江蘇省蘇州市2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

江蘇省蘇州市2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，且，則（）A． B．C．或 D．2．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的一個(gè)可能值是（

）A． B． C． D．3．已知向量滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A．0 B．2 C． D．54．已知，是函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長(zhǎng)為1，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A．8 B．10 C．12 D．147．已知函數(shù)，若的圖象的任意一條對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，滿(mǎn)足，且，則（

）A．651 B．676 C．1226 D．1275二、多選題（本大題共3小題）9．若隨機(jī)變量，從的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.某珠寶店出售的珍珠的直徑均服從期望為15毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為2毫米的正態(tài)分布.程女士在該珠寶店隨機(jī)地挑選了16顆圓潤(rùn)華美的珍珠，將它串成一條璀璨奪目的項(xiàng)鏈.設(shè)這16顆珍珠的直徑平均值為，則（

）A．隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為 B．隨機(jī)變量C． D．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．若是增函數(shù)，則D．若和的零點(diǎn)總數(shù)大于2，則這些零點(diǎn)之和大于511．已知是曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．曲線(xiàn)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．對(duì)任意，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一交點(diǎn)C．對(duì)任意，恒有D．曲線(xiàn)在的部分與軸圍成圖形的面積小于三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且軸，過(guò)點(diǎn)作的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若點(diǎn)在圓上，則的離心率為.13．已知為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.14．?dāng)?shù)學(xué)老師在黑板上寫(xiě)上一個(gè)實(shí)數(shù)，然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上的數(shù)乘以再加上3得到，并將擦掉后將寫(xiě)在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)除以再減去3得到，也將擦掉后將寫(xiě)在黑板上．然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑板上的數(shù)為．現(xiàn)已知的概率為0.5，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，已知中，，內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足．(1)若，且滿(mǎn)足，，求的正切值；(2)若平分，試問(wèn)是否存在常實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出常數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），所得曲線(xiàn)為．記，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)與分別交于點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，．當(dāng)時(shí)，(1)求的值：(2)若有最大值，求的取值范圍．17．斜三棱柱ABC－A1B1C1上，側(cè)面AA1C1C⊥平面ABC，側(cè)面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，A1C＝AC＝BC＝，AB＝2，D為BB1的中點(diǎn)．(1)求二面角C－A1D－C1的余弦值；(2)記△ABC的外接圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，若二面角P－AA1－C與二面角C－A1D－C1相等，求AP的長(zhǎng)．18．若兩個(gè)函數(shù)與在處有相同的切線(xiàn)，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相切，切點(diǎn)為.(1)設(shè)反比例函數(shù)與二次函數(shù)相切，切點(diǎn)為.求證：函數(shù)與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)若，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相切，求實(shí)數(shù)的值；(3)設(shè)（2）的結(jié)果為，求證：當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).19．已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，．若對(duì)于，恒有等于同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為的“左型間隔數(shù)列”；若對(duì)于，恒有等于同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為的“右型間隔數(shù)列”；若對(duì)于，恒有或者，則稱(chēng)數(shù)列為的“左右型間隔數(shù)列”．(1)寫(xiě)出數(shù)列的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列是的“左型間隔數(shù)列”，數(shù)列是的“右型間隔數(shù)列”，若，且有，求的值；(3)數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，．若存在的一個(gè)遞增的“右4型間隔數(shù)列”，使得對(duì)于任意的，都有，求的關(guān)于的最小值（即關(guān)于的最小值函數(shù)）．

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，可知，若，則，此時(shí)，，不合題意；若，則，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：，，則.故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】設(shè)，則，由，得，即，整理得，顯然選項(xiàng)ACD不滿(mǎn)足要求，B符合要求.故選：B3．【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出向量,再求出向量,再根據(jù)模長(zhǎng)公式結(jié)合三角函數(shù)的值域得出最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，則，則，且，則，當(dāng)時(shí)，.故選D.4．【正確答案】B【分析】利用韋達(dá)定理求出，，再由誘導(dǎo)公式變形，最后由和（差）角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切.【詳解】因?yàn)椋呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以，，所以.故選B.5．【正確答案】B【詳解】解：如圖，正方體，若要使液面形狀不可能為三角形，則當(dāng)平面平行于水平面放置時(shí)，液面必須高于平面，且低于平面.若滿(mǎn)足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動(dòng)正方體，液面形狀都不可能為三角形.設(shè)液體的體積為，則，而，，所以液體的體積的取值范圍為.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】依題意，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由可知，解得，所以.故選：B7．【正確答案】D【詳解】因?yàn)榈膱D像的任何一條對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以.故選：D.8．【正確答案】A【分析】由條件可以推出，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，所以，即，所以.故選A.9．【正確答案】BC【分析】由題設(shè)可知：隨機(jī)變量，即可判斷AB；根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)求，，即可得判斷CD.【詳解】由題設(shè)可知：，則隨機(jī)變量，所以隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋蔆正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，則，，所以，故A正確；對(duì)于B：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C：在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋礊榈囊粋€(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)根，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以和都只有個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則無(wú)零點(diǎn)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、，又，所以，所以，故D正確.其中：不等式的證明如下：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴，得證.故選：ABD1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).11．【正確答案】ACD【分析】將，替換為，計(jì)算即可判斷A；取，可判斷有三個(gè)交點(diǎn)即可判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)得出的取值范圍，再結(jié)合的單調(diào)性進(jìn)行求解即可判斷C；利用圖象的對(duì)稱(chēng)性和半圓的面積進(jìn)行比較即可判斷D．【詳解】A．對(duì)于，將，替換為，，所得等式與原來(lái)等價(jià)，故A正確；B．取，可以求得，，均可，故B錯(cuò)誤；C．由，，函數(shù)，故，令，解得：，在，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，，所以有，故C正確；D．當(dāng)時(shí)，，又，，所以．曲線(xiàn)與軸圍成半圓，又曲線(xiàn)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則曲線(xiàn)與軸圍成圖形的面積小于，故D正確．故選ACD．12．【正確答案】【分析】由題意求出，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義以及角平線(xiàn)性質(zhì)推出，從而推出，在中，利用余弦定理可求得，結(jié)合齊次式求解離心率，即可得答案.【詳解】由題意知，軸，故將代入中，得，則，即，不妨設(shè)P在雙曲線(xiàn)右支上，則，故；

設(shè)為的平分線(xiàn)，由題意知，則，即，而，故，由點(diǎn)在圓上，得；又，則，在中，,即，結(jié)合，即得，即，解得或（舍），故（負(fù)值舍去），即的離心率為，故關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解雙曲線(xiàn)的離心率，關(guān)鍵是求出之間的數(shù)量關(guān)系式，因此解答本題時(shí)，要結(jié)合題中條件以及雙曲線(xiàn)定義推出相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)，從而在中，利用余弦定理求出的關(guān)系，化為齊次式，即可求得答案.13．【正確答案】【詳解】令函數(shù)，∵，∴關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令當(dāng)，則時(shí)，∵，∴，即時(shí)的函數(shù)值大于時(shí)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，∵，即表示過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)與點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與函數(shù)相切于點(diǎn)（），，∴，整理得，∴或，由∵，∴，故，此時(shí)切線(xiàn)的斜率，即，由∵由雙勾函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴∴，故，故14．【正確答案】.【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由兩次復(fù)合列出不等式求解即可.【詳解】由題意構(gòu)造，，則有，，，．因?yàn)?，恒成立，又因?yàn)榈母怕蕿?.5，所以必有或者解得．故答案為.15．【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）（1）若，即，得，點(diǎn)滿(mǎn)足，則，在與中，，，所以與相似，則，即，所以；在中，，因?yàn)椋栽谥?，?yīng)用余弦定理以及三角形面積公式得：，，，三式相加可得：。在內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形面積公式得：，在，內(nèi)，同理可得：，，三式相等：，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，則由等比性質(zhì)的：，所以：，又，，所以，則（2）因?yàn)?，即，所以，在，，中，分別由余弦定理可得：，，，三式相加整理得：，即，因?yàn)槠椒?，則，，所以，由余弦定理可得：，所以，即，則，所以若平分，存在常實(shí)數(shù)，使得16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)曲線(xiàn)的點(diǎn)為，由題意可知點(diǎn)在上，即，整理得，即曲線(xiàn)：，設(shè)直線(xiàn)的方程為y=kx?1，Ax1,y1，B聯(lián)立方程組，整理得，則，且，，可得，∴，可得，∴，同理可得，又∵三點(diǎn)共線(xiàn)，可得，即，∴，∴（2）設(shè)直線(xiàn)方程為（），由（1）可知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，若由最大值，則，又∵，∴17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，在菱形中，，則，在三棱柱中，，故，平面平面，平面平面，平面，由，，，即，則，以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，，，，，故的中點(diǎn)，在平面內(nèi)，取，，設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡(jiǎn)得，令，則，故平面的一個(gè)法向量，在平面內(nèi)，取，，設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡(jiǎn)得，令，則，故平面的一個(gè)法向量，.由圖可知，鈍二面角的余弦值為.（2）由題意，取的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與軸交于，連接，在等邊中，易知，平面，平面，，，且，平面，平面，平面，，故為二面角平面角的補(bǔ)角，由二面角的余弦值為，可得二面角的余弦值為，故，在中，，在平面內(nèi)，直線(xiàn)的方程為，在的外接圓中，易知圓心為，則弦心距，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得，故此時(shí)18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，可得，又，所以；代入可得，即，此時(shí)令可得，它的另一個(gè)解為，所以方程可化為，解得，因此方程的三個(gè)解為，所以函數(shù)與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)分別為（2）對(duì)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在處有相同的切線(xiàn)，由題意可得，令，原方程組可等價(jià)為，即可得；而，即可得，所以，即，所以，則；由可得，化簡(jiǎn)可得；所以，因?yàn)闀r(shí)，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則，故，即；構(gòu)造函數(shù)，則，且不恒為0，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故方程的唯一解為；因此，即實(shí)數(shù)的值為.（3）設(shè)函數(shù)，其中且，求導(dǎo)可得，令，則，令可得，由?'x<0可得，即函數(shù)?x由?'x>0可得，即函數(shù)?x可得；因?yàn)?，所以，由可?x在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)不妨取，則，令，其中，則，易知，因此；可知在上單調(diào)遞增，且，因此；所以函數(shù)?x在內(nèi)也存在一個(gè)零點(diǎn)；可得在0,+∞上共有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，且；當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；可知在處取得極大值，在處取得極小值；以下證明，；設(shè)函數(shù)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，可得，即，所以；即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)也為減函數(shù)，且；因?yàn)?，可得，因此，所以，且，可得，；又因?yàn)椋?可得函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，也是上的唯一零點(diǎn)，同理取，且，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，也是上的唯一零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).19．【正確答案】(1)1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9；(2)；(3).【分析】（1）由“左右型間隔數(shù)列”的定義，求數(shù)列的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；（2）根據(jù)“左型間隔數(shù)列”和“右型間隔數(shù)列”的定義，由，則有，代入通項(xiàng)計(jì)算即可；（3）由“右4型間隔數(shù)列”的定義，有，可知，則有，化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）數(shù)列的“左右1型間隔