第八章整式乘法與因式分解第2課時同底數(shù)冪的除法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2同底數(shù)冪的除法零次冪負整數(shù)次冪用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)知識點同底數(shù)冪的除法知1－講1冪的運算性質(zhì)4(同底數(shù)冪的除法)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.●●●●●●●●用字母表示：am÷an=am-n(a≠0，m、n

是正整數(shù)，且m>n).知1－講2.運算性質(zhì)的拓展運用(1)運算性質(zhì)的推廣：適用于三個及三個以上的同底數(shù)冪相除，即am÷an÷ap=am-n-p(a≠0，m、n、p是正整數(shù)，且m>n+p)；(2)同底數(shù)冪的除法法則既可以正用，也可以逆用，即am-n=am÷an(a

≠0，m、n是正整數(shù)，且m>n).●●知1－講特別解讀1.運用法則的條件有兩個：一是底數(shù)相同，二是除法運算，二者缺一不可.2.底數(shù)a

可以是單項式，也可以是多項式，但底數(shù)a

不能為0.知1－講[母題教材P57例6]計算：(1)

(－x)

8÷(－x)

4；(2)

(

x－y)

7÷(

y－x)

5.解題秘方：緊扣“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”計算.解：(－x)

8÷(－x)

4=(－x)

8-4=(－x)

4=x4；例1知1－講解：

(

x－y)

7÷(

y－x)

5=(

x－y)7÷［－

(

x－y)5］=－

(

x－y)7-5=－

(

x－y)2.(2)

(

x－y)

7÷(

y－x)

5.知1－練感悟新知方法點撥1.底數(shù)互為相反數(shù)的相同偶次冪相等，相同奇次冪互為相反數(shù)，即：(a－b)2n=(b－a)2n，(a－b)2n+1=－(ba)2n+1.2.底數(shù)互為相反數(shù)的冪相除，先化為同底數(shù)冪，再運用運算性質(zhì)計算.知1－講已知xm=9，xn=27，求x3m-2n

的值.例2解題秘方：逆用同底數(shù)冪的除法法則，即am-n=am÷an(a≠0，m，n是正整數(shù)，且m>n)，進行變形求值.知1－講解：x3m-2n

=x3m÷x2n=

(

xm

)

3÷

(

xn

)

2=93÷272=1.93÷272=（32）3÷（33）2=36÷36=1方法點撥：逆向運用同底數(shù)冪的乘除法法則和冪的乘方法則求值的方法：當冪的指數(shù)是含有字母的加法時，通常轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法；當冪的指數(shù)是含有字母的減法時，通常轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法；當冪的指數(shù)是含有字母的乘法時，通常轉(zhuǎn)化為冪的乘方，然后逆用法則并整體代入求值.知1－講知1－練感悟新知解法提醒觀察x3m-2n

的特征可以發(fā)現(xiàn)，其指數(shù)里含減號，可逆用同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)解題.感悟新知知2－講知識點零次冪21.零次冪的推導同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，那么根據(jù)除法的意義可知所得的商為1.另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法法則來計算，那么又有am÷am=am-m=a0，故a0=1.感悟新知知2－講2.零次冪任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.用字母表示：a0=1(a

≠0)

.知2－講感悟新知特別解讀1.零指數(shù)冪在同底數(shù)冪的除法中，是除式與被除式的指數(shù)相同時的特殊情況.2.指數(shù)為0，但底數(shù)不能為0，因為底數(shù)為0時，除法無意義.感悟新知知2－練

例3知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)零次冪及算術平方根有意義的條件確定x

的取值范圍.

答案：B知2－練感悟新知

感悟新知知2－練

例4

解題秘方：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，任何不為0的數(shù)的零次冪都等于1.

知2－練感悟新知易錯警示對零指數(shù)冪的規(guī)定記憶不清，容易出現(xiàn)零指數(shù)冪的結(jié)果為0的錯誤.感悟新知知3－講知識點負整數(shù)次冪3

感悟新知知3－講2.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)

am·an=am+n(a

≠0，m，n

都是整數(shù))；(2)(am)

n=amn(a

≠0，m，n

都是整數(shù))；(3)(ab)

n=anbn(a

≠0，b≠0，n

是整數(shù))；(4)

am÷an=am-n(

a≠0，m，n

都是整數(shù))

.知3－講感悟新知

知3－練感悟新知

例56解題秘方：根據(jù)各個運算法則進行計算.

知3－練感悟新知

感悟新知知4－講知識點用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)41.科學記數(shù)法絕對值小于1的數(shù)可記成±a×10-n

的形式，其中1≤a<10，n是正整數(shù)，n

等于原數(shù)中第一個不等于零的數(shù)字前面的零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個零)，這種記數(shù)方法也是科學記數(shù)法.感悟新知知4－講2.用科學記數(shù)法表示小于1的正數(shù)的一般步驟(1)

確定a：a

是絕對值大于或等于1且小于10的數(shù).(2)

確定n：確定n

的方法有兩個，即①n等于原數(shù)中第一個不等于零的數(shù)字前面的零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個零)；②小數(shù)點向右移到第一個不等于零的數(shù)字后，小數(shù)點移動了幾位，n就等于幾.(3)將原數(shù)用科學記數(shù)法表示為a×10-n(其中1≤a<10，n

是正整數(shù))

.知4－講感悟新知特別提醒用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)時，10的指數(shù)是負數(shù)，一定不要忘記指數(shù)n前面的負號.感悟新知知4－練用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)0.000003；(2)－0.0000208；(3)0.00000000467.例6

解題秘方：按照科學記數(shù)法的要求，將各數(shù)寫成±a×10-n

的形式，其中1≤a<10，n

是正整數(shù).知4－練感悟新知解：(1)

0.000003=3×10－6；3前面有6個0(2)－0.0000208=－2.08×10－5；2前面有5個0(3)

0.00000000467=4.67×10－9.4前面有9個0知4－練感悟新知教你一招用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)的方法：用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)時，一般形式為±a×10-n，其中1≤|a|<10，n

是正整數(shù)，n

由原數(shù)中左起第一個不為0的數(shù)字前面的0的個數(shù)(包括小數(shù)點前的一個0)所決定.感悟新知知4－練將下列用科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù).(1)

6×10－4；(2)－7.2×10－5；(3)5.68×10－6.例7解題秘方：把用科學記數(shù)法表示的絕對值小于1的數(shù)還原時，指數(shù)的絕對值是幾，小數(shù)點就向左移動幾位.知4－練感悟新知－7.2×10－5=－0.000072；6×10－4；(2)－7.2×10－5；(3)5.68×10－6.5.68×10－6=0.00000568.解：6×10－4=0.0006；知4－練感悟新知方法點撥把用科學記數(shù)法表示的絕對值小于1的數(shù)還原的方法：把a×10－

n(其中1≤｜a｜<10，n

是正整數(shù))還原成原數(shù)時，只需把a的小數(shù)點向左移動n位即可.感悟新知知4－練計算：(1)

(3×10－4)

2×(2×10－6)

3；(2)(8×10－7)

2÷(2×10－3)

3.例8

解題秘方：先計算乘方，再計算乘除.解：(3×10－4)

2×(2×10－6)

3=9×10－8×8×10－18=(9×8)×(10－8×10－18)=7.2×10－25；知4－練感悟新知解：(8×10－7)

2÷(2×10－3)

3=(64×10－14)÷(8×10－9)=(64÷8)×(10－14÷10－9)=8×10－5.(2)(8×10－7)

2÷(2×10－3)

3.知4－練感悟新知解法提醒計算有關科學記數(shù)法表示的數(shù)的算式時，乘方運算用積的乘方法則，乘除運算用同底數(shù)冪的乘除法法則，計算的結(jié)果也應該用科學記數(shù)法的形式表示.同底數(shù)冪的除法負整數(shù)次冪用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)同底數(shù)冪的除法零次冪運算性質(zhì)8.2整式乘法第八章整式乘法與因式分解逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2單項式與單項式相乘單項式與多項式相乘多項式與多項式相乘知識點單項式與單項式相乘知1－講11.單項式乘法法則單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.知1－講2.單項式與單項式相乘的步驟(1)確定積的系數(shù)，積的系數(shù)等于各單項式系數(shù)的積；(2)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里.知1－講3.單項式乘法法則的實質(zhì)是乘法交換律、乘法結(jié)合律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合運用.知1－講特別提醒1.單項式與單項式相乘的結(jié)果仍為單項式.2.只在一個單項式里含有的字母，寫積時不要遺漏.3.單項式乘法法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用.知1－講

例1

解題秘方：緊扣單項式乘法法則，并按步驟進行計算.知1－講

知1－講解：

5a3b·(－3b

)

2+

(－6ab

)

2·(－ab

)－ab3·(－4a

)

2=5a3b·9b2+36a2b2·(－ab

)－ab3·16a2=45a3b3

－36a3b3

－16a3b3=－7a3b3.(3)

5a3b·(－3b

)

2+

(－6ab

)

2·(－ab

)－ab3·(

－4a

)

2.知1－練感悟新知解法提醒

(1)(2)兩題可按單項式與單項式相乘的法則直接進行計算，即把系數(shù)與同底數(shù)的冪分別相乘，(3)題是混合運算，要注意運算順序，應先算乘方，再算乘法，最后算加減法.單項式與單項式相乘時，要依據(jù)其法則依次計算，特別要注意積的符號，凡是在單項式里出現(xiàn)過的字母，在其結(jié)果里也應全都有，不能漏掉．知識點單項式與多項式相乘知2－講2單項式與多項式的乘法法則?單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.用字母表示為n(a+b+c)=na+nb+nc．●●●

2.單項式與多項式相乘的幾何解釋如圖8.2-1，大長方形的面積可以表示為p(a+b+c)，也可以將大長方形的面積視為三個小長方形的面積之和，即pa+pb+pc.所以p(a+b+c)=pa+pb+pc.知2－講知2－講特別解讀1.單項式與多項式相乘，實質(zhì)上是利用乘法分配律將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式相乘

.2.單項式與多項式相乘的結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同.知2－講[母題教材P68例3]計算：(1)(－3x)(－2x2+1)；解：(－3x)(－2x2+1)=(－3x)·(－2x2)+(－3x)×1=6x3－3x；例2解題秘方：用單項式乘多項式的法則進行計算.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知識點多項式與多項式相乘知3－講31.多項式與多項式的乘法法則

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.用字母表示為(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.2.多項式與多項式相乘的幾何解釋如圖8.2-2，大長方形的面積可以表示為(a+b)(p+q)，也可以將大長方形的面積看成四個小長方形的面積之和，即ap+aq+bp+bq.所以(a+b)(p+q)=

ap+aq+bp+bq.知3－講知3－講特別解讀1.多項式乘多項式法則的實質(zhì)是將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化為幾個單項式相乘的和的形式.2.多項式與多項式相乘的結(jié)果仍為多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應該是兩個多項式的項數(shù)之積.知3－講計算：(1)(x－4)(x+1)；解：

(x－4)(x+1)=x2+x－4x－4=x2－3x－4；解題秘方：緊扣多項式與多項式的乘法法則，用“箭頭法”進行計算.例3知3－練感悟新知方法點撥(x+a)

(x+b)型的多項式乘法，直接用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

計算，更簡便.知3－講(2)(3x+2)(2x－3)；解：

(3x+2)(2x－3)=3x·2x+3x×(－3)+2×2x+2×(－3)=6x2－9x+4x-6=6x2－5x－6；此處切忌犯如下錯誤：（3x+2）（2x－3）=3x·2x+2×（－3）=6x2－6.知3－講(3)(x+2)(x2

－2x+4).解：(x+2)(x2

－2x+4)=x·x2+x·(－2x)+x×4+2·x2+2×(－2x)+2×4=x3

－2x2+4x+2x2

－4x+8=x3+8.知3－練感悟新知另解可以將x2－2x+4看成一個整體，利用分配律計算：(x+2)(x2－2x+4)=x(x2－2x+4)+2（x2－2x+4）=x3－2x2+4x+2x2－4x+8=x3+8.知3－練感悟新知教你一招：用“箭頭法”解多項式乘多項式的問題多項式與多項式相乘，為了做到不重不漏，可以用“箭頭法”標注求解，如計算(

x－2y)(5a－3b)

時，可作標注：(

x－2y)(5a－3b)，根據(jù)箭頭指示，即可得到x·5a，x·(－3b)，(－2y)

·5a，(－2y)

·(

－3b)，把各項相加，繼續(xù)求解即可.整式乘法轉(zhuǎn)化多項式與單項式相乘整式乘法單項式與單項式相乘多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化8.3完全平方公式與平方差公式第八章整式乘法與因式分解逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2完全平方公式平方差公式添括號知1－講感悟新知知識點完全平方公式11.完全平方公式兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和加(或減)這兩個數(shù)乘積的2倍.用字母表示：(

a+b)

2=a2+2ab+b2，(

a－b)

2=a2－2ab+b2.感悟新知知1－講特別解讀1.公式的特征：公式的左邊是一個二項式的完全平方，公式的右邊是一個三項式，其中兩項是左邊二項式的各項的平方和，另一項是這兩項的乘積的2倍.2.理解字母a，b

的意義：公式中的字母a，b可以表示具體的數(shù)，也可以表示含字母的單項式或多項式.3.口訣記憶：頭平方和尾平方，頭(乘)尾兩倍在中央，中間符號照原樣.感悟新知2.完全平方公式的幾種常見變形公式(1)

a2+b2=(a+b)

2

－2ab=(

a－b)

2+2ab；(2)

(a+b)

2=(

a

－b)

2+4ab；(3)

(a

－b)

2=(a+b)

2

－4ab；(4)

(a+b)

2+(

a

－b)

2=2(a2+b2)；知1－講感悟新知

知1－講知1－練感悟新知[母題教材P75例1、例2]計算：(1)

(

x+7y)

2；????例1解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進行計算.解：(

x+7y)

2=x2+2·x·(7y)

+(7y)

2=x2+14xy+49y2；知1－練感悟新知解：(－4a+5b)

2=(5b－4a)

2=(5b)

2－2·(5b)

·(4a)

+(4a)

2=25b2

－40ab+16a2；

(2)(－4a+5b)

2；知1－練感悟新知解：(－2m

－n)

2=(2m+n)

2=(2m)

2+2·(2m)

·n+n2=4m2+4mn+n2；(3)(－2m

－n)

2；??知1－練感悟新知解：(2x+3y)(－2x

－3y)

=－(2x+3y)

2=－［(2x)

2+2·(2x)

·(3y)

+(3y)

2］=－(4x2+12xy+9y2)=－4x2

－12xy

－9y2.(4)

(2x+3y)(－2x

－3y)

.兩個二項式相乘，若兩項都相同或都互為相反數(shù)，則用完全平方公式計算.知1－練感悟新知方法點撥1.利用完全平方公式進行整式運算的基本步驟：(1)確定公式中的a、b；(2)確定和差關系；(3)選擇公式；(4)計算結(jié)果.

2.兩個易錯點：(1)套用公式時千萬不能漏掉“2ab”項；(2)兩個平方項的底數(shù)要帶上括號.知1－練感悟新知[母題教材P77練習T2(2)]計算：(1)9952；例2

解題秘方：將原數(shù)轉(zhuǎn)化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計算即可.解：9952=(1000－5)

2=10002－2×1000×5+52=1000000－10000+25=990025；知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法點撥利用完全平方公式進行數(shù)值運算時，主要是將底數(shù)拆成兩個數(shù)的和或差，拆分時主要有兩種形式：1.將與整十、整百或整千接近的數(shù)拆分成整十、整百或整千的數(shù)與相差的數(shù)的和或差；2.將帶分數(shù)拆分成整數(shù)部分與真分數(shù)的和或差.感悟新知知2－講知識點平方差公式21.平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.用字母表示：(

a+b)(a－b)

=a2－b2.感悟新知知2－講2.平方差公式的幾種常見變化及應用變化形式應用舉例(1)位置變化(b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2(2)符號變化(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b)2－a2=b2－a2(3)系數(shù)變化(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2(4)指數(shù)變化(a3+b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2=a6－b4(5)增項變化(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2(6)連用公式(a+b)(a－b）(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4

知2－講感悟新知特別解讀1.公式的特征：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).等號右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方減去相反項的平方.2.理解字母a，b

的意義：平方差公式中的a，b

既可代表一個單項式，也可代表一個多項式.感悟新知知2－練計算：(1)(5m－3n)(5m+3n)；例3解：(5m

－3n)(5m+3n)=(5m)

2

－(3n)

2=25m2

－9n2；知2－練感悟新知解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”，然后根據(jù)平方差公式進行計算.知2－練感悟新知解法提醒運用平方差公式計算的3個關鍵步驟：第1步：利用加法的交換律調(diào)整兩個二項式中項的位置，使之與公式左邊相對應，已對應的就不需調(diào)整，如(1)(2)不需調(diào)整，(3)(4)就必須調(diào)整.第2步：找準公式中的a、b

分別代表哪個單項式或多項式.第3步：套用公式計算，注意將底數(shù)帶上括號.如(1)中(5m)

2不能寫成5m2.知2－練感悟新知解：(－2a2+5b)(－2a2－5b)=(－2a2)

2

－(5b)

2=4a4－25b2；

(2)

(－2a2+5b)(－2a2－5b)；知2－練感悟新知

(－3y－4x)(3y－4x)

=(

－4x

－3y)(

－4x+3y)=(

－4x)

2

－(3y)

2=16x2

－9y2.感悟新知知2－練[母題教材P77練習T2(1)]計算：(1)

10.3×9.7；例4

解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進行計算.解：10.3×9.7=(10+0.3)×(10－0.3)=102－0.32=100－0.09=99.91；知2－練感悟新知解：2023×2025－20242=(2024－1)×(2024+1)－20242=20242－1－20242=－1.(2)2023×2025－20242.知2－練感悟新知方法點撥運用平方差公式計算兩數(shù)乘積時，關鍵是找到這兩個數(shù)的平均數(shù)，再將原數(shù)與這個平均數(shù)進行比較，變成兩數(shù)的和與差的積的形式.感悟新知知3－講知識點添括號31.添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不改變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都要改變符號.用字母表示：a+b+c=a+(

b+c)

=a－(

－b－c)；a－b－c=a－(b+c)

=a+(－b－c)

.感悟新知知3－講2.添括號法則的應用添括號在利用乘法公式的計算中應用廣泛，利用添括號使原式變成符合乘法公式的形式，特別是利用“括號前面是負號的時候，括到括號里的各項都要改變符號”來變形.知3－講感悟新知特別解讀1.添括號只是一個變形，不改變式子的值.2.添括號是否正確，可利用去括號檢驗.知3－練感悟新知[母題教材P77例4(1)P78例5]計算：(1)

(2x－y+4)(2x+y－4)；例5解：(2x－y+4)(2x+y－4)=［2x－(

y－4)］［2x+(

y－4)］=(2x)

2－(

y－4)

2=4x2－y2+8y－16；知3－練感悟新知解題秘方：先通過添括號把式子轉(zhuǎn)化為符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式進行計算.知3－練感悟新知方法點撥兩個三項式相乘，各項既有符號相同的也有符號不同的，可通過變形用平方差公式計算.確定平方差公式中的“a”、“b”的方法：完全相同的項為“a”，絕對值相同符號相反的項為“b”.三個數(shù)和的完全平方，利用添括號和整體思想轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)和的完全平方進行計算，也可以直接套用三個數(shù)和的完全平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac進行計算.知3－練感悟新知解：(

m－2n+1)(－2n－1+m)=［(

m

－2n)

+1］［(

m

－2n)

－1］=(

m

－2n)

2

－12=m2

－4mn+4n2

－1；(2)

(

m－2n+1)(－2n－1+m)；知3－練感悟新知解：

(2a+3b－1)(1－2a－3b)=(2a+3b

－1)［－(2a+3b

－1)］=－［(2a+3b)

－1］2=－［(2a+3b)

2

－2(2a+3b)

+12］=－(4a2+12ab+9b2－4a

－6b+1)=－4a2

－12ab

－9b2+4a+6b

－1=－4a2

－9b2－12ab+4a+6b

－1；(3)(2a+3b－1)(1－2a－3b)；知3－練感悟新知解：(3a－b+c)

2=［(3a

－b)

+c］2=(3a

－b)

2+2c(3a

－b)

+c2=9a2

－6ab+b2+6a

－2bc+c2=9a2+b2+c2

－6ab+6ac

－2bc.(4)(3a－b+c)

2.完全平方公式與平方差公式添括號乘法公式完全平方公式平方差公式8.4因式分解第八章整式乘法與因式分解第1課時提公因式法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知1－講感悟新知知識點因式分解11.定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫作因式分解，也叫作把這個多項式分解因式.感悟新知

知1－講感悟新知知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項式，結(jié)果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個多項式的因式都不能再分解為止.知1－練感悟新知

例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣因式分解的定義進行識別.解法提醒識別因式分解的兩個關鍵詞：“多項式”說明等式的左邊是多項式，即分解的對象是多項式.“整式的積”說明右邊的結(jié)果是整式的積.一句話：因式分解是整式的和差化積的變化過程.知1－練感悟新知

答案：D知1－練感悟新知

例2

知1－練感悟新知解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關系進行判斷.思路點撥還沒有學習因式分解的方法，要判斷因式分解的正確性，可以通過逆向變形(整式乘法)檢驗因式分解是否正確.知1－練感悟新知解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項B.答案：B知1－練感悟新知

例3知1－練感悟新知解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出多項式，并與已知多項式進行比較，從而解決問題.知1－練感悟新知問題：(1)

若二次三項式x2－5x+6可分解為(

x－2)

·(x+a)，則a=______；(2)

若二次三項式2x2+bx－5可分解為(2x－1)(

x+5)，則b=_______；(3)已知二次三項式2x2+5x－k

分解因式后有一個因式為2x－3，求其另一個因式及k

的值.－39知1－練感悟新知

知1－練感悟新知一題多解因式分解是恒等變形，利用恒等式的性質(zhì)還有另一種解法：恒等式的性質(zhì)：等式中的字母無論取何值時等式都成立.如：x2－4x+m=(x+3)(x+n)，將x=－3代入左右兩邊得9+12+m=0，解得m=－21.同樣可利用此方法解決(1)，(2)，(3)題，同學們可以自己試一試.感悟新知知2－講知識點公因式21.公因式的定義多項式的每一項都含有的相同因式，叫作各項的公因式.感悟新知知2－講2.公因式的確定(1)確定公因式的系數(shù)，若多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)，則取各項系數(shù)的最大公因數(shù)．(2)確定字母及字母的指數(shù)，取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項相同字母的指數(shù)取其中次數(shù)最低的.(3)若多項式各項中含有相同的多項式因式，則應將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式.如3x(

x－y)

+x2(

x－y)的公因式是x(

x－y)

.知2－講感悟新知特別解讀1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.只在某個或某些項中含有而其他項中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.公因式可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式．感悟新知知2－練指出下列多項式各項的公因式：4xy3－8x3y2；(2)

3a2y－3ay+6y；例4

解：(1)中各項的公因式為4xy2.(2)中各項的公因式為3y.解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練感悟新知解法提醒1.若多項式中首項的符號是“-”，則公因式的符號一般為負.2.若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式.知2－練感悟新知解：(3)中各項的公因式為－9a2b.(3)

－27a2b3+36a3b2+9a2b；(4)

a(x－y)

3+b(x－y)

2+(x－y)

3.(5)

b2(

x

－3)

+b(

3－x)

.(4)中各項的公因式為(

x－y)

2.(5)中各項的公因式為b(x－3).感悟新知知3－講知識點用提公因式法分解因式31.定義一般地，如果多項式的各項含有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫作提公因式法.用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c)

.感悟新知知3－講2.用提公因式法分解因式的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項都含有的公共因式.(2)確定另一個因式：另一個因式即多項式提取公因式后剩下的部分.(3)寫成積的形式.知3－講感悟新知特別解讀1.公因式必須是多項式的每一項都含有的相同的因式.2.多項式有幾項，提出公因式后剩下的另一個因式就有幾項，不能漏項.知3－練感悟新知[母題教材P81例1]將下列各式分解因式：(1)

6x3y2－8xy3z；例5解：6x3y2－8xy3z=2xy2·3x2

－2xy2·4yz=2xy2(3x2

－4yz)

.解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式.知3－練感悟新知解：－4a3b2+12a2b－4ab=－(4a3b2

－12a2b+4ab)=－(4ab·a2b

－4ab·3a+4ab)=－4ab(

a2b

－3a+1)

.(2)－4a3b2+12a2b－4ab.4ab

與公因式相同，提取公因式后，此項剩余部分為“1”，此處容易漏掉“1”這一項而導致出錯．知3－練感悟新知解法提醒當多項式首項系數(shù)是負數(shù)時，一般應先提出“－”，但要注意，此時括號內(nèi)各項都要改變符號

.提公因式法互逆變形檢驗整式乘法公因式因式分解定義提公因式法8.4因式分解第八章整式乘法與因式分解第2課時公式法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式用分組分解法分解因式知1－講感悟新知知識點用平方差公式分解因式11.平方差公式法兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.即：a2－b2=(a+b)(

a－b)

.感悟新知2.平方差公式的特點(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是這兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.知1－講感悟新知3.運用平方差公式分解因式的步驟一判：根據(jù)平方差公式的特點，判斷是否為平方差，若負平方項在前面，利用加法的交換律把負平方項放在后面.二定：確定公式中的“a”

和“b”，除“a”

和“b”是單獨一個數(shù)或字母外，其余不管是單項式還是多項式都必須用括號括起來，表示一個整體.三套：套用平方差公式進行分解.四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡.知1－講感悟新知知1－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式的逆用

.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的條件后，結(jié)果可寫成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數(shù)的和乘兩個數(shù)的差的形式.知1－練感悟新知分解因式：(1)

4x2－25y2；例1解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運用平方差公式分解因式.解：

原式=(2x)

2

－(5y)

2=(2x+5y)(2x

－5y)；知1－練感悟新知解：原式=(a+2+1)(

a+2－1)

=(a+3)(

a+1)；

(2)(a+2)

2－1；知1－練感悟新知

知1－練感悟新知解：原式=［4(a－b)

+5(

a+b)］［4(

a

－b)－5(

a+b)］=(4a

－4b+5a+5b)(4a

－4b

－5a

－5b)=(9a+b)(

－a

－9b)=－(9a+b)(

a+9b)

.(4)16(

a－b)

2－25(

a+b)

2.知1－練感悟新知特別提醒1.確定公式中的“a”和“b”時，不能只看表面，如4x2=(2x)2，則“a”指的是2x；16(a

－b)2=[4(a－b)]2，則“a”指的是4(a

－b).2.平方差公式可以連續(xù)運用.如(3)題，必須做到每個因式都不能再分解為止.3.運用平方差公式分解因式時，若“a”和“b”都是多項式，先要添加括號，再去括號，然后化簡得出最后結(jié)果.感悟新知知2－講知識點用完全平方公式分解因式21.完全平方式形如a2±2ab+b2

的式子叫作完全平方式.完全平方式的條件：(1)是二次三項式.(2)首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“+”，也可以是“－”.感悟新知知2－講2.完全平方公式法兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab+b2=(a±b)

2.感悟新知知2－講3.完全平方公式的特點等號左邊是一個完全平方式，右邊是兩個數(shù)的和(或差)的平方.4.公式法?運用公式(完全平方公式和平方差公式)進行因式分解的方法叫作公式法.感悟新知知2－講5.因式分解的一般步驟(1)當多項式有公因式時，先提取公因式；(2)當多項式?jīng)]有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(3)當乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結(jié)束了.注意：當不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據(jù)多項式的特點，將其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式.知2－講感悟新知特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是乘法公式中的完全平方公式的逆用.2.結(jié)果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“+”，也可以是“－”，而兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進行因式分解.3.用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.感悟新知知2－練已知9a2+ka+16是一個完全平方式，則k

的值是________

.例2±24知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)平方項確定乘積項，進而確定字母的值.解：因為9a2=(3a)2，16=42，9a2+ka+16是一個完全平方式，所以ka=±2×3a·4=±24a.所以k=±24.知2－練感悟新知方