七年級數(shù)學下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題02 平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型（解析版）

專題02平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（鉛筆頭模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023·江蘇南通·校考二模）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A．80°B．120°C．100°D．140°【答案】C【分析】過E作直線MN//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求出∠1，進而可求出∠2，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD，根據(jù)平行線性質(zhì)從而求出∠C．【詳解】解：過E作直線MN//AB，如下圖所示，∵MN//AB，∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點睛】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵．例2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過點作工作籃底部，，

工作籃底部與支撐平臺平行，工作籃底部支撐平臺，，，，，，故選：．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關(guān)鍵．例3．（2023下·江蘇·七年級專題練習）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【答案】B【分析】作CF//ED，利用平行線的性質(zhì)求得β與α，再判斷β與α的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】解：如圖，作CF//ED，

∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°=α，∵ED//CF，∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D=360°=β，∴β＝2α．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟悉運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023下·廣西南寧·七年級?？计谀┤鐖D，如果，那么（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合所作的輔助線，可以得出答案．【詳解】解：過點C作，過點D作．

∵，∴，∴，，,∴故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定的相關(guān)知識點，掌握知識點是解答此題的關(guān)鍵．例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，已知，則的度數(shù)為．

【答案】/60度【分析】根據(jù)平角定義可求出的度數(shù)，如圖所示，過點作，可求出，由此可求，根據(jù)，，可求出的度數(shù)，如圖所示，過點作，可得，由此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，如圖所示，過點作，∵，∴，

∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，如圖所示，過點作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握以上知識的靈活運用是解題的關(guān)鍵．例6．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點E，F(xiàn)分別是直線上的兩點，點P在直線和之間，連接和的平分線交于點Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點P作，過點Q作，可得，從而得到，，，進而得到，再由角平分線的定義可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作，過點Q作，

∵，∴，∴，，，∴，∵和的平分線交于點Q，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題的解．

(1)如圖1，，點E為、之間的一點．求證：．(2)如圖2，，點E、F、G、H為、之間的四點．則______．(3)如圖3，，則______．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)；【分析】（1）過點作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再計算角度和即可證明；（2）分別過點E、F、G、H作的平行線，在兩相鄰平行線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個180°角度和，結(jié)合圖3找出n和線段條數(shù)的關(guān)系便可解答；【詳解】（1）證明：如下圖，過點作，

∵，，∴，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得：，，∴，∴；（2）解：如下圖，分別過點E、F、G、H作，，，，

結(jié)合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：，，，，，將所有角度相加可得：；（3）解：由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個180°角度和，由圖3可知：當、之間有2條線段時，，當、之間有3條線段時，，當、之間有4條線段時，，當、之間有5條線段時，，…，當、之間有條線段時，，∴；【點睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)，歸納總結(jié)的解題思路，通過作輔助線將角度按組計算是解題關(guān)鍵．例8．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖中②，都有，，設鏡子與的夾角．

(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，若，設鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開始反射，經(jīng)過為正整數(shù)，且次反射，當?shù)诖畏瓷涔饩€與入射光線平行時，請直接寫出的度數(shù)可用含有的代數(shù)式表示．【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)或【分析】（1）在中，，，可得，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等可得，，進而可得；（2）在中，，可得，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等可得，，，在中，，可得與的數(shù)量關(guān)系；（3）分兩種情況畫圖討論：當時，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等，及內(nèi)角和，可得當時，如果在邊反射后與平行，則，與題意不符；則只能在邊反射后與平行，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出，可得，由，且由（1）的結(jié)論可得，．【詳解】（1），理由如下：在中，，，，，，，，，，；（2），理由如下：在中，，，，，，，同理可得，，在中，，；（3）或．理由如下：當時，如下圖所示：

，，，，，，則，則，由內(nèi)角和得．當時，如果在邊反射后與平行，由（1）可知，與題意不符；則只能在邊反射后與平行，如下圖所示，設與的延長線交于點G，∵，，∴，∴，∴，由，且由（1）的結(jié)論可得，，則．綜上所述：的度數(shù)為：或．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，注意分類討論思想的利用．例9．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知直線，點P在直線之間，連接．(1)如圖1，若，直接寫出的大小；(2)如圖2，點Q在之間，，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，的角平分線交CD于點M，且，點N在直線之間，連接，，直接寫出的值（用含n的式子表示，題中的角均指大于且小于的角）．【答案】(1)(2)；(3)【分析】（1）過點P作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過點P作，過點Q作，則，，結(jié)合，即可得到結(jié)論；（3）過點P作，則，可得，過點N作，可得，即，結(jié)合，可得，進而可得結(jié)論.【詳解】（1）解：過點P作，則，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：過點P作，過點Q作，則，，∴，∴，即，同理：，∵，∴，∴,∴；（3）解：過點P作，則，∵，∴，即，∵，∴，∴過點N作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加輔助線，理清各個相關(guān)角的關(guān)系是關(guān)鍵.課后專項訓練1．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┤鐖D，在五邊形中，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先過點作，交于點，由，可證得，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可知，，繼而證得結(jié)論．【詳解】解：過點作，交于點，，，，，．故選：B．

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．2．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當時，的度數(shù)為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°【答案】A【分析】根據(jù)入射角等于反射角以及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，入射角等于反射角等知識，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根據(jù)題意作直線l平行于直線l1和l2，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：作直線l平行于直線l1和l2．，．，．故選C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題關(guān)鍵．4．（2023下·河北邯鄲·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，將直線m按箭頭所指方向平移至直線n，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用平移的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：過B作，

由題意可得：,∴，∴，∴，，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2023·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵，過三角板的直角頂點作直尺兩邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再結(jié)合角的和差關(guān)系可得答案.【詳解】解：過三角板的直角頂點作直尺兩邊的平行線，

∵直尺兩邊互相平行，∴，，∵，∴，故選：B．6．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點B作，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出，再解答即可．【詳解】解：過點B作，∴

∵，∴，∴∴，∴，∵∴∵，∴的度數(shù)為．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)求解是解此題的關(guān)鍵．7．（2023下·廣東中山·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知：，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，再根據(jù)角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過點作，

，，，，，，，，，故選：B．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在五邊形中，,，則的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式求得五邊形的內(nèi)角和，再由平行線性質(zhì)求得的和，繼而求得，最后利用角的和差即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形為五邊形，∴其內(nèi)角和為，∵，∴，∴，∴，∵∴故選：C．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·黑龍江綏化·七年級校考期末）如圖，已知，則．

【答案】/540度【分析】可過點，分別作，，進而利用同旁內(nèi)角互補得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點，分別作，，

，，則，，，，故答案為．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的推論，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解決此題的關(guān)鍵．10．（2022上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．11．（2023下·吉林·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，，平分，若，，則．

【答案】50【分析】先根據(jù)平行公理判定，進而利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求解．【詳解】解:如圖，過點作,

∵,，∴,∴,,∵，，∴,,∴,∵平分，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理及角平分線的定義，求出是解題關(guān)鍵．12．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖是某小區(qū)大門的道閘欄桿示意圖，立柱垂直于地面于點A，當欄桿達到最高高度時，橫欄，此時則，．

【答案】150【分析】過點B作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)得出，則，可求出，即可求解．【詳解】解：過點B作，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：150．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握：平行于同一直線的兩直線互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．13．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】/【分析】過C作，過D作，得到，由平行線的性質(zhì)推出，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過C作，過D作，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過點C作，過D作，得到，由平行線的性質(zhì)即可解決問題．14．（2023下·貴州安順·七年級校考階段練習）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=°．【答案】【分析】過點P作平行于AB的直線，運用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和；分別過點P，Q作AB的平行線，運用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運用（n-1）次平行線的性質(zhì)，則n個角的和是．【詳解】解：（1）如圖，過點P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過點P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-2）條輔助線，運用（n-1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n-1）．故答案為：【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．15．（2023下·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，平分，平分，若，則度．【答案】【分析】過點作，利用平行線的性質(zhì)可證得可以得到與的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：過點作，如圖：，，，，的平分線與的平分線相交于點，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導計算，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．16．（2023下·江西南昌·七年級南昌二中校考期中）如圖已知：，，平分，，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中，正確的結(jié)論有．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行公理判斷①；根據(jù)角平分線得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的定義分別得到，，進一步推出，可判斷②；結(jié)合，得到，根據(jù)兩式相減可判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)垂直得到，從而進一步推出，可判斷④．【詳解】解：，，，故①正確；平分，，，，（1），，（2），（1）（2）得，，故②正確；，，平分，，，（3），（1），（3）（1）得，，故③正確；，，，，，，，，，，故④正確．故正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設和結(jié)論，切莫混淆．17．（2023下·江蘇南京·七年級校考階段練習）如圖，在六邊形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140，∠C=165．（1）求∠B的度數(shù)；（2）當∠D=°時，AB∥DE？為什么？【答案】（1）55°；（2）140°【分析】（1）過點B作BM∥AF，則BM∥AF∥CD，∠A=140°，∠C=165°，進而即可求解；（2）延長AB，DC交于點N，由∠ABC=55°，∠BCD=165°,得∠BNC=40°，結(jié)合AB∥DE，即可得到答案．【詳解】（1）過點B作BM∥AF，∵AF∥CD，∴BM∥AF∥CD，∴∠A+∠ABM=180°，∠C+∠CBM=180°，∵∠A=140，∠C=165，∴∠B=∠ABM+∠CBM=360°-∠A-∠C=360°-140°-165°=55°．（2）延長AB，DC交于點N，∵∠ABC=55°，∴∠NBC=125°，∵∠BCD=165°,∴∠NBC165°-125°=40°若AB∥DE，則∠D=180°-40°=140°．故答案是：140°【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是解題的關(guān)鍵．18．（2023下·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，，且，燈A射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．

(1)填空：°；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖3，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達之前，若兩燈發(fā)出的射線與交于點C，過C作交PQ于點D，且，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)60(2)當秒或110秒時，兩燈的光束互相平行(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)，：：，即可得到的度數(shù)；（2）設燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當時，根據(jù)，可得；當時，根據(jù)，可得；（3）設燈射線轉(zhuǎn)動時間為秒，根據(jù)，，即可得出：：，據(jù)此可得和關(guān)系不會變化．【詳解】（1），，，故答案為：；（2）設燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，

當時，如圖，，，，，，解得；當時，如圖，，，，，解得

，綜上所述，當秒或秒時，兩燈的光束互相平行；（3）．理由：設燈射線轉(zhuǎn)動時間為秒，

，，又，，而，，：：，即．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．19．（2023下·七年級課時練習）已知．

(1)如圖①，點C是夾在和之間的一點，當時，垂足為C，你知道是多少度嗎？(2)如圖②，點，是夾在和之間的兩點，請想一想：的度數(shù)為；(3)如圖③，隨著與之間點的增加，那么的度數(shù)為．（不必說明理由）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖所示，過點C作的平行線，則，由平行線的性質(zhì)得到，，進而得到，再由，即可得到．（2）如圖所示，過點作，則，由平行線的性質(zhì)得到，同（1）可得，；（3）由（1）（2）可知，之間每多增加一個點，那么所得角度之和就會增加，據(jù)此規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作的平行線．∵，∴，∴，，∴．又∵，∴．

（2）解：如圖所示，過點作，∵，∴，∴，同（1）可得，∴，∴，故答案為：；

（3）解：由（1）（2）可知，之間每多增加一個點，那么所得角度之和就會增加，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，圖形類的規(guī)律探索，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023下·江蘇·七年級專題練習）已知，連接A，C兩點．(1)如圖1，與的平分線交于點E，則等于度；(2)如圖2，點M在射線反向延長線上，點N在射線上．與的平分線交于點E．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線，射線上的點，與的平分線交于點E．設，請直接寫出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)90(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用角平分線的定義求出，即可求出答案；（2）過點E作，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義求出，即可得到答案；（3）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，∴，∵分別平分，∴，∴，∴；故答案為：90．（2）如圖2，過點E作，∵，∴，∴，∵分別平分，∴，∴；（3）①如圖3，過點E作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖4，過點E作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等．21．（2022下·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)；證明見詳解(3)【分析】（1）過點作，利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；（3）分別過點、點作、，然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】（1）解：如圖過點作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖過點作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如圖分別過點、點作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．22．（2023下·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，過點作，可得．利用平行線的性質(zhì)，可得：與，之間的數(shù)量關(guān)系是________，________．利用上面的發(fā)現(xiàn)，解決下列問題：

（1）如圖2，，點是和平分線的交點，，求的度數(shù)；（2）如圖3，，平分，，平分，若比大，則的度數(shù)是________．【答案】，360；（1）；（2）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可求解；（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)進而即可求解；（2）設，則，，根據(jù)題意列出方程，，解方程即可求解．【詳解】如圖1，，過點作，可得．∴，，∴；，故答案為