2016年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（北京）（解析卷）

第頁|共頁2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，則A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5} 【考點】1E：交集及其運算．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5J：集合．【分析】由已知條件利用交集的定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故選：C．【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集的定義的合理運用．2．（5分）復(fù)數(shù)=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】將分子分線同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故選：A．【點評】本題考查的知識點是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算，共軛復(fù)數(shù)的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（）A．8 B．9 C．27 D．36 【考點】EF：程序框圖．【專題】11：計算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：當(dāng)k=0時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故S=0，k=1，當(dāng)k=1時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故S=1，k=2，當(dāng)k=2時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故S=9，k=3，當(dāng)k=3時，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的S值為9，故選：B．【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進(jìn)行解答．4．（5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數(shù)的是（）A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x 【考點】3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷．【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，余弦函數(shù)單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項函數(shù)在（﹣1，1）上的單調(diào)性，從而找出正確選項．【解答】解：A．x增大時，﹣x減小，1﹣x減小，∴增大；∴函數(shù)在（﹣1，1）上為增函數(shù)，即該選項錯誤；B．y=cosx在（﹣1，1）上沒有單調(diào)性，∴該選項錯誤；C．x增大時，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上為增函數(shù)，即該選項錯誤；D.；∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，該函數(shù)在（﹣1，1）上為減函數(shù)，∴該選項正確．故選：D．【點評】考查根據(jù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)在一區(qū)間上的單調(diào)性的方法，以及余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)式的運算．5．（5分）圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為（）A．1 B．2 C． D．2 【考點】IT：點到直線的距離公式；J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5B：直線與圓．【分析】先求出圓（x+1）2+y2=2的圓心，再利用點到到直線y=x+3的距離公式求解．【解答】解：∵圓（x+1）2+y2=2的圓心為（﹣1，0），∴圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為：d==．故選：C．【點評】本題考查圓心到直線的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式和圓的性質(zhì)的合理運用．6．（5分）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D． 【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，同此能求出甲被選中的概率．【解答】解：從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，基本事件總數(shù)n==10，甲被選中包含的基本事件的個數(shù)m==4，∴甲被選中的概率p===．故選：B．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若點P（x，y）在線段AB上，則2x﹣y的最大值為（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8 【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式．【分析】平行直線z=2x﹣y，判斷取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如圖A（2，5），B（4，1）．若點P（x，y）在線段AB上，令z=2x﹣y，則平行y=2x﹣z當(dāng)直線經(jīng)過B時截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值為：2×4﹣1=7．故選：C．【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，判斷目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過的點，是解題的關(guān)鍵．8．（5分）某學(xué)校運動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段，表中為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊．學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a﹣1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（）A．2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B．5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C．8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D．9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】2A：探究型；5L：簡易邏輯；5M：推理和證明．【分析】根據(jù)已知中這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，逐一分析四個答案的正誤，可得結(jié)論．【解答】解：∵這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，故編號為1，2，3，4，5，6，7，8的學(xué)生進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽，又由同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則3，6，7號同學(xué)必進(jìn)入30秒跳繩決賽，剩下1，2，4，5，8號同學(xué)的成績分別為：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽，故成績?yōu)?3的同學(xué)必進(jìn)入30秒跳繩決賽，故選：B．【點評】本題考查的知識點是推理與證明，正確利用已知條件得到合理的邏輯推理過程，是解答的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），則與夾角的大小為．【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】11：計算題；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知中向量的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴與夾角θ滿足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案為：．【點評】本題考查的知識點是平面向量的夾角公式，熟練掌握平面向量的夾角公式，是解答的關(guān)鍵．10．（5分）函數(shù)f（x）=（x≥2）的最大值為2．【考點】34：函數(shù)的值域．【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分離常數(shù)便可得到，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性便可判斷該函數(shù)在[2，+∞）上為減函數(shù)，從而x=2時f（x）取最大值，并可求出該最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減；∴x=2時，f（x）取最大值2．故答案為：2．【點評】考查函數(shù)最大值的概念及求法，分離常數(shù)法的運用，以及反比例函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值的方法．11．（5分）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為．【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個以俯視圖為底面四棱柱，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個以俯視圖為底面四棱柱，棱柱的底面面積S=×（1+2）×1=，棱柱的高為1，故棱柱的體積V=，故答案為：【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．12．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為2x+y=0，一個焦點為（，0），則a=1，b=2．【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由雙曲的一條漸近線為2x+y=0，一個焦點為（，0），列出方程組，由此能出a，b．【解答】解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為2x+y=0，一個焦點為（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案為：1，2．【點評】本題考查雙曲線中實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運用．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，則=1．【考點】HP：正弦定理．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；58：解三角形．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判斷三角形的形狀，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，則B==．三角形是等腰三角形，B=C，則b=c，則=1．故答案為：1．【點評】本題考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的判斷，考查計算能力．14．（5分）某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店①第一天售出但第二天未售出的商品有16種；②這三天售出的商品最少有29種．【考點】^7：容斥原理；18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5J：集合．【分析】①由題意畫出圖形得答案；②求出前兩天所受商品的種數(shù)，由特殊情況得到三天售出的商品最少種數(shù)．【解答】解：①設(shè)第一天售出商品的種類集為A，第二天售出商品的種類集為B，第三天售出商品的種類集為C，如圖，則第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3=16種；②由①知，前兩天售出的商品種類為19+13﹣3=29種，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4=14種，當(dāng)這14種商品第一天售出但第二天未售出的16種商品中時，即第三天沒有售出前兩天的商品時，這三天售出的商品種類最少為29種．故答案為：①16；②29．【點評】本題考查集合的包含關(guān)系及其應(yīng)用，考查了集合中元素的個數(shù)判斷，考查學(xué)生的邏輯思維能力，是中檔題．三、解答題（共6小題，滿分80分）15．（13分）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．【考點】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】34：方程思想；48：分析法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，運用通項公式可得q=3，d=2，進(jìn)而得到所求通項公式；（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．【解答】解：（1）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，由b2=3，b3=9，可得q==3，bn=b2qn﹣2=3?3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，則d==2，則an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，則數(shù)列{cn}的前n項和為（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n?2n+=n2+．【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（13分）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【考點】H1：三角函數(shù)的周期性；HM：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）利用倍角公式結(jié)合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[]（k∈Z）．【點評】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了兩角和的正弦，屬中檔題．17．（13分）某市居民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如圖頻率分布直方圖：（1）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？（2）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當(dāng)w=3時，估計該市居民該月的人均水費．【考點】B2：簡單隨機抽樣；B8：頻率分布直方圖．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由頻率分布直方圖得：用水量在[0.5，1）的頻率為0.1，用水量在[1，1.5）的頻率為0.15，用水量在[1.5，2）的頻率為0.2，用水量在[2，2.5）的頻率為0.25，用水量在[2.5，3）的頻率為0.15，用水量在[3，3.5）的頻率為0.05，用水量在[3.5，4）的頻率為0.05，用水量在[4，4.5）的頻率為0.05，由此能求出為使80%以上居民在該用的用水價為4元/立方米，w至少定為3立方米．（2）當(dāng)w=3時，利用頻率分布直方圖能求出該市居民的人均水費．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：用水量在[0.5，1）的頻率為0.1，用水量在[1，1.5）的頻率為0.15，用水量在[1.5，2）的頻率為0.2，用水量在[2，2.5）的頻率為0.25，用水量在[2.5，3）的頻率為0.15，用水量在[3，3.5）的頻率為0.05，用水量在[3.5，4）的頻率為0.05，用水量在[4，4.5）的頻率為0.05，∵用水量小于等于3立方米的頻率為85%，∴為使80%以上居民在該用的用水價為4元/立方米，∴w至少定為3立方米．（2）當(dāng)w=3時，該市居民的人均水費為：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴當(dāng)w=3時，估計該市居民該月的人均水費為10.5元．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查當(dāng)w=3時，該市居民該月的人均水費的估計的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用．18．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求證：DC⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；（3）設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；LQ：平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5Q：立體幾何．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明DC⊥平面PAC；（2）利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面PAC，即可證明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．利用線面平行的判定定理證明．【解答】（1）證明：∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）證明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．∵點E為AB的中點，∴EF∥PA，∵PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF．【點評】本題考查線面平行與垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19．（14分）已知橢圓C：+=1過點A（2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．【考點】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KL：直線與橢圓的綜合．【專題】15：綜合題；34：方程思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由題意可得a=2，b=1，則，則橢圓C的方程可求，離心率為e=；（2）設(shè)P（x0，y0），求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標(biāo)，求得|AN|，|BM|．由，結(jié)合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2．【解答】（1）解：∵橢圓C：+=1過點A（2，0），B（0，1）兩點，∴a=2，b=1，則，∴橢圓C的方程為，離心率為e=；（2）證明：如圖，設(shè)P（x0，y0），則，PA所在直線方程為y=，取x=0，得；，PB所在直線方程為，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四邊形ABNM的面積為定值2．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查計算能力與推理論證能力，是中檔題．20．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍；（3）求證：a2﹣3b＞0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件．【考點】52：函數(shù)零點的判定定理；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】34：方程思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，進(jìn)而得到所求切線的方程；（2）由f（x）