2025屆上海市松江區(qū)高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市松江區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，，則______．【答案】【解析】因為集合，，所以.故答案為：.2.若，則______．【答案】【解析】,則，故答案為.3.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：．4.在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則______.【答案】【解析】，，故答案為：5.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】由題意得，，∴.故答案為：.6.已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為______．【答案】4【解析】圓錐的底面半徑，設(shè)其母線長為，則，解得，所以該圓錐的高.故答案為：47.已知，則＝________．【答案】65【解析】令，則有，再令，則有，所以，故答案為：65.8.已知等比數(shù)列中，，則______．【答案】或【解析】因為，所以，因為，所以，解得或．當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以．故答案為：或.9.已知函數(shù)的表達式為，則滿足的實數(shù)m的最大值為______．【答案】【解析】當(dāng)時，有，又定義域為，故為偶函數(shù)，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，故對有，即，即有，解得，故m的最大值為.故答案為：.10.已知點P為橢圓上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為.因為．又因為橢圓的，為橢圓的右焦點，設(shè)Px0,，，所以，，∴．故答案為：11.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為平面向量，的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因為，所以，所以在上的投影為，在上的投影為，所以因為，所以，所以，所以,所以的取值范圍為.故答案為：12.交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成．黃燈設(shè)置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān)．根據(jù)路況不同，道路的限定速度一般在30千米/小時至70千米/小時之間．由相關(guān)數(shù)據(jù)，駕駛員反應(yīng)距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：；剎車距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：，反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離．已知某個十字路口寬度為30米，為保證通行安全，黃燈亮的時間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十字路口，則該路口黃燈亮的時間最多為______秒（結(jié)果精確到0.01秒）．【答案】【解析】依題意當(dāng)小汽車最大限速（約）時，反應(yīng)距離，剎車距離，所以停車距離為，又路口寬度為，所以，所以時間；故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號涂黑．13.已知，以下四個數(shù)中最大的是（）A.b B. C. D.【答案】D【解析】由題意，所以，由基本不等式可得，同時注意到，所以，，而、都是正數(shù)，所以.故選：D.14.漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡．對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：出生時間1965年1月-4月1965年5月-8月1965年9月-12月1966年1月-4月……改革后法定退休年齡60歲＋1個月60歲＋2個月60歲＋3個月60歲＋4個月……那么1974年5月出生的男職工退休年齡為（）A.62歲3個月 B.62歲4個月 C.62歲5個月 D.63歲【答案】C【解析】設(shè)1965年5月出生的男職工退休年齡為歲，則1966年5月出生的男職工退休年齡為歲，所以公差為，設(shè)5月出生的男職工退休年齡為是首項為,公差為的等差數(shù)列，1974年5月出生的男職工退休年齡為.故1974年5月出生的男職工退休年齡為62歲5個月.故選：C.15.拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個正面”、“兩個正面一個反面”和“兩個反面一個正面”分別為事件A、B和C，則下列說法錯誤的是（）A.事件A、B和C兩兩互斥 B.C.事件A與事件是對立事件 D.事件與相互獨立【答案】C【解析】拋擲三枚硬幣，樣本空間(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8個樣本點，事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)，對于A，事件中任何兩個事件都不能同時發(fā)生，事件兩兩互斥，A正確；對于B，，B正確；對于C，事件與可以同時不發(fā)生，事件A與事件不是對立事件，C錯誤；對于D，，，，則事件，相互獨立，D正確.故選：C16.設(shè)函數(shù)與均是定義在上的函數(shù)，有以下兩個命題：①若是周期函數(shù)，且是上的減函數(shù)，則函數(shù)必為常值函數(shù)；②若對任意的a，，有成立，且是上的增函數(shù)，則是上的增函數(shù)．則以下選項正確的是（）A.①真命題，②是假命題 B.兩個都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.兩個都是假命題【答案】A【解析】①若y=fx是周期函數(shù)，設(shè)是它的正周期，即，假設(shè)函數(shù)y=fx不是常值函數(shù)，設(shè)，且，又恒成立，因此，取，其中是不大于的最大整數(shù)，則，而，所以，這是是減函數(shù)矛盾，所以不成立，所以，即是常值函數(shù)，①是真命題；②取，，則對任意的，，，滿足，但是減函數(shù)，②是假命題．故選：A．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)依次為1、2、3、4、5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：12345（1）若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為、、，等級系數(shù)為5的2件日用品記為、，現(xiàn)從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．解：（1）因為等級系數(shù)為4的恰有3件，所以；等級系數(shù)為5的恰有2件，所以；因為，所以.故，，.（2）從、、、、這5件日用品中任取兩件，所有可能得結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種情況.這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有：，，，，共4個.因為每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為：.18.如圖，已知平面，，為等邊三角形，，點F為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.證明：（1）因為平面，，為等邊三角形，設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，為的中點，，，，，平面，平面.解：（2）又是軸上的單位向量，則其是平面的一個法向量，因為，設(shè)和平面所成的角為，則，直線和平面所成角的正弦值為.19.為了打造美麗社區(qū)，某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊由一個半圓和長方形組成的空地進行美化，如圖，長方形的邊為半圓的直徑，O為半圓的圓心，，現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個等腰三角形區(qū)域（底邊）種植觀賞樹木，其余區(qū)域種植花卉．設(shè)，．（1）當(dāng)時，求的面積；（2）求三角形區(qū)域面積的最大值．解：（1）設(shè)與相交于點，則，則，，易知等于到的距離，所以（2）過點作于點，則，而，則三角形區(qū)域面積為，設(shè)，因為，所以，故，而，則，故當(dāng)時，取得最大值，故三角形區(qū)域面積的最大值為20.如果一條雙曲線實軸和虛軸分別是一個橢圓的長軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線．若雙曲線與橢圓是“共軸”曲線，且橢圓，（、分別為曲線、的離心率）．已知點，點為雙曲線上任意一點．（1）求雙曲線的方程；（2）延長線段到點，且，若點Q在橢圓上，試求點P的坐標(biāo)；（3）若點P在雙曲線的右支上，點A、B分別為雙曲線的左、右頂點，直線交雙曲線的左支于點R，直線、的斜率分別為、．是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）根據(jù)題意雙曲線，因為，解得，雙曲線的方程為；（2）由（1）知，，，設(shè)，已知，又，所以，由點Q在橢圓上，則，又點為雙曲線上任意一點，則，聯(lián)立，解得，或，所以點P的坐標(biāo)為或或；（3）當(dāng)重合時，；當(dāng)不重合時，存在實數(shù)，使得，理由如下，當(dāng)重合時，由題意，則，則，當(dāng)不重合時，，設(shè)直線的方程為，，由得，因為雙曲線的漸近線方程為，又直線交雙曲線的左支于點R，右支于點P，所以，由韋達定理得，，所以，所以存在實數(shù)，使得.21.定義在上的函數(shù)y=fx，若對任意不同的兩點，，都存在，使得函數(shù)y=fx在處的切線與直線平行，則稱函數(shù)y=fx在上處處相依，其中稱為直線的相依切線，為函數(shù)y=fx在的相依區(qū)間．已知．（1）當(dāng)時，函數(shù)在R上處處相依，證明：導(dǎo)函數(shù)在0,1上有零點；（2）若函數(shù)在0,+∞上處處相依，且對任意實數(shù)、，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)時，，為函數(shù)在的相依區(qū)間，證明：．證明：（1）當(dāng)時，，，所以，，即，又在上處處相依，所以函數(shù)在0,1上有零點.解：（2），x∈0,+∞，因為函數(shù)在0,+∞上處處相依，所以，，使得，即，使得，，x0∈0,+∞，即，又，.所以實數(shù)的取值范圍為.證明：（3）當(dāng)時，，則，因為為函數(shù)的在的相依區(qū)間，所以，又，則，因為，，即單調(diào)遞減，，，即單調(diào)遞增，所以，則，要證，即證，即證，即證，，令，，令，，，因為，，，所以，即在0,1上單調(diào)遞減，則，所以φ'x<0，即φ所以，即，即證得成立.從而證明得到.上海市松江區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，，則______．【答案】【解析】因為集合，，所以.故答案為：.2.若，則______．【答案】【解析】,則，故答案為.3.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：．4.在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則______.【答案】【解析】，，故答案為：5.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】由題意得，，∴.故答案為：.6.已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為______．【答案】4【解析】圓錐的底面半徑，設(shè)其母線長為，則，解得，所以該圓錐的高.故答案為：47.已知，則＝________．【答案】65【解析】令，則有，再令，則有，所以，故答案為：65.8.已知等比數(shù)列中，，則______．【答案】或【解析】因為，所以，因為，所以，解得或．當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以．故答案為：或.9.已知函數(shù)的表達式為，則滿足的實數(shù)m的最大值為______．【答案】【解析】當(dāng)時，有，又定義域為，故為偶函數(shù)，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，故對有，即，即有，解得，故m的最大值為.故答案為：.10.已知點P為橢圓上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為.因為．又因為橢圓的，為橢圓的右焦點，設(shè)Px0,，，所以，，∴．故答案為：11.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為平面向量，的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因為，所以，所以在上的投影為，在上的投影為，所以因為，所以，所以，所以,所以的取值范圍為.故答案為：12.交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成．黃燈設(shè)置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān)．根據(jù)路況不同，道路的限定速度一般在30千米/小時至70千米/小時之間．由相關(guān)數(shù)據(jù)，駕駛員反應(yīng)距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：；剎車距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：，反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離．已知某個十字路口寬度為30米，為保證通行安全，黃燈亮的時間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十字路口，則該路口黃燈亮的時間最多為______秒（結(jié)果精確到0.01秒）．【答案】【解析】依題意當(dāng)小汽車最大限速（約）時，反應(yīng)距離，剎車距離，所以停車距離為，又路口寬度為，所以，所以時間；故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號涂黑．13.已知，以下四個數(shù)中最大的是（）A.b B. C. D.【答案】D【解析】由題意，所以，由基本不等式可得，同時注意到，所以，，而、都是正數(shù)，所以.故選：D.14.漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡．對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：出生時間1965年1月-4月1965年5月-8月1965年9月-12月1966年1月-4月……改革后法定退休年齡60歲＋1個月60歲＋2個月60歲＋3個月60歲＋4個月……那么1974年5月出生的男職工退休年齡為（）A.62歲3個月 B.62歲4個月 C.62歲5個月 D.63歲【答案】C【解析】設(shè)1965年5月出生的男職工退休年齡為歲，則1966年5月出生的男職工退休年齡為歲，所以公差為，設(shè)5月出生的男職工退休年齡為是首項為,公差為的等差數(shù)列，1974年5月出生的男職工退休年齡為.故1974年5月出生的男職工退休年齡為62歲5個月.故選：C.15.拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個正面”、“兩個正面一個反面”和“兩個反面一個正面”分別為事件A、B和C，則下列說法錯誤的是（）A.事件A、B和C兩兩互斥 B.C.事件A與事件是對立事件 D.事件與相互獨立【答案】C【解析】拋擲三枚硬幣，樣本空間(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8個樣本點，事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)，對于A，事件中任何兩個事件都不能同時發(fā)生，事件兩兩互斥，A正確；對于B，，B正確；對于C，事件與可以同時不發(fā)生，事件A與事件不是對立事件，C錯誤；對于D，，，，則事件，相互獨立，D正確.故選：C16.設(shè)函數(shù)與均是定義在上的函數(shù)，有以下兩個命題：①若是周期函數(shù)，且是上的減函數(shù)，則函數(shù)必為常值函數(shù)；②若對任意的a，，有成立，且是上的增函數(shù)，則是上的增函數(shù)．則以下選項正確的是（）A.①真命題，②是假命題 B.兩個都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.兩個都是假命題【答案】A【解析】①若y=fx是周期函數(shù)，設(shè)是它的正周期，即，假設(shè)函數(shù)y=fx不是常值函數(shù)，設(shè)，且，又恒成立，因此，取，其中是不大于的最大整數(shù)，則，而，所以，這是是減函數(shù)矛盾，所以不成立，所以，即是常值函數(shù)，①是真命題；②取，，則對任意的，，，滿足，但是減函數(shù)，②是假命題．故選：A．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)依次為1、2、3、4、5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：12345（1）若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為、、，等級系數(shù)為5的2件日用品記為、，現(xiàn)從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．解：（1）因為等級系數(shù)為4的恰有3件，所以；等級系數(shù)為5的恰有2件，所以；因為，所以.故，，.（2）從、、、、這5件日用品中任取兩件，所有可能得結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種情況.這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有：，，，，共4個.因為每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為：.18.如圖，已知平面，，為等邊三角形，，點F為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.證明：（1）因為平面，，為等邊三角形，設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，為的中點，，，，，平面，平面.解：（2）又是軸上的單位向量，則其是平面的一個法向量，因為，設(shè)和平面所成的角為，則，直線和平面所成角的正弦值為.19.為了打造美麗社區(qū)，某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊由一個半圓和長方形組成的空地進行美化，如圖，長方形的邊為半圓的直徑，O為半圓的圓心，，現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個等腰三角形區(qū)域（底邊）種植觀賞樹木，其余區(qū)域種植花卉．設(shè)，．（1）當(dāng)時，求的面積；（2）求三角形區(qū)域面積的最大值．解：（1）設(shè)與相交于點，則，則，，易知等于到的距離，所以（2）過點作于點，則，而，則三角形區(qū)域面積為，設(shè)，因為，所以，故，而，則，故當(dāng)時，取得最大值，故三角形區(qū)域面積的最大值為20.如果一條雙曲線實軸和虛軸分別是一個橢