2024-2025學(xué)年廣西桂林市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西桂林市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過原點且與直線垂直，求直線一個方向向量是（）A． B． C． D．2．設(shè)向量，，若，則（）A． B． C． D．?23．已知點，，向量，求向量與夾角的余弦值（

）A． B． C． D．4．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍（

）A． B． C． D．5．2024年10月22日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征六號運載火箭，成功將天平三號衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功.該衛(wèi)星主要用于地面雷達設(shè)備標(biāo)校和測量，為地面光學(xué)設(shè)備成像試驗和低軌空間環(huán)境探測監(jiān)視試驗提供支持，為大氣空間環(huán)境測量和軌道預(yù)報模型修正提供服務(wù).假設(shè)天平三號衛(wèi)星運動的軌道是以地球的球心為一個焦點的橢圓，已知地球的直徑約為1.3萬千米，衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，運動至遠地點距離地球表面高度約3.35萬千米，求天平三號衛(wèi)星運行的軌跡方程可為（

）A． B．C． D．6．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．7．若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（

）A． B．3 C．2 D．8．設(shè)，過定點M的動直線和過定點N的動直線交于點，則的最大值是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．直線的方向向量為，平面的法向量，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則直線平面C．若，則直線與平面所成角的大小為D．若，則直線與平面所成角的大小為10．已知圓，直線，則（

）A．當(dāng)時，圓C上恰有兩個點到直線的距離等于1B．圓C與圓恰有三條公切線C．直線恒過定點D．直線與圓C有兩個交點11．已知方程表示的曲線為E，則（）A．當(dāng)時，曲線E為焦點在軸上的橢圓B．當(dāng)時，曲線E為焦點在軸上的橢圓C．當(dāng)時，曲線E為焦點在軸上的雙曲線D．當(dāng)時，曲線E為焦點在軸上的雙曲線三、填空題（本大題共3小題）12．過拋物線的焦點的直線交于兩點，則拋物線的方程為．13．如圖，已知、分別是四面體的棱AD、的中點，點在線段上，且，設(shè)向量，，，則（用表示）

14．已知點，若圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．年月日是鄭和下西洋周年紀(jì)念日，也是第個中國航海日.設(shè)立“航海日”對于我國開發(fā)海洋、維護海權(quán)、加強海防、實現(xiàn)建設(shè)航天強國和海洋強國的目的，有著十分深遠的戰(zhàn)略意義.在某次任務(wù)中，為了保證南沙群島附近海域航行的安全，我國航海部門在南沙群島的中心島嶼正西與正北兩個方向，分別設(shè)立了觀測站，它們與南沙群島中心島嶼的距離分別為海里和海里.某時段，為了檢測觀察的實際范圍（即安全預(yù)警區(qū)），派出一艘觀察船，始終要求巡視行駛過程中觀察船的位置到觀測站的距離與南沙群島中心島嶼的距離之商為.

(1)求小船的運動軌跡方程；(2)為了探查更遠的范圍，航海部門又安排一艘巡艇，從觀測站出發(fā)，往觀測站方向直線行駛，規(guī)定巡艇不進入預(yù)警區(qū)，求的取值范圍.16．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，為橢圓C上一點.(1)若焦距為，點的坐標(biāo)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，且長軸長為，的面積為，求b的值.17．如圖，已知在四棱錐中，平面平面，在四邊形ABCD中，，，在中，，點是棱上靠近S端的三等分點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知點的坐標(biāo)為，過點的直線與拋物線：交于兩點，且，連接，直線斜率與直線的斜率之積為?2.

(1)求的值；(2)若線段AB的垂直平分線與拋物線交于，兩點，求的面積.19．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，與軸分別交于點，，它的一條漸近線的斜率為，且右焦點到該漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程；(2)若過的直線與曲線交于，兩點（不與兩個頂點重合)，記直線，的斜率為，，證明：為定值．(3)若動點在曲線的左支上，定點，點為圓上一動點，則求的最小值．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題可知，直線過原點與直線垂直，則直線的斜率為，所以直線的方程為=0，故其中一個方向向量.故選：D2．【正確答案】C【詳解】因為，可得，解得故選：C.3．【正確答案】B【詳解】由題可知點，所以.故選：B.4．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，直線的斜率為，由此得，又因為，所以結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，可得.故選：D5．【正確答案】A【詳解】根據(jù)橢圓的定義，設(shè)長軸長為2a，焦距為2c，由題可知，，即萬千米，因為天平三號衛(wèi)星，運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，地球半徑為0.65萬千米，則，可得萬千米，因此，所以橢圓的方程為.故選：A.6．【正確答案】B【詳解】在直三棱柱中，，如圖所示，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，因為，E、F分別為的中點，則，，，，，所以，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以是平面的一個法向量，又因為，所以點F到平面的距離為.因為在直三棱柱中，分別為的中點，則且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，則點F到平面的距離即為直線到平面的距離.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑r=1，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.所以.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】對于動直線可知其過定點，動直線，即，可知其過定點，且，因此兩條動直線相互垂直，

可知點Q的軌跡是以為直徑的圓，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，所以的最大值為.故選：B.9．【正確答案】BD【詳解】對于A，若，則直線平面或直線平面，A錯；對于B，若，則直線平面，B對；對于C，若，可知直線與平面所成角的正弦值為，則直線與平面所成角的大小為，C錯；對于D，若，則，可知直線與平面所成角的正弦值為，則平則直線與平面所成角的大小為，D對.故選：BD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離為，而圓C半徑為6，因此只有4個點到直線的距離等于1，故A錯誤；對于B，圓的方程化為，其圓心為，半徑為4，兩圓的圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，故B正確；對于C，直線的方程為，由，，直線恒過定點，故C正確；對于D，36，即定點在圓C內(nèi)，則直線與圓C相交且有兩個交點，故D正確；故選：BCD.11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，根據(jù)題意知，可化為，當(dāng)時，則，曲線E為焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，根據(jù)題意知可化為，當(dāng)時，，曲線E為焦點在軸上的橢圓，故B錯誤；對于C，根據(jù)題意知可化為，當(dāng)時，則，曲線E為焦點在軸上的雙曲線，故C正確；對于D，根據(jù)題意知可化為，當(dāng)時，則1，曲線E為焦點在軸上的雙曲線，故D正確.故選：ACD12．【正確答案】.【詳解】直線過點，所以拋物線的焦點，所以，，故拋物線的方程為.故13．【正確答案】．【詳解】因為、分別是棱AD、的中點，且，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)，則，，因為，整理可得，即點P在以為圓心，半徑的圓上，可知兩圓有公共點，則，即，整理可得，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)．(2)．【詳解】（1）根據(jù)已知條件設(shè)以為坐標(biāo)原點，為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件設(shè)且，

由有，；，即，整理得，它是以為圓心，為半徑的圓．所以小船的運動的軌跡方程為：．（2）由（1）可知，過的直線不過坐標(biāo)原點且不與坐標(biāo)軸垂直，所以直線截距式方程為化為一般式方程為，根據(jù)題意，，解得，所以綜上可知的取值范圍為．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）已知，因為，所以，點在橢圓上，將其代入橢圓的，可得，即①，又因為，即②，聯(lián)立①②，整理得，解得或，因為，所以，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因為，所以的面積，則，因為長軸長為，即，根據(jù)橢圓的定義得，所以，即③，由余弦定理可得，整理得④，聯(lián)立③④得：，即，則，所以，在橢圓中有，即，解得.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取AD中點O，連接，過O點作，交于點M，由題可知，，，則，，且，因為，即，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.在四邊形中，，則，且，則，以點為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，且點E是棱上靠近S端的三等分點，則，可知.且，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得.又因為，則，可得，且平面，所以平面.（2）由（1）易知，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得.設(shè)平面與平面夾角的為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1由題可知：點，則直線的斜率為：；因為直線斜率與直線的斜率之積為?2，則，解得k=1，又因為點，過點的直線與拋物線交于兩點，故直線的方程為，即，聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，因為，則，整理可得，即，解得.（2）由題可知，直線垂直平分線段AB，

設(shè)線段AB的中點為，直線的斜率為，由（1）知，則，即，且，所以直線的方程為，即，聯(lián)立方程，消去可得，可得，設(shè)，則，所以，且點到直線的距離為，所以的面積為.19．【正確答案】(1)．(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因為雙曲線的一條漸