高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(理)-第一章-集合與常用邏輯用語-第二節(jié)-命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.1．命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以

的陳述句叫做命題．其中判斷為

的語句叫做真命題，判斷為

的語句叫做假命題．2．四種命題及相互關(guān)系判斷真假真假3．四種命題的真假關(guān)系(1)若兩個命題互為逆否命題，則它們有

的真假性；(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．4．充分條件與必要條件的相關(guān)概念記p，q對應(yīng)的集合分別為A，B，則相同(1)四種命題的等價關(guān)系：原命題等價于逆否命題，否命題等價于逆命題，所以在命題不易證明時往往找等價命題進行證明．(2)否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論．(3)區(qū)分A是B的充分不必要條件(A?B且B

A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且A

B)兩者的不同．(4)A是B的充分不必要條件?綈B是綈A的充分不必要條件．(5)在判斷充分、必要條件時，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范圍)?x>1(大范圍)，x>1(大范圍)

x>2(小范圍)．1．下列命題是假命題的有

(

)A．三角形角平分線上的點到角的兩邊距離相等B．所有平行四邊形都不是菱形C．任意兩個等邊三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一個根答案：B2．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的

(

)A．逆命題

B．否命題C．逆否命題

D．否定解析：命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題．答案：B

3．設(shè)x＞0，y＞0，則“x2>y2”是“x>y”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：C4．若命題“?x∈R，x2＋1＞m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－∞，1)層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點四種命題及其真假判斷

[題點全訓(xùn)]1．(2023·合肥模擬)設(shè)x，y∈R，命題“若x2＋y2>2，則x2>1或y2>1”的否命題是(

)A．若x2＋y2≤2，則x2≤1或y2≤1B．若x2＋y2>2，則x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，則x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，則x2≤1且y2≤1答案：C2．(2023·安順模擬)命題“若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)”的逆否命題是

(

)A．若x，y都是偶數(shù)，則x＋y是奇數(shù)B．若x，y都不是奇數(shù)，則x＋y不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x，y都不是奇數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)答案：D3．在下列四個說法中，與“不經(jīng)冬寒，不知春暖”意義相同的是

(

)A．若經(jīng)冬寒，必知春暖

B．不經(jīng)冬寒，但知春暖C．若知春暖，必經(jīng)冬寒

D．不經(jīng)春暖，必歷冬寒解析：“不經(jīng)冬寒，不知春暖”的逆否命題為“若知春暖，必經(jīng)冬寒”．故選C.答案：C

4．有下列命題：①“若x＋y>0，則x>0且y>0”的否命題；②“矩形的對角線相等”的否命題；③“若m≥1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命題；④“若a＋7是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”的逆否命題．其中正確命題的序號是________．[一“點”就過]判斷命題真假的2種方法直接判斷判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可間接判斷根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)直接判斷一個命題的真假不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假提醒(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)當(dāng)命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)充分、必要條件的判斷

[典例]

(1)(2022·浙江高考)設(shè)x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件(2)(2023·福建高三階段練習(xí))在四邊形ABCD中，AB∥CD，則“∠BAD＝90°”是“四邊形ABCD為直角梯形”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件(2)若∠BAD＝90°，則四邊形ABCD為矩形或直角梯形，若四邊形ABCD為直角梯形，則∠BAD不一定為90°，所以“∠BAD＝90°”是“四邊形ABCD為直角梯形”的既不充分也不必要條件．故選D.[答案]

(1)A

(2)D[方法技巧]判斷充分、必要條件的2種方法定義法直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么、結(jié)論是什么集合法利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題[針對訓(xùn)練]1．(2019·浙江高考)設(shè)a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件重難點(二)充分、必要條件的應(yīng)用

[典例]

(2023·鄭州模擬)設(shè)α：2a<x≤3a＋1，β：－2≤x≤7，若α是β的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]

因為α是β的充分不必要條件，(2a,3a＋1]是[－2,7]的真子集，所以，當(dāng)(2a,3a＋1]＝?時，2a≥3a＋1，解得a≤－1，當(dāng)(2a,3a＋1]≠?時，－2≤2a<3a＋1≤7，解得－1<a≤2.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．[答案]

(－∞，2][方法技巧]由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形端點值慎取舍在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍[針對訓(xùn)練](2023·西安模擬)已知條件p：(x－m)(x－m－3)>0；條件q：x2＋3x－4<0.若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是

(

)A．[－7,1] B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：設(shè)集合P＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|－4<x<1}．因為p是q的必要不充分條件，則Q是P的真子集，所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1，故選B.答案：B

層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)1．(混淆條件與結(jié)論致誤)設(shè)x∈R，則x＞2的一個必要不充分條件是

(

)A．x＜1 B．x＞1C．x＞4 D．x＞32．(弘揚傳統(tǒng)文化)荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標(biāo)的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件解析：荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件．答案：B

其中，所有正確結(jié)論的序號是

(

)A．②

B．①③C．②③

D．①②③答案：C

4．(對命題中條件與結(jié)論否定不全面)命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題是______________________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠05．(忽視大前提致誤)已知命題“對任意a，b∈R，若ab>0，則a>0”，則它的否命題是______________