第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型講義教材

二、數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型

1、時(shí)間域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程2、復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖3、頻率域：頻率特性數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型三、建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法分析法－依據(jù)系統(tǒng)及各元件的變量之間所遵循的物理和化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立模型。實(shí)驗(yàn)法－人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。也稱系統(tǒng)辨識(shí)。四、分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟建立物理模型。m—k系統(tǒng)，RLC電路列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時(shí)要求），消去中間變量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。1.平移運(yùn)動(dòng)mcxF(t)KmcxF(t)Kx(t)mm-物體質(zhì)量；c—粘性阻尼K—彈簧剛度x—物體運(yùn)動(dòng)的位移F(t)—物體受外力2.旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

JTθKJfJ

JT回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)；T—外力矩（扭矩）扭轉(zhuǎn)彈簧剛度；θ—轉(zhuǎn)角J構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)力矩平衡方程可得：KJ二.電氣系統(tǒng)微分方程1.基本原理：基爾霍夫定律，歐姆定律及電磁感應(yīng)定律(1)電流定律（節(jié)點(diǎn)處）（2）電壓定律（閉合回路）2.電氣系統(tǒng)基本參數(shù)

RLC電阻電感電容

1.以Ui(t)為輸入電壓，U0(t)為輸出電壓，列寫系統(tǒng)微分方程

①②③④消去i1,i2,i等中間變量可得到：無源網(wǎng)絡(luò)R1R2CUi(t)U0(t)i1(t)i2(t)i(t)

將上式代入（4）式可得到只含有輸入、輸出的微分方程：上式可寫成如下形式：2.如圖所示Ui(t)為輸入電壓，U0(t)為輸出電壓，K為運(yùn)算放大器的開環(huán)放大倍數(shù)，列寫系統(tǒng)微分方程有源網(wǎng)絡(luò)對(duì)于運(yùn)算放大器一般來說A點(diǎn)的電位為0（虛短）由于運(yùn)算放大器的K值很大：可看作K斷開，A與B連接。（虛斷）因而有：+—ABCUi(t)Ri1(t)i2(t)U0(t)K

由于UA(t)近似為0，則有：+—ABCUi(t)Ri1(t)i2(t)U0(t)K

實(shí)例：試證明如圖(a)、(b)所示的機(jī)械、電氣系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。

對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫電路方程如下：

解：對(duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運(yùn)動(dòng)方程式②

③

④

①化簡得：利用②、③、④求出

代入①并將兩邊微分得機(jī)械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)力-電壓相似機(jī)系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為機(jī)系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。為我們利用簡單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去研究機(jī)械系統(tǒng)......因?yàn)橐话銇碚f，電的或電子的系統(tǒng)更容易，通過試驗(yàn)進(jìn)行研究。機(jī)械阻尼B1阻尼B2彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)K2電氣電阻R1電阻R21/C11/C2系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是它的微分方程式。建立微分方程的步驟如下：

①確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量②將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫一個(gè)方程，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的原始方程并線性化（將非線性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，然后略去高于一次的小增量項(xiàng)，工作點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)必須存在）。③消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。M1M2K1C1C2x1(t)X2(t)f(t)K1K2CXi(t)Xo(t)UoUiRCL(1)(2)(3)(4)作業(yè)：

1.拉普拉斯變換意義：對(duì)于前面所建立的微分方程進(jìn)行求解，可以得出系統(tǒng)的輸入量和輸出量間的關(guān)系。但對(duì)微分方程的求解很復(fù)雜，尤其是高階系統(tǒng)微分方程及復(fù)雜系統(tǒng)的求解更困難，因此為分析研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，尋找一種簡單可行的方法來求解系統(tǒng)微分方程。對(duì)于線性系統(tǒng)采用拉氏變換的方法將微分方程化為代數(shù)方程使求解大為簡化。2.2拉普拉斯變換與反變換1.拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時(shí)f(t)=0

②t≥0時(shí)，f(t)分段連續(xù)則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作

f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)

一.拉氏變換的定義及典型函數(shù)2.典型函數(shù)及其拉氏變換：（1）單位階躍函數(shù)

（2）單位脈沖函數(shù)

（3）單位斜坡函數(shù)對(duì)脈沖函數(shù)有性質(zhì)（通過分部積分可得）tf(t)1單位階躍函數(shù)tδ(t)tf(t)t(4)單位加速度函數(shù)

（5）指數(shù)函數(shù)（6）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

應(yīng)用歐拉公式：

tf(t)單位加速度函數(shù)tf(t)指數(shù)函數(shù)1（7）冪函數(shù)求下列函數(shù)的拉氏變換

二.拉氏變換的性質(zhì)線性定理位移定理

延時(shí)定理函數(shù)如圖所示求其拉氏變換函數(shù)eg1.

tf(t)a1/Ttf(t)a1/T-1/T（2）對(duì)處理后的函數(shù)應(yīng)用定理（線性定理和延時(shí)定理）（1）應(yīng)用定義式求解方法：eg2.

已知求其拉氏變換F(S)

終值定理初值定理微分定理積分定理相似定理三.拉氏反變換

拉氏反變換是指將象函數(shù)變換到與其對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過程。記為：1.基本方法：①定義法；②查表法；③部分分式法①定義式其中②查表法利用拉氏變換表查得相應(yīng)的f(t)③部分分式法先將一個(gè)復(fù)雜的象函數(shù)F(S)變換成為數(shù)個(gè)簡單的標(biāo)準(zhǔn)形式象函數(shù)之和，然后通過查表，分別查出各個(gè)的原函數(shù)，其和即為所求。

F(s)化成下列因式分解形式：式中

根據(jù)F(S)中分母根的不同情況進(jìn)行討論已知象函數(shù)F(s)且可表示為簡單的標(biāo)準(zhǔn)形式象函數(shù)之和

Case1. F(s)中具有不同根時(shí)，可展開為eg1.解：

Case2.F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為

不重根系數(shù)K2…KN可按case1的情況求解，而K11…K1r求解如下：

eg2.解：

Case3.F(s)分母中含有共軛復(fù)根情況：上式中－p1、－p2為共軛復(fù)根，則有

（1）將上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等可解得k1,k2（2）用不重根情況求解復(fù)系數(shù)解決方案：eg.解法一：

解法二：

四．用拉氏變換解常系數(shù)微分方程

eg.已知方程，其中

利用拉氏變換解常系數(shù)微分方程。對(duì)方程取拉氏變換：

解：

作業(yè)2：

（2）（3）

2.1①、③2.3①、③求下列象函數(shù)的原函數(shù)（1）

2.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)的概念

及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的引入：對(duì)于控制系統(tǒng)如果能求解系統(tǒng)的微分方程則可以準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但對(duì)于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)有一定的困難（由于不知道各變量間的關(guān)系），為能夠直觀明了地表示系統(tǒng)各變量間的關(guān)系，于是引入傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是建立在拉氏變換的基礎(chǔ)之上，用它描述系統(tǒng)免去求解微分方程的麻煩，間接地分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系，找出改善系統(tǒng)品質(zhì)的方法。

1.系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義：當(dāng)零初始條件時(shí)，線性定常系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換C(s)與引起該輸出的輸入量的拉氏變換R(s)的之比。記為：零初始條件：①t≤0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；②輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t≤0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0。

式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai和bi是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

例：求如圖所示機(jī)械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：--》機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)--》電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.傳遞函數(shù)的性質(zhì)（結(jié)論）傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。②它不說明所描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)（因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù))③傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)S域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。

④傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。⑤若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)決定，這一輸出與系統(tǒng)在輸入作用前的初始狀態(tài)無關(guān)。即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。3.與系統(tǒng)傳遞函數(shù)有關(guān)的概念

(1)系統(tǒng)的特征方程：傳遞函數(shù)中分母為0的方程。(2)極點(diǎn)：傳遞函數(shù)分母為0的根。即–p1,-p2…－pn

(3)零點(diǎn)：傳遞函數(shù)中分子為0的根。即B(s)=0的解(4)系統(tǒng)的階次：傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式中s的最高次冪稱為系統(tǒng)的階次。

特征方程：極點(diǎn)：s=-1

零點(diǎn)：-2,-1

系統(tǒng)階次：3

例：二典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)1．比例環(huán)節(jié)系統(tǒng)的輸出量與輸入量成正比的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。如：電子放大器的放大倍數(shù)，齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比，在平衡狀態(tài)下杠桿兩端所受的力等其傳遞函數(shù)為

2．慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)微分方程可表達(dá)為：

經(jīng)拉氏變換后其傳遞函數(shù)為

如RC電路，彈簧阻尼系統(tǒng)任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的T--時(shí)間常數(shù)Kf

r(t)c(t)

RC電路傳遞函數(shù)：彈簧阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：3微分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的輸出正比于系統(tǒng)輸入微分的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為

eg:液壓缸的流量q(t)和活塞位移x(t)間的關(guān)系

傳遞函數(shù)為

4積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的輸出正比于輸入積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)。

傳遞函數(shù)

eg:電容兩端的電壓與電流的關(guān)系

傳遞函數(shù)

5振蕩環(huán)節(jié)

系統(tǒng)中含有兩種儲(chǔ)能元件，而且該兩種儲(chǔ)能元件能量可以相互轉(zhuǎn)換。如動(dòng)能與勢能，電能與磁能。

傳遞函數(shù)為：

eg1：質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，其系統(tǒng)加入外力為輸入x(t)，質(zhì)量塊位移為輸出y(t)，其輸入和輸出之間的關(guān)系可以表示為—系統(tǒng)固有頻率

—系統(tǒng)阻尼比

Mx(t)y(t)kf6二階微分如果系統(tǒng)的微分方程可表示為：

其傳遞函數(shù)為：7一階微分

若系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

則稱其為一階微分

8．延時(shí)環(huán)節(jié)

若系統(tǒng)的輸入和輸出間存在關(guān)系其傳遞函數(shù)為：

各環(huán)節(jié)比較：

慣性環(huán)節(jié)：

一階微分

積分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)

二階微分

作業(yè)3：

2-6(a,d,g)2-82.4控制系統(tǒng)框圖及其簡化采用框圖的優(yōu)點(diǎn)：①將各環(huán)節(jié)聯(lián)接起來容易構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)；②通過系統(tǒng)框圖，可以評(píng)價(jià)各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響；③各環(huán)節(jié)組成系統(tǒng)框圖，可以進(jìn)一步將系統(tǒng)框圖進(jìn)行簡化，從而寫出整個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)。一、框圖單元、比較點(diǎn)、引出點(diǎn)框圖單元：中間的框?yàn)榄h(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，箭頭的線為信號(hào)線，其中指向方框的為流入信號(hào)，從方框指出的線為流出信號(hào)；信號(hào)線上的表達(dá)式為信號(hào)G(s)R(s)C(s)框圖單元比較點(diǎn)：

兩個(gè)相比較的信號(hào)一定具有相同的量綱

引出點(diǎn)：

從同一點(diǎn)引出的信號(hào)在大小和性質(zhì)上完全相同

注意問題：+—(+)R(s)E(s)B(s)比較點(diǎn)A引出點(diǎn)二、系統(tǒng)構(gòu)成方式及運(yùn)算法則

基本連接方式：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接1．串聯(lián)連接：各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)順序連接稱為～

推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)，則串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為n個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的積X(s)Y1(s)Y(s)G2(s)G1(s)2．并聯(lián)連接：各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)具有共同的輸入,輸出相加或相減的連接方式稱為并聯(lián)連接

G1(s)

G2(s)＋＋(-)X(s)Y(s)Y2(s)

Y1(s)結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和或差。3.反饋連接：指將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過反饋回路重新輸入到系統(tǒng)中去。概念介紹：

X(s)輸入信號(hào)；Y(s)輸出信號(hào)；X1(s)反饋信號(hào)；E(s)偏差信號(hào)閉環(huán)系統(tǒng)、閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)正反饋：若反饋信號(hào)與輸入信號(hào)相同則為正反饋（信號(hào)都正或都負(fù)）負(fù)反饋：反饋信號(hào)與輸入信號(hào)方向相反則為負(fù)反饋。各信號(hào)間關(guān)系：①②

③＋—X(s)Y(s)E(s)X1(s)H(s)G(s)①

輸出信號(hào)與偏差信號(hào)的比

G(s)，前向傳遞函數(shù)②由①式推導(dǎo)得主反饋信號(hào)與輸出信號(hào)的比H(s)，稱為反饋傳遞函數(shù)若H(s)=1則稱為單位反饋傳遞函數(shù)。③上式信號(hào)中消去X(s)和Y(s)得到的信號(hào)比為：

閉環(huán)系統(tǒng)中主反饋信號(hào)與偏差信號(hào)之比G(s)H(s)，開環(huán)傳遞函數(shù)（Open-loopTransferFunction）：④消去X1(s)和Y(s)有

偏差信號(hào)與輸入信號(hào)比稱為誤差傳遞函數(shù)

⑤消去X1(s)和E(s)

在閉環(huán)系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出與輸入拉氏變換的比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)（Closed-loopTransferFunction）

閉環(huán)傳遞函數(shù)：

正反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)：負(fù)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)：

三、干擾信號(hào)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

產(chǎn)生干擾信號(hào)的來源有：系統(tǒng)中參數(shù)的變化，輸入誤差，電氣噪聲，電壓波動(dòng)等等對(duì)于線性系統(tǒng)而言，輸入量和干擾量對(duì)系統(tǒng)的輸出可進(jìn)行線性疊加，分別計(jì)算(1)輸入信號(hào)(即輸入為X(s))作用下的系統(tǒng)輸出為Y1(s)(N(s)=0)

＋—X(s)Y(s)E(s)X1(s)H(s)G1(s)G2(s)＋＋N(s)斷開(2)系統(tǒng)在干擾信號(hào)(即輸入為N(s))作用下系統(tǒng)輸出為Y2(s)(X(s)=0)干擾信號(hào)和輸入信號(hào)共同作用下系統(tǒng)的總輸出為Y(s)＋＋Y2(s)X1(s)H(s)G1(s)G2(s)N(s)－1E(s)

四、方框圖的變換及簡